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항등식 (2) 문제1)4x²-9x-1 = a(x-1)(x-2)+b(x+1)(x-1)+c(x-2)(x+1)이 x에 대한 항등식일 때, a, b, c의 값은? 풀이1) 수치대입법x=1 을 대입하면 4-9-1=-2c → c=3x=2 를 대입하면 16-18-1=3b → b=-1x=-1 을 대입하면 4+9-1=6a → a=2 풀이2) 계수비교법4x²-9x-1 = a(x-1)(x-2)+b(x+1)(x-1)+c(x-2)(x+1) =(a+b+c)x²-(3a+c)x+2a-b-2ca+b+c=4, 3a+c=9, 2a-b-2c=-1연립해서 풀면 a=2, b=-1, c=3 ('연립방정식 (1)' 참고요~) 문제2)(x+2)⁴ = x⁴+ax³+24x²+bx+16이 x에 대한 항등식일 때, a, b의.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 9. 3.
연립방정식 (1) 중학교 때 배운 연립방정식은미지수가 2개인 연립일차방정식 (예전에는 '이원일차연립방정식'이라고 부른 듯요.) x+2y=13x-y=5 가감법이든 대입법이든뭐... 걍 풀면 됩니다. 고등학교 때 새롭게 등장하는 연립방정식은미지수가 3개인 연립일차방정식 (예전에는 '삼원일차연립방정식'이라고 부른 듯요.) x+y-z=22x-y+3z=11x+2y+z=7 이 연립방정식을 많이 학생들이 정해진 규칙없이이렇게 저렇게 돌려막기(?)하면서 문제를 푸는 게 문제라면 문제랄까요 물론 이케저케 더하기 빼기 하다보면 답은 나옵니다.그래도 제대로 된 풀이로 풀어야겠죠..?! 뭐... 간단합니다.일단 3개의 방정식을 두 개씩 묶습니다. (3가지 방법이 있죠.) x+y-z=22x-y+3z=11 2x-y+3z=11x+2y+z=7.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 8. 27.
로그 (1) 처음엔 이렇게 착하게(?) 풀지만좀 익숙해지면 바로바로 풉니다. 뭐... 별 차이가 없다구요..?!글쎄요... 저는 수준 차이가 확 느껴지는데요. ;; 암튼 이런 식이라면..., 0.00327, 0.0327, 0.327, 3.27, 32.7, 327, 3270, 32700, ...진수의 숫자배열이 같으면상용로그 값의 소수부분은 같을 수 밖에 없겠죠..?!(소수부분은 모두 0.5145 → '정수부분과 소수부분' 참고요~) 문제1)log4.16 = 0.6191 일 때log0.0416 의 값은? 먼저 착하게 풀어보면 진수만 보면 (4.16 → 0.0416)쩜이 왼쪽으로 두 칸.. 따라서log0.0416 = -2+log4.16 = -2+0.6191 = -1.3809 문제2)log41.6 = 1.6191.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 8. 20.
함수 (2) 이런 건 함수가 아니죠.왼쪽은 3이 어딘가 가야 하는데 안 가서 함수가 아니고 (정의역에 원소가 남아 있으면 안 됩니다.)오른쪽은 1이 하나로만 가야 하는데 a로도 가고 b로도 가서 함수가 아닙니다. 위에 나와 있는 상수함수와 헷갈리지 마세요~상수함수에서는 1도 하나로만 갔고 (a로), 2도 하나로만 갔고 (a로), 3도 하나로만 갔습니다. (a로)그래서 함수입니다. 이런 그림으로 보면이 관계가 함수인지 아닌지함수이면 어떤 함수인지 어렵지 않게 구분을 하는데그래프가 등장하면 갸웃거려집니다. 이제 그래프를 보고이 그래프가 함수인지 아닌지함수이면 어떤 함수인지 확인해 보겠습니다. 이건 함수가 아니고 (원의 방정식이란 말은 들어 봤어도 원의 함수란 말은 들어본 적 없죠..?!)이건 함수가 맞습니다.이것도 .. 공감수 0 댓글수 0 2024. 8. 13.
