수학공부

16진수 이해하기

실버스톤c — Sat, 20 Jun 2026 10:23:47 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

(이 글은 오래 전 관련분야에 종사할 당시 쓴 글을 약간 수정하여 올린 것입니다.)

기왕에 이진수 얘기가 나왔으니

16진수도 간단하게 언급하고 넘어가겠습니다.

앞에서 하던 이진수 이야기를 계속 이어가면 ('이진수 이해하기' 참고요~)

16진수에 있는 숫자들을 자세히 보면

16진수에서는 '16'이라는 숫자가 없습니다.

16진수에서 존재하는 숫자는

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 십, 십일, 십이, 십삼, 십사, 십오까지 딱 16개입니다.

어라..?! 이게 뭐죠..?! 왜 갑자기 한글로... ㅠ

십, 십일, 십이, 십삼, 십사, 십오를

10, 11, 12, 13, 14, 15와 같이 숫자로 쓰게 되면 자리수가 두 자리가 되어 버립니다.

그래서 16진수에서는

'십'은 a

'십일'은 b

'십이'는 c

'십삼'은 d

'십사'는 e

'십오'는 f

로 표현합니다.

이제 다시 정리하면

16진수에서 존재하는 숫자는

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f까지 딱 16개입니다.

'f'에서 '16'이 되면서 바로 윗자리의 숫자가 하나 올라갑니다.

0f → 10

0ff → 100

0fff → 1000

16진수를 한 번 세어보겠습니다.

100

101

뭐 이런 식입니다. 이해가 되나요..?! ;;

그럼 이렇게 복잡한(?) 16진수를 왜 사용하는 걸까요..?!

아래 표를 한 번 보겠습니다.

십진수	이진수	16진수
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	a
11	1011	b
12	1100	c
13	1101	d
14	1110	e
15	1111	f

표에서 보면

이진수 네 자리(4 digits)는 16진수 한 자리(1 digit)와 정확히 매치됩니다.

이진수를 네 자리씩 끊어서 16진수 한 자리로 나타낼 수 있다는 뜻입니다.

예를 들어

다음에 다룰 IP어드레스는 이렇게 생겼습니다.

01011111.10100011.01110000.01001011

오우~ 읽기도 벅찹니다.

우리는 이것을 네자리씩 끊어서 16진수로 변환합니다.

$\begin{aligned} \frac{0101}{5} \frac{1111}{f} \cdot \frac{1010}{a} \frac{0011}{3} \cdot \frac{0111}{7} \frac{0000}{0} \cdot \frac{0100}{4} \frac{1011}{b} \end{aligned}$

그래서 16진수로 바꾸면 이렇게 됩니다.

01011111.10100011.01110000.01001011 → 5f.a3.70.4b

어떠세요..?! 그래도 복잡하다구요..?! 그럼 할 수 없구요. ;; 암튼

16진수는 이렇게 읽기 편하라고(?) 이진수를 짧게 표현하는 것입니다.

그래도 16진수는 순전히 우리가 읽기 편하려고 사용하는 것이지

컴퓨터는 여전히 이진수를 사용합니다.

참고로

IP어드레스는 불행인지 다행인지

16진수가 아닌 십진수로 변환해서 공부합니다. 요렇게요

01011111.10100011.01110000.01001011 → 95.163.112.75

전문가가 아닌 우리가 16진수를 사용하는 때는

색상지정하는 경우가 유일(?)한 것 같습니다.

bgcolor="#e5d38a"

16진수에 대한 이야기는 여기까지요오~ ^-^//

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이진수 이해하기

실버스톤c — Fri, 19 Jun 2026 00:39:58 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

이 글은 오래 전 관련분야에 종사할 당시 쓴 글을 약간 수정하여 올린 것입니다.

이진수는 일상 생활에서 사용하지 않아서 좀 낯설 뿐이지 그렇게 어려운 것은 아닙니다.

지금부터 같은 말을 4번 반복할 것입니다.

그러려니 하고 대충 넘어가지 말고 숫자를 하나하나 세어보면 '진수'에 대한 감이 잡힐 거예요~

먼저 우리가 가장 잘 아는 십진수부터 보겠습니다.

아래 표에서 십진수를 0부터 32까지 세어보았습니다.