나머지정리 (1) 문제1)f(x)=x³-3x²+x+1 을 (x-2)로 나누었을 때의 나머지는? 풀이)몫을 Q(x), 나머지를 R이라고 하면x³-3x²+x+1=(x-2)Q(x)+Rx=2 를 대입하면8-12+2+1=0·Q(2)+R → R=-1Q(2)의 값은 얼마인지 모르지만 별로 관심없습니다.뭐가 됐든 0을 곱하니까 그냥 0이 돼버리거든요. 나머지정리를 처음 공부할 때는 이렇게 일일이 다 써서 풀지만앞으로 조금씩 익숙해지면 바로바로 풀 거예요~ 요렇게f(2)=8-12+2+1=-1 즉, 나누어주는 식을 0으로 만드는 x의 값을 (x-2=0 → x=2)주어진 함수에 대입해서 나오는 값이 그냥 나머지입니다. 그리고 한가지 더 언급하면여기서는 나머지만 물어봤기 때문에 이렇게 풀었지만몫과 나머지를 모두 물어보면 직접 나누거가 조립.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 8. 6.
항등식 (1) ax+b=3 이 방정식이 x의 값에 관계없이 무조건 성립하려면x에 어떤 값을 대입해도 무조건 성립하려면x=1을 대입하든, x=10을 대입하든, x=100을 대입하든 무조건 성립하려면a와 b의 값은 어케 돼야 할까요? a=0 이면 → x에 어떤 값이 와도 0·x=0 입니다.x의 값이 아무런 의미가 없어지는 거죠.그리고 b=3 a=0, b=3 이면 → 0·x+3=3이 방정식에서 x는 슬프지만 무의미한 존재가 되어 버립니다. 위에서 'x의 값에 관계없이 성립한다.'라고 했는데수학에서는 똑같은 의미의 표현들이 몇 개 존재합니다. x의 값에 관계없이 성립한다.= 모든 실수 x에 대하여 성립한다.= 임의의 실수 x에 대하여 성립한다.= x에 대한 항등식이다. 문제1)ax+b=3이 x에 대한 항등식이 되도록 하는.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 7. 30.
최대공약수 최소공배수 문제1)360과 240의 최대공약수, 최소공배수, 공약수의 개수는? 풀이1)360의 약수는1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360 240의 약수는1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240 따라서360과 240의 → 공약수는 16개, 최대공약수는 1201, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120 최소공배수는 720240, 480, 720, 960, ...360, 720, 1080, ... 풀이2)최대공약수는 2x2x2x3x5=120최소공배수는 .. 공감수 0 댓글수 0 2024. 7. 23.
함수 (1) 이 함수는x값이 다르면 y값(함수값)도 다릅니다. 식으로 써보면이런 함수를 일대일함수라고 부릅니다. 이 함수도x값이 다르면 y값(함수값)도 다릅니다. 일대일함수입니다. 그런데두 함수 f(x)와 g(x)는 다른 점이 하나 있습니다. f(x)의 공역은 {a, b, c, d}, 치역은 {a, b, d}g(x)의 공역은 {a, b, c}, 치역도 {a, b, c} f(x)는 공역과 치역이 다르지만g(x)는 공역과 치역이 같습니다. 이렇게 일대일함수 중에서공역과 치역이 같은 함수를특별히 일대일대응이라고 부릅니다. 그래서 정리해보면함수 f(x)는 일대일함수이고함수 g(x)는 일대일함수인 동시에 일대일대응입니다. 그래서 또 정리해보면일대일함수는 일대일대응이 될 수도 있고 안 될 수도 있지만일대일대응은 무조건 일대.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 7. 16.
배수찾기 ① 2의 배수일의 자리 숫자가 2의 배수이면, 그 수는 2의 배수입니다. 32745 → 일의 자리 숫자 5가 2의 배수가 아닙니다. 따라서, 32745는 2의 배수가 아닙니다.32748 → 일의 자리 숫자 8이 2의 배수입니다. 따라서, 32748은 2의 배수입니다. ② 3의 배수각 자리의 숫자를 모두 더해서 3의 배수가 나오면, 그 수는 3의 배수입니다. 73168 → 7+3+1+6+8=25 이고 3의 배수가 아닙니다. 따라서 73168은 3의 배수가 아닙니다.73158 → 7+3+1+5+8=24 이고 3의 배수입니다. 따라서 73158은 3의 배수입니다. ③ 4의 배수마지막 두 자리 숫자가 4의 배수이면, 그 수는 4의 배수입니다. 59243 → 마지막 두 자리 숫자 43이 4의 배수가 아닙니다... 공감수 1 댓글수 0 2024. 7. 9.