십진수에 있는 숫자들을 자세히 보면 십진수에서는 '십'이라는 숫자가 없습니다.

십진수에서 존재하는 숫자는 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9까지 딱 10개입니다.

'구'에서 '십'이 되면서 바로 윗자리의 숫자가 하나 올라갑니다.

09 → 10

099 → 100

0999 → 1000

이번에는 팔진수를 보겠습니다.

팔진수에 있는 숫자들을 자세히 보면 팔진수에서는 '8'이라는 숫자가 없습니다.

팔진수에서 존재하는 숫자는 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7까지 딱 8개입니다.

'7'에서 '8'이 되면서 바로 윗자리의 숫자가 하나 올라갑니다.

07 → 10

077 → 100

0777 → 1000

팔진수에 있는 숫자들을 차례대로 따라가면서 꼭 세어보세요~

십진수	팔진수	오진수	삼진수	이진수
0	0	0	0	0
1	1	1	1	1
2	2	2	2	10
3	3	3	10	11
4	4	4	11	100
5	5	10	12	101
6	6	11	20	110
7	7	12	21	111
8	10	13	22	1000
9	11	14	100	1001
10	12	20	101	1010
11	13	21	102	1011
12	14	22	110	1100
13	15	23	111	1101
14	16	24	112	1110
15	17	30	120	1111
16	20	31	121	10000
17	21	32	122	10001
18	22	33	200	10010
19	23	34	201	10011
20	24	40	202	10100
21	25	41	210	10101
22	26	42	211	10110
23	27	43	212	10111
24	30	44	220	11000
25	31	100	221	11001
26	32	101	222	11010
27	33	102	1000	11011
28	34	103	1001	11100
29	35	104	1002	11101
30	36	110	1010	11110
31	37	111	1011	11111
32	40	112	1012	100000

이번에는 오진수를 보겠습니다. 뭐... 똑 같습니다.

오진수에 있는 숫자들을 자세히 보면 오진수에서는 '5'라는 숫자가 없습니다.

오진수에서 존재하는 숫자는 0, 1, 2, 3, 4까지 딱 5개입니다.

'4'에서 '5'가 되면서 바로 윗자리의 숫자가 하나 올라갑니다.

04 → 10

044 → 100

0444 → 1000

오진수에 있는 숫자들을 차례대로 따라가면서 꼭 세어보세요~

이번에는 삼진수를 보겠습니다. 역시 똑 같습니다.

삼진수에 있는 숫자들을 자세히 보면 삼진수에서는 '3'이라는 숫자가 없습니다.

삼진수에서 존재하는 숫자는 0, 1, 2까지 딱 3개입니다.

'2'에서 '3'이 되면서 바로 윗자리의 숫자가 하나 올라갑니다.

02 → 10

022 → 100

0222 → 1000

삼진수에 있는 숫자들을 차례대로 따라가면서 꼭 세어보세요~

여기까지 이해하였다면 이진수는 다 이해한 것이나 마찬가지입니다.

이진수에는 0과 1밖에 존재하지 않습니다.

이진수에 있는 숫자들을 차례대로 따라가면서 꼭 세어보세요~

아래 표에 0부터 255까지의 십진수를 이진수로 변환시켜 놓았습니다.

000 00000000

001 00000001

002 00000010

003 00000011

004 00000100

005 00000101

006 00000110

007 00000111

008 00001000

009 00001001

010 00001010

011 00001011

012 00001100

013 00001101

014 00001110

015 00001111

016 00010000

017 00010001

018 00010010

019 00010011

020 00010100

021 00010101

022 00010110

023 00010111

024 00011000

025 00011001

026 00011010

027 00011011

028 00011100

029 00011101

030 00011110

031 00011111

032 00100000

033 00100001

034 00100010

035 00100011

036 00100100

037 00100101

038 00100110

039 00100111

040 00101000

041 00101001

042 00101010

043 00101011

044 00101100

045 00101101

046 00101110

047 00101111

048 00110000

049 00110001

050 00110010

051 00110011

052 00110100

053 00110101

054 00110110

055 00110111

056 00111000

057 00111001

058 00111010

059 00111011

060 00111100

061 00111101

062 00111110

063 00111111

064 01000000

065 01000001

066 01000010

067 01000011

068 01000100

069 01000101

070 01000110

071 01000111

072 01001000

073 01001001

074 01001010

075 01001011

076 01001100

077 01001101

078 01001110

079 01001111

080 01010000

081 01010001

082 01010010

083 01010011

084 01010100

085 01010101

086 01010110

087 01010111

088 01011000

089 01011001

090 01011010

091 01011011

092 01011100

093 01011101

094 01011110

095 01011111

096 01100000

097 01100001

098 01100010

099 01100011

100 01100100

101 01100101

102 01100110

103 01100111

104 01101000

105 01101001

106 01101010

107 01101011

108 01101100

109 01101101

110 01101110

111 01101111

112 01110000

113 01110001

114 01110010

115 01110011

116 01110100

117 01110101

118 01110110

119 01110111

120 01111000

121 01111001

122 01111010

123 01111011

124 01111100

125 01111101

126 01111110

127 01111111

128 10000000

129 10000001

130 10000010

131 10000011

132 10000100

133 10000101

134 10000110

135 10000111

136 10001000

137 10001001

138 10001010

139 10001011

140 10001100

141 10001101

142 10001110

143 10001111

144 10010000

145 10010001

146 10010010

147 10010011

148 10010100

149 10010101

150 10010110

151 10010111

152 10011000

153 10011001

154 10011010

155 10011011

156 10011100

157 10011101

158 10011110

159 10011111

160 10100000

161 10100001

162 10100010

163 10100011

164 10100100

165 10100101

166 10100110

167 10100111

168 10101000

169 10101001

170 10101010

171 10101011

172 10101100

173 10101101

174 10101110

175 10101111

176 10110000

177 10110001

178 10110010

179 10110011

180 10110100

181 10110101

182 10110110

183 10110111

184 10111000

185 10111001

186 10111010

187 10111011

188 10111100

189 10111101

190 10111110

191 10111111

192 11000000

193 11000001

194 11000010

195 11000011

196 11000100

197 11000101

198 11000110

199 11000111

200 11001000

201 11001001

202 11001010

203 11001011

204 11001100

205 11001101

206 11001110

207 11001111

208 11010000

209 11010001

210 11010010

211 11010011

212 11010100

213 11010101

214 11010110

215 11010111

216 11011000

217 11011001

218 11011010

219 11011011

220 11011100

221 11011101

222 11011110

223 11011111

224 11100000

225 11100001

226 11100010

227 11100011

228 11100100

229 11100101

230 11100110

231 11100111

232 11101000

233 11101001

234 11101010

235 11101011

236 11101100

237 11101101

238 11101110

239 11101111

240 11110000

241 11110001

242 11110010

243 11110011

244 11110100

245 11110101

246 11110110

247 11110111

248 11111000

249 11111001

250 11111010

251 11111011

252 11111100

253 11111101

254 11111110

255 11111111

진하게 표시된 숫자만 다시 한 번 정리해 보았습니다.

00000001 = 1

00000010 = 2

00000100 = 4

00001000 = 8

00010000 = 16

00100000 = 32

01000000 = 64

10000000 = 128

11000000 = 192

11100000 = 224

11110000 = 240

11111000 = 248

11111100 = 252

11111110 = 254

11111111 = 255

이진수.. 어렵지 않죠..?! ^-^//

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낚시문제 (6)

실버스톤c — Thu, 18 Jun 2026 00:27:32 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

문제1)

$a+b=-5, \;ab=4$ 일 때,

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$ 의 값은?

풀이1)

$\begin{aligned}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 & =a+b+2 \sqrt{a b} \\ & =-5+2 \sqrt{4} \\ & =-1\end{aligned}$

틀린 풀이인데 어디서 틀렸는지 보이나요..?!

밑을 보기 전에 한 번 찾아보세요~ ;;

공교롭게도(?) 합이 음수, 곱이 양수입니다. 즉

a, b 모두 음수이고

$a<0, \;b<0$ 이면

$\begin{aligned} & \sqrt{a} \sqrt{a}=-\sqrt{a^2}=-|a|=a \\ & \sqrt{b} \sqrt{b}=-\sqrt{b^2}=-|b|=b \\ & \sqrt{a} \sqrt{b}=-\sqrt{a b}\end{aligned}$

이므로

제대로 풀면 이케 됩니다.