집합 (3) A={ xㅣx는 자연수 } ={ 1, 2, 3, ... } A={ 2xㅣx는 자연수 } ={ 2, 4, 6, ... } A={ x+3ㅣx는 자연수 } ={ 4, 5, 6, ... } A={ -2, -1, 0, 1, 2 }B={ 2x+1ㅣx∈A } ={ -3, -1, 1, 3, 5 } A={ -2, -1, 0, 1, 2 }B={ lxlㅣx∈A } ={ 0, 1, 2 } A={ 1, 2, 3 }B={ 2, 3, 4 }C={ x+yㅣx∈A, y∈B }x가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3y가 가질 수 있는 값은 2, 3, 4x+y=3, 4, 5, 6, 7C={ 3, 4, 5, 6, 7 } A={ 1, 2, 3 }B={ x+yㅣx∈A, y∈A }x가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3y가 가질 .. 공감수 0 댓글수 0 2024. 7. 4.
집합 (2) A={a, b, c, d}의 부분집합 중에서 a를 포함하는 부분집합의 개수는 8개입니다. 그럼 직접 확인해 보겠습니다. a를 뺀 b, c, d로 이루어진 부분집합은 8개입니다. ø {b} {c} {d} {b, c} {b, d} {c, d} {b, c, d} 바로 이 8개가 a를 포함한 부분집합이 개수입니다. a가 없다구요..?! 그냥 여기에다가 각각 a를 넣어주기만 하면 돼요~ ø → {a} {b} → {a, b} {c} → {a, c} {d} → {a, d} {b, c} → {a, b, c} {b, d} → {a, b, d} {c, d} → {a, c, d} {b, c, d} → {a, b, c, d} 그래서 a를 빼고 만든 부분집합의 개수가 a를 포함한 부분집합의 개수가 되는 것입니다~ 요기로 가면 .. 공감수 0 댓글수 0 2023. 10. 30.
집합 (1) 학생들이 헷갈려 하는 집합이 있습니다. A={ø, a, b, {a, b}} 먼저, 이 집합의 원소는 4개입니다. ø∈A a∈A b∈A {a, b}∈A 원소에 집합기호를 하면 부분집합이 됩니다. 원소가 1개인 경우 (4개) {ø}⊂A {a}⊂A {b}⊂A {{a, b}}⊂A 원소가 2개인 경우 (6개) {ø, a}⊂A {ø, b}⊂A {ø, {a, b}}⊂A {a, b}⊂A {a, {a, b}}⊂A {b, {a, b}}⊂A 원소가 3개인 경우 (4개) {ø, a, b}⊂A {ø, a, {a, b}}⊂A {ø, b, {a, b}}⊂A {a, b, {a, b}}⊂A 원소가 4개인 경우 (1개) {ø, a, b, {a, b}}⊂A 마지막으로 공집합 (1개) ø⊂A 이렇게 총 16개입니다. 여기서 학생들이 헷갈려.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 10. 30.
약수의 개수와 총합 144의 약수의 개수와 총합은? 걍 구해보면 1 x 144 2 x 72 3 x 48 4 x 36 6 x 24 8 x 18 9 x 16 12 x 12 따라서 약수의 개수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144 → 15개 약수의 총합은 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 9 + 12 + 16 + 18 + 24 + 36 + 48 + 72 + 144 = 403 그런데 문제는 초등학생이 이렇게 구하면 그러려니 하겠지만 중학생, 고등학생이 이렇게 구하면 많이 없어(?) 보인다는 것입니다. ㅎ 그럼 좀 있어(?) 보이게 풀어볼께요 먼저 144를 소인수분해 합니다. 2가 4개 있고, 3이 2개 있는데 약수의 개수는 지수에 1씩 더하고 서로 곱해서 구하면 .. 공감수 0 댓글수 0 2023. 10. 28.