$\begin{aligned}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 & =(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \\ & =\sqrt{a} \sqrt{a}+\sqrt{b} \sqrt{b}+2 \sqrt{a} \sqrt{b} \\ & =a+b-2 \sqrt{a b} \\ & =-5-2 \sqrt{4} \\ & =-9\end{aligned}$

풀이2)

합이 -5, 곱이 4인 두 수는 -1과 -4입니다.

$a=-1, \;b=-4$ 또는 $a=-4, \;b=-1$

$\begin{aligned}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 & =(\sqrt{-1}+\sqrt{-4})^2 \\ & =(i+2 i)^2 \\ & =-9\end{aligned}$

문제2)

$a+b=5, \;ab=4$ 일 때,

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$ 의 값은?

풀이1)

합이 양수, 곱도 양수입니다. 즉

a, b 모두 양수이고

$a>0, \;b>0$ 이면

$\begin{aligned} & \sqrt{a} \sqrt{a}=\sqrt{a^2}=|a|=a \\ & \sqrt{b} \sqrt{b}=\sqrt{b^2}=|b|=b \\ & \sqrt{a} \sqrt{b}=\sqrt{a b}\end{aligned}$

이므로

$\begin{aligned}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 & =(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \\ & =\sqrt{a} \sqrt{a}+\sqrt{b} \sqrt{b}+2 \sqrt{a} \sqrt{b} \\ & =a+b+2 \sqrt{a b} \\ & =5+2 \sqrt{4} \\ & =9\end{aligned}$

풀이2)

합이 5, 곱이 4인 두 수는 1과 4입니다.

$a=1, \;b=4$ 또는 $a=4, \;b=1$

$\begin{aligned}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 & =(\sqrt{1}+\sqrt{4})^2 \\ & =(1+2)^2 \\ & =9\end{aligned}$

문제3)

$a+b=3, \;ab=-4$ 일 때,

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$ 의 값은?

풀이1)

합이 양수, 곱이 음수입니다. 즉

a, b 중 하나는 양수, 하나는 음수이고

$a>0, \;b<0$ 이면

$\begin{aligned} & \sqrt{a} \sqrt{a}=\sqrt{a^2}=|a|=a \\ & \sqrt{b} \sqrt{b}=-\sqrt{b^2}=-|b|=b \\ & \sqrt{a} \sqrt{b}=\sqrt{a b}\end{aligned}$

이므로

$a<0, \;b>0$ 이여도 값은 똑같습니다.

한 번 확인해 보세요~

풀이2)

합이 3, 곱이 -4인 두 수는 -1과 4입니다.

$a=-1, \;b=4$ 또는 $a=4, \;b=-1$

$\begin{aligned}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 & =(\sqrt{4}+\sqrt{-1})^2 \\ & =(2+i)^2 \\ & =3+4i\end{aligned}$

결론입니다.

(루트x루트)가 나오면 부호를 확인해야 하고

두 수 모두 음수일 때는 주의한다..!!

낚이면 안 된다..!!

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낚시문제 (5)

실버스톤c — Thu, 18 Jun 2026 00:06:21 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

문제1)

점 $P(x, \;y)$가 두 점 $A(1, \;4), \;B(6, \;-1)$을 이은 선분 $AB$ 위를 움직일 때,

$2x^2+y^2$의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

풀이)

선분 $AB$를 나타내는 방정식은

$y=-x+5 \;\;(1 \leq x \leq 6)$

$\begin{aligned} 2 x^2+y^2 & =2 x^2+(-x+5)^2 \\ & =3 x^2-10 x+25 \\ & =3\left(x^2-\frac{10}{3} x+\frac{25}{9}-\frac{25}{9}\right)+25 \\ & =3\left(x-\frac{5}{3}\right)^2+\frac{50}{3}\;\;(1 \leq x \leq 6)\end{aligned}$

$x=6$ 일 때, 최댓값 $73$

$x=\frac{5}{3}$ 일 때, 최솟값 $\frac{50}{3}$

문제2)

점 $P(x, \;y)$가 두 점 $A(1, \;4), \;B(6, \;-1)$을 이은 직선 $AB$ 위를 움직일 때,

$2x^2+y^2$의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

풀이)

문제1과 풀이가 똑같고 다만

이번에는 직선이므로(선분이 아니라)

정의역($x$의 값의 범위)이 실수 전체입니다.

따라서

최댓값은 없고

최솟값은 $\frac{50}{3}$

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낚시문제 (4)

실버스톤c — Wed, 17 Jun 2026 00:39:37 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

문제1)

두 점 $A(-2, \;6), \;B(4, \;3)$을 이은 선분 $AB$ 위의 점 C에 대하여

$\overline{A B}=3 \overline{B C}$일 때, 점 C의 좌표는?

문제2)

두 점 $A(-2, \;6), \;B(4, \;3)$을 이은 선분 $AB$의 연장선 위의 점 C에 대하여

$\overline{A B}=3 \overline{B C}$일 때, 점 C의 좌표는?

문제3)

두 점 $A(-2, \;6), \;B(4, \;3)$을 이은 직선 $AB$ 위의 점 C에 대하여

$\overline{A B}=3 \overline{B C}$일 때, 점 C의 좌표는?

주어진 조건

$\overline{A B}=3 \overline{B C}$을 만족하는 점 C는 두 가지 경우가 있습니다.

선분 AB를 2:1로 내분하는 경우 → C(2, 4)

선분 AB를 4:1로 외분하는 경우 → C(6, 2)

따라서

문제1의 답은 C(2, 4)

문제2의 답은 C(6, 2)

문제3의 답은 C(2, 4) 또는 C(6, 2)

'내분점과 외분점', '자취의 방정식 (9)'를 참고해 주세요~

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낚시문제 (3)

실버스톤c — Wed, 17 Jun 2026 00:17:32 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

문제1)

점 (-2, 2)를 어떤 점에 대하여 대칭이동하였더니 점 (2, -2)가 되었다.

이 대칭이동에 의하여 직선 x+2y-1=0이 옮겨지는 직선의 방정식은?

원점에 대한 대칭이동이므로

직선 x+2y-1=0을

원점에 대하여 대칭이동하면

$(-x)+2 \cdot(-y)-1=0 \;\;\rightarrow\;\; x+2 y+1=0$

문제2)

점 (-2, 2)를 어떤 직선에 대하여 대칭이동하였더니 점 (2, -2)가 되었다.

이 대칭이동에 의하여 직선 x+2y-1=0이 옮겨지는 직선의 방정식은?

직선 y=x에 대한 대칭이동이므로

직선 x+2y-1=0을

직선 y=x에 대하여 대칭이동하면

$y+2 x-1=0 \;\;\rightarrow\;\; 2 x+y-1=0$

문제3)

점 (-2, 2)를 평행이동하였더니 점 (2, -2)가 되었다.

이 평행이동에 의하여 직선 x+2y-1=0이 옮겨지는 직선의 방정식은?

x축의 방향으로 4만큼

y축의 방향으로 -4만큼 평행이동이므로

직선 x+2y-1=0을

x축의 방향으로 4만큼

y축의 방향으로 -4만큼 평행이동하면

$(x-4)+2(y+4)-1=0 \;\;\rightarrow\;\; x+2 y+3=0$

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낚시문제 (2)

실버스톤c — Tue, 16 Jun 2026 23:51:11 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

문제1)

3과 79 사이에 $n$개의 수 $a_1, \;a_2, \;a_3, \cdots, \;a_n$을 넣어

등차수열 $3, \;a_1, \;a_2, \;a_3, \cdots, \;a_n, \;79$를 만들었다.

이 수열의 모든 항의 합이 738일 때, 자연수 $n$의 값은?

등차수열의 합을 구하는 공식은 2개가 있죠.

$\begin{aligned} S_n=\frac{n\{2 a+(n-1) d\}}{2} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} S_n=\frac{n(a+l)}{2} \end{aligned} $

항수는 $(n+2)$, 첫째항은 $3$, 끝항은 $79$이므로

두 번째 공식에 대입하면

$ \begin{aligned} \frac{(n+2)(3+79)}{2}=738 \;\;\rightarrow\;\; n=16 \end{aligned} $

문제2)

3과 79 사이에 $n$개의 수 $a_1, \;a_2, \;a_3, \cdots, \;a_n$을 넣어

등차수열 $3, \;a_1, \;a_2, \;a_3, \cdots, \;a_n, \;79$를 만들었다.