정규분포 문제1) 정규분포 문제는 대부분 이 문제처럼 이항분포에서 시작하고 풀이는 뭐... 걍 순서를 따라가면 됩니다. ① 이항분포를 정규분포로 바꾸고 그림을 그려보면 이런 상황입니다. ② 표준화하고 그림을 그려보면 이런 상황입니다. ③ 마지막으로 답을 구하는 것은 여러분이 각자 알아서 하는 걸로... ;;;;; 정규분포 문제풀이는 (이해를 하든 말든) 이 순서만 따라가면 거의 대부분의 문제가 해결됩니다. 문제2) 확률질량함수를 보면 음... 이런 이항분포가 머리에 떠오르나요..? 떠오르면 다행이고 안 떠오르면 '이항분포 (2)' 고고~ 결국, 이 문제는 문제1과 같은 문제라는 거..!! 문제3) 역시, 이 문제도 문제1과 같은 문제임다~ 문제4) 걍 문제3을 거꾸로 써놓은 것입니다. 다르게 보이나요..?! ㅎ .. 공감수 0 댓글수 0 2022. 11. 8.
이항분포 (3) 문제1) 아래 확률분포표에 나타난 확률변수 X의 평균과 분산은? 심심하니까(?) 한번 확인해 볼까요~ 먼저 확률의 합이 1인 걸 확인해보면 다음은 평균 앞에서 구했던 평균과 값이 같습니다. 다음은 분산 역시, 앞에서 구했던 분산과 값이 같습니다. 음... 여기까지 복습인 거 다 알죠..?! ;;;;; 이해가 안 되면 얼른 '이항분포 (2)' 고고~ 문제2) 아래 확률분포표에 나타난 확률변수 X의 평균과 분산은? 어라..?! 우리가 원하는 건 이렇게 생긴 표인데 그럼 가운데에 억지고 구겨넣죠... 뭐... 요렇게 대신에 우리가 구하려는 평균과 분산은 확률변수 X의 평균과 분산이 아니라 확률변수 Y의 평균과 분산이 됩니다..!! 그리고 확률변수 X와 확률변수 Y 사이의 관계식은 Y=X+3 사전준비 끝..!!.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 10. 25.
이항분포 (2) 이항분포란..? 교과서에 나와 있는 그대로 한번 적어볼께요 한 번의 시행에서 사건 A가 일어날 확률이 p로 일정할 때 n번의 독립시행에서 사건 A가 일어나는 횟수를 X라 하면 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, ..., n이고 그 확률질량함수는 다음과 같다. 이와 같은 확률분포를 이항분포라 하고 기호로 B(n, p)와 같이 나타낸다. 독립시행이니 확률변수니 확률질량함수니 뭐... 대단한 거 적어놓은 것 같지만 쉽게(?) 이해할 수 있는 내용입니다. ;;;;; 이제 한번 이해해 볼까요 주사위를 10번 던지는 경우를 예로 들어보겠슴다. (한 번의 시행에서 사건 A가 일어날 확률이 p로 일정할 때) 주사위를 한 번 던질 때 1이 나올 확률은 1/6로 일정합니다. (n번의 독립시행에서) 앞에 던진.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 10. 4.
이항분포 (1) ① 주사위를 2번 던졌을 때, 3이 1번 나올 확률은? 따라서 주사위를 2번 던졌을 때, 3이 1번 나올 확률은 ② 주사위를 3번 던졌을 때, 3이 1번 나올 확률은? 따라서 주사위를 3번 던졌을 때, 3이 1번 나올 확률은 앞으로는 요렇게 표현할께요~ ③ 주사위를 4번 던졌을 때, 3이 1번 나올 확률은? 따라서 주사위를 4번 던졌을 때, 3이 1번 나올 확률은 더 안 해도 되죠..?! ;;;;; 결론: 주사위를 n번 던졌을 때, 3이 1번 나올 확률은 ------------------------------------------------------------------ ① 주사위를 3번 던졌을 때, 3이 2번 나올 확률은? 따라서 주사위를 3번 던졌을 때, 3이 2번 나올 확률은 ② 주사위를 4번 던.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 9. 20.
조건부확률 (2) 문제1) 10원짜리 동전 2개와 100원짜리 동전 1개를 동시에 던져서 앞면이 1개 나왔을 때 그것이 100원짜리 동전일 확률은? 앞면이 1개인 경우는 3가지 → 앞뒤뒤, 뒤앞뒤, 뒤뒤앞 이 중 100원짜리가 앞면인 경우는 1가지 → 앞뒤뒤 따라서, 앞면이 1개 나왔을 때 그것이 100원짜리 동전일 확률은 1/3 (3가지 경우 중 1가지) 풀이집처럼 구해보면 전체 경우의 수는 8가지 (← 2x2x2=8) 동전의 앞면이 1개 나오는 사건을 A 100원짜리 동전이 앞면이 나오는 사건을 B 라 하면 따라서, 앞면이 1개 나왔을 때 그것이 100원짜리 동전일 확률 문제2) A주머니에는 흰 바둑돌 4개, 검은 바둑돌 2개 B주머니에는 흰 바둑돌 3개, 검은 바둑돌 5개가 들어 있다. 임의로 하나의 주머니를 택하여.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 9. 6.