수열 $a_n$의 모든 항의 합이 738일 때, 자연수 $n$의 값은?

문제1과 다른 부분이 보이죠..?!

그럼 식은

$ \begin{aligned} \frac{(n+2)(3+79)}{2}-(3+79)=738 \;\;\rightarrow\;\; n=18 \end{aligned}$

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낚시문제 (1)

실버스톤c — Tue, 16 Jun 2026 23:09:37 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

아래 그림에서 a, b의 값은?

모지..?! 그냥

$a=1, \;b=\sqrt{3}$

틀리셨습니다..!! ㅋ~

이 그림을 제대로 그리면

요렇게 되거든요.

따라서

$a=\sqrt{3}, \;b=1$

저의 경험에 의하면

열에 아홉은 틀리는 것 같습니다. ㅠ

틀리는 이유는 단 하나

문제를 제대로 보지 않고 답을 쓰기 때문입니다.

문제에는 분명히 30˚라고 적혀있는데

걍 무시하고 그림만 보고 당연하게 답을 적습니다.

그림을 이따구로 그린 출제자가 잘못이라구요..?!

그렇지 않습니다.

수학에서는 출제자가 왕입니다..!!

출제가가 30˚라고 하면 무조건 30˚입니다.

좀 과장해서 이렇게 그려놔도

이 각은 30˚인 것입니다.

그림이 틀렸다고 따질 필요도 없습니다.

문제를 푸는 사람은 무조건 30˚로 생각하고 풀어야 합니다.

물론 이렇게까지 심하게 과장하지야 않겠지만...

제가 드리고 싶은 말씀은

문제를 푸는 우리들은

출제자의 지시(?)에 무조건 복종(?)해야 된다는 것입니다.

반항해봤자 나만 손해입니다.

우린 아무런 힘이 없거든요. ㅠ

사자가 되기 위해서는 낙타의 과정을 거쳐야 한다는 니체님의 말씀이... ^-^// ;;

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내적

실버스톤c — Tue, 16 Jun 2026 14:44:26 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

'2026 수능 기하 30번 풀이'를 이해하기 위한 글입니다.

사전준비부터 하면 ('삼각비 (2)' 참고요~)

$b=a \cos \theta$

$\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} & =|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ & =|\vec{a}| \cos \theta \times|\vec{b}| \\ & =|\vec{b}| \times|\vec{b}| \\ & =|\vec{b}|^2\end{aligned}$

이런 상황은 주로 원에서 발생합니다.

$\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{b}|^2$

$\overrightarrow{P C} \cdot \overrightarrow{P Q}=|\overrightarrow{P Q}|^2$

$\overrightarrow{P C} \cdot \overrightarrow{P A}=|\overrightarrow{P A}|^2$

$\overrightarrow{P C} \cdot \overrightarrow{P B}=|\overrightarrow{P B}|^2$

결론입니다.

$\begin{aligned} & (\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}) \cdot \overrightarrow{P Q}=\overrightarrow{P C} \cdot \overrightarrow{P Q}=|\overrightarrow{P Q}|^2 \\ & (\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}) \cdot \overrightarrow{P A}=\overrightarrow{P C} \cdot \overrightarrow{P A}=|\overrightarrow{P A}|^2 \\ & (\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}) \cdot \overrightarrow{P B}=\overrightarrow{P C} \cdot \overrightarrow{P B}=|\overrightarrow{P B}|^2\end{aligned}$

이제 '2026 수능 기하 30번 풀이' 중에서

$\begin{aligned} & (\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}) \cdot \overrightarrow{P Q}+(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}) \cdot \overrightarrow{P B}=2|\overrightarrow{P Q}|^2 \\ & |\overrightarrow{P Q}|^2+|\overrightarrow{P B}|^2=2|\overrightarrow{P Q}|^2\end{aligned}$

이 부분이

이해가 될 거예요~ ^-^//

▶ 2026 수능 기하 전체 문제풀이

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모평균의 추정

실버스톤c — Tue, 16 Jun 2026 06:49:14 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

비교를 위해

복습 좀 하고 갈게요~

문제)

정규분포 N(200, 180)을 따르는 모집단에서

크기가 5인 표본을 임의추출하면

표본평균의 평균 $E(\bar{X})=200$

표본평균의 분산 $\begin{aligned} V(\bar{X})=\frac{180}{5}=36 \end{aligned}$

그림으로 상황파악을 해보면 이런 상황입니다.