조건부확률 (1) 100명 중 한 명을 뽑을 때 여자일 확률은 56/100 남자일 확률은 44/100 1학년일 확률은 60/100 2학년일 확률은 40/100 1학년 여자일 확률은 37/100 1학년 남자일 확률은 23/100 2학년 여자일 확률은 19/100 2학년 남자일 확률은 21/100 여기까지 문제 없죠..?! (약분은 모두 생략여~) 한 명을 뽑았는데 1학년이네 그럼 이 1학년이 여자일 확률은 37/60 한 명을 뽑았는데 1학년이네 그럼 이 1학년이 남자일 확률은 23/60 한 명을 뽑았는데 2학년이네 그럼 이 2학년이 여자일 확률은 19/40 한 명을 뽑았는데 2학년이네 그럼 이 2학년이 남자일 확률은 21/40 한 명을 뽑았는데 여자네 그럼 이 여자가 1학년일 확률은 37/56 한 명을 뽑았는데 여자네 그럼.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 8. 23.
이항정리 (3) 문제1-1) 풀이1) 고1(수학상) 때는 이렇게 풀었죠 풀이2) 이항정리를 배웠으니까 이항정리로 풀어보면 문제1-2) 풀이1) 풀이2) 문제2-1) 풀이1) 풀이2) 문제2-2) 풀이1) 풀이2) 대체 무슨 짓을 한 거냐구요..?! 글쎄요... 다만 풀이 뒷부분에 더하기 빼기 하는 거는 문제4의 풀이1과 풀이2에 조금 간단한(?) 식과 설명이 있슴다. 관심있는 분들만 챙겨보세요~ ㅎ ;;;;; 암튼, 복습하는 셈치고 조금 간단한 식으로 해볼께요 문제3-1) 풀이1) 풀이2) 풀이1, 풀이2 모두 이제 많이 익숙해졌죠..?! 문제3-2) 풀이1) 풀이2) 셤에 나오는 문제들을 보면 위와 같이 기본적인 형태로 간단하게(?) 나오기도 하지만 응용이랍시고 식을 또는 말을 마구 어렵게 만들어 놨죠 ㅠ 풀이는 다 .. 공감수 0 댓글수 0 2022. 8. 9.
이항정리 (2) 이 식에서 이항정리의 기본적인 4개의 공식(?)이 나옵니다. 위의 두 식을 더하면 홀수항(?)이 다 사라지고 위의 두 식을 빼면 짝수항(?)이 다 사라집니다. 정리해보면 참고로 항의 개수가 짝수일 때는 위와 같이 짝수항, 홀수항이 반반으로 나눠지지만 항의 개수가 홀수일 때는 짝수항의 개수가 하나 더 많습니다. 예를 들어 별로 중요한 내용은 아니니까 한 번 읽고 그냥 넘어가세요~ 이제 수학책에 나와 있는 일반식으로 써보면 눈에 들어오나요..?! 이외에도 해괴망측한(?) 이항정리 공식이 몇 개 더 있는데 심심치 않게 등장하는 공식 하나만 더 보면 앞의 항 4개의 합과 뒤의 항 4개의 합은 똑같습니다. 항의 개수가 홀수일 때는 가운데 항을 넘겨주고 생각하면 됩니다. 요렇게 답답한가요..?! 눈 크게 뜨고 자알.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 7. 26.
이항정리 (1) 우리가 너무나 잘 알고 있는 이 식의 근원(기원?)을 보면 a는 하나씩 줄고 b는 하나씩 늘어납니다. 각 항의 계수는 a의 개수를 기준으로 쓰면 b의 개수를 기준으로 쓰면 대부분의 수학책에서는 b의 개수(뒤에 있는 문자)를 기준으로 정리합니다. 이해가 되나요..?! ;;;;; 세제곱으로 다시 한 번 해볼께요~ a는 하나씩 줄고 b는 하나씩 늘어납니다. 각 항의 계수는 a의 개수를 기준으로 쓰면 b의 개수를 기준으로 쓰면 역시 대부분의 수학책에서는 b의 개수(뒤에 있는 문자)를 기준으로 정리합니다. 이제는 이해가 되죠..?! ;;;;; 음... 네제곱으로 또 다시 한 번 해보면 a는 하나씩 줄고 b는 하나씩 늘어납니다. 각 항의 계수는 a의 개수를 기준으로 쓰면 b의 개수를 기준으로 쓰면 역시 대부분의 수.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 7. 12.
조합과 순열 (5) 문제1) 방정식 x+y+z=8 을 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는? 예를 들어 x=2, y=1, z=5 라고 하면 xxyzzzzz x=3, y=5, z=0 라고 하면 xxxyyyyy x=0, y=0, z=8 라고 하면 zzzzzzzz 이런 식으로 생각하면 세 개의 문자 x, y, z 에서 중복을 허락하여 8개를 뽑는 경우의 수가 됩니다..!! 따라서, 답은 이해되죠..?! 문제2) 방정식 x+y+z=8 을 만족시키는 자연수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는? x, y, z 가 자연수라고 했으니까 X=x-1, Y=y-1, Z=z-1 로 놓으면 X, Y, Z 는 음이 아닌 정수가 되고 이걸 주어진 식에 대입하면 (X+1)+(Y+1)+(Z+1)=8 .. 공감수 1 댓글수 0 2022. 6. 27.
조합과 순열 (4) 아홉 개의 숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 를 나열하는 경우의 수는? 아홉 개의 숫자 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 을 나열하는 경우의 수는? 아홉 개의 숫자 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 6 을 나열하는 경우의 수는? 아홉 개의 숫자 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3 을 나열하는 경우의 수는? 느낌 오죠..?! 왜 위와 같이 계산하는지는 여러분이 한 번 생각해 보세요~ 생각하기 싫으면 걍 그런가보네하고 넘어가도 상관없구요(?) ;;;;; 암튼 이런 순열의 제목은 '같은 것이 있는 순열'인데 (중복순열과는 달라요) '같은 것이 있는 순열'의 대표격인 문제가 최단거리 문제입니다. 문제1) A에서 B까지 최단거리로 가는 경우의 수는? 여기서 최단거.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 6. 14.
조합과 순열 (3) A, B, C, D, E 에서 3개를 뽑는 방법은? A, B, C, D, E 에서 3개를 뽑는 방법은? 중복을 허용해서 A, B, C, D, E 에서 3개를 뽑아 나열하는 방법은? A, B, C, D, E 에서 3개를 뽑아 나열하는 방법은? 중복을 허용해서 중복조합, 중복순열... 개념은 간단한데(?) 문제를 풀려면 살짝살짝 헷갈립니다. 문제1) 같은 종류(똑같이 생긴, 구별이 되지 않는)의 농구공 7개를 서로 다른 바구니 4개에 담는 경우의 수는? (빈 바구니가 있을 수도 있다.) 7개에서 4개를 뽑는 건가? 4개에서 7개를 뽑는 건가? 어느 것 같나요? 이런 중복조합 문제는 농구공을 바구니에 담는 방법으로 생각하면 헷갈립니다. (농구공 7개를 바구니 4개에 어케 담지?) 그러지말고 바구니에 농구공을 .. 공감수 0 댓글수 0 2022. 5. 30.
조합과 순열 (2) 문제1) 9명에서 대표 3명을 선출하는 방법은? 9명에서 반장 1명, 부반장 1명, 총무 1명을 선출하는 방법은? 대표 3명은 그냥 3명 뽑기만 하면 끝 (조합) 반장, 부반장, 총무는 뽑은 후에 다시 나열 (순열) 문제2) ① 9명을 2명, 3명, 4명으로 나누는 방법은? 9명에서 2명 뽑고 나머지 7명에서 3명 뽑고 나머지 4명에서 4명 뽑으면 됩니다. 또는 9명에서 2명 뽑고 나머지 7명에서 3명 뽑고 나머지 4명은 뭐... 그냥 자동으로 한 팀 답은 똑같지만 그래도 깔끔하게 처음처럼 다 써주는 걸로... ;;;;; ② 9명을 2명, 2명, 5명으로 나누는 방법은? 9명에서 2명 뽑고 나머지 7명에서 2명 뽑고 나머지 5명에서 5명 뽑으면 될 줄 알았는데 겹치는 문제가 발생합니다. 예를 들어 AB .. 공감수 0 댓글수 0 2022. 5. 16.
조합과 순열 (1) A, B 두 개의 문자를 나열하는 방법은 AB, BA 2가지 A, B, C 세 개의 문자를 나열하는 방법은 ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA 6가지 A, B, C, D 네 개의 문자를 나열하는 방법은 ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA 24가지 중학생 때 이런 거 하나하나 다 세지 않고 바로 구했죠..?! A, B 두 개의 문자를 나열하는 방법은 첫 번째 자리에 올 수 있는 경우는 2가지 두 번째 자리에 올 수 있는 경우는 1가지 따라서, 2x1 = 2가지 A, B, C 세 .. 공감수 2 댓글수 0 2022. 5. 2.
구분구적법 (6) 밑면의 반지름의 길이 r, 높이 h인 원뿔 이걸 구분구적법으로 구해보겠습니다. 아래 그림과 같이 원뿔을 5등분해서 원기둥을 만들고 그 부피를 모두 더해보면 (30분 걸려 나름 최선을 다해 그린 그림입니다. ㅠ) 이번에는 원뿔을 n등분해서 원기둥을 만들고 그 부피를 모두 더해보면 그런데 원기둥의 부피의 합과 실제 우리가 구하려는 원뿔의 부피는 같지가 않습니다. 오차가 발생하죠. 요만큼 (표시를 잘 못하겠네요. 여러분이 알아서 잘 봐 주세요~ ;;;;;) 그런데, 원기둥을 한 번 더 쪼개면(?) 오차가 줄어듭니다. 요렇게 (저는 정말 최선을 다해 그렸다는 거 ㅎ) 이런 식으로 원기둥을 계속 나누다보면 (즉, n을 무한대로 보내면) 오차는 사라지고 결국에는 우리가 구하고자 하는 원뿔의 부피와 같아집니다. 다 .. 공감수 0 댓글수 0 2022. 4. 19.
구분구적법 (5) 밑변의 길이 a, 높이 h인 삼각형 이걸 구분구적법으로 한 번 구해보겠습니다. 아래 그림과 같이 삼각형을 5등분해서 직사각형을 만들고 그 넓이를 모두 더해보면 이번에는 삼각형을 n등분해서 직사각형을 만들고 그 넓이를 모두 더해보면 그런데 사각형 넓이의 합과 실제 우리가 구하려는 삼각형의 넓이는 같지가 않습니다. 오차가 발생하죠. 요만큼 그런데, 사각형을 한 번 더 쪼개면(?) 오차가 줄어듭니다. 요렇게 이런 식으로 사각형을 계속 나누다보면 (즉, n을 무한대로 보내면) 오차는 사라지고 결국에는 우리가 구하고자 하는 삼각형의 넓이와 같아집니다. 다 됐습니다. 식으로 써볼까요 이번에는 다른 방식의(?) 구분구적법으로 삼각형의 넓이를 구해보겠습니다. 아래 그림과 같이 삼각형을 5등분해서 직사각형을 만들고 그 .. 공감수 0 댓글수 0 2022. 4. 5.
구분구적법 (3) 이제 이런저런 문제들을 풀면서 감을 잡아보겠습니다. ① 기본유형 ② 숫자 맞추기 ③ a=0 인 경우 ④ a=0 인 경우 거꾸로 풀기 (급수로 나타내기) 이제 이 급수를 보면 요렇게 정적분으로 바꿀 수 있죠..?! 그럼 거꾸로 이 정적분을 보고 요렇게 급수로도 바꿀 수 있어야 하는 건 당연한 거죠..?! 그런 거죠..?! ;;;;; 믿고 정적분을 급수를 이용해서 풀어보겠습니다. 제대로 풀었는지 확인해 볼까요 하나 더 해보면 확인해보면 ⑤ 평행이동 그림으로 그려볼께요 그럼 당연히 한번 확인해 볼까요 일반식으로 써보면 열심히 문제를 풀어서 답이 나왔는데 보기에 없다..?! 그럼, 평행이동 시켜가면서 똑같은 놈을 찾아야 합니다. 예를 들어 답이 요렇게 나왔는데 보기에 없으면 1만큼, 2만큼, 3만큼, ... 평.. 공감수 1 댓글수 0 2022. 3. 28.

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