여기서 표본평균의 평균이 200이라는 의미는

모집단에서

5개를 뽑아 평균을 내면 200이 나온다는 의미가 아니고..!!

모집단에서

5개를 뽑아 평균(표본평균)을 내고 또

5개를 뽑아 평균(표본평균)을 내고......

이런 식으로 5개의 평균(표본평균)을 계속 구한다음 (몇 번을 해야되는지는 알 수 없지만 ;;)

이것들의 평균을 구하면 200이 나온다는 의미입니다..!! 즉

표본평균들의 평균을 구한 것이

표본평균의 평균입니다.

표본의 평균(표본평균) $\bar{X}$

표본평균의 평균 $E(\bar{X})$

위의 두 개가 구분이 안 되면

'표본의 평균·분산·표준편차'

'표본평균의 평균·분산·표준편차'으로 고고~

많은 학생들이 이런 개념을 이해하기 못해

문제를 이런저런 구분없이 그냥 감으로 푸는 것 같습니다. ㅠ

한 가지 더 이야기하면

모집단의 평균, 분산은 어케 구했는지(알려져 있는지)

개인적으로 참 궁금합니다.

그냥 통계적 수치인 것 같은데

우리는 걍 그런가보다하고 문제를 풀기만 하면 됩니다. ;;

이제 모평균을 추정해 볼까요~

모평균을 추정하는 것은

표본평균의 평균을 구하는 것과는 반대방향(?)입니다.

모집단에서

몇 개를 추출해 평균(표본평균)을 구한 다음

그 값은 가지고 모평균을 추정하는 것입니다.

추정이라는 것도

모평균이 얼마다라고 딱 단정짓는 것이 아니고 (그럴 수도 없겠죠..?!)

모평균이 여기부터 여기까지 이 구간에 존재할 것이다라고 말하는 것입니다.

예를 들어

표준편차가 3인 모집단에서 (물론 정규분포를 따르는 모집단입니다.)

임의추출한 10개의 표본의 평균이 45였다면

그림으로 상황파악을 해보면 이런 상황입니다.

모집단의 평균 m은 아래 구간에 존재할 것이다.

라고 말그대로 추정하는 것입니다.

$ \begin{aligned} 45-1.96 \times \frac{3}{\sqrt{10}} \leq m \leq 45+1.96 \times \frac{3}{\sqrt{10}} \end{aligned} $

여기서 숫자 1.96은 정해져 있는 숫자입니다.

이 숫자를 크게해서 구간을 늘려주면

$ \begin{aligned} 45-2.58 \times \frac{3}{\sqrt{10}} \leq m \leq 45+2.58 \times \frac{3}{\sqrt{10}} \end{aligned} $

당연히 추정하는 모평균의 범위도 넓어지겠죠..?!

그래서

신뢰도 95%의 신뢰구간이니

신뢰도 99%의 신뢰구간이니 하는 용어가 등장합니다.

대충(?) 이 정도로만 감을 잡고

교과서를 한 번 읽어볼까요.

정규분포 $N(m, \;\sigma^2)$을 따르는 모집단에서

임의추출한 크기가 $n$인 표본의 표본평균 $\bar{X}$의 값이 $\bar{x}$일 때,

모평균 $m$에 대한 신뢰구간은 다음과 같다.

신뢰도 95%의 신뢰구간

$ \begin{aligned} \bar{x}-1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq m \leq \bar{x}+1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \end{aligned} $

신뢰도 99%의 신뢰구간

$ \begin{aligned} \bar{x}-2.58 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq m \leq \bar{x}+2.58 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \end{aligned} $

이건 뭐...

수학이 아니고 산수입니다. 산수..!! ;;

문제는 여러분이 직접 풀어보세요~

얼추 개념은 잡았으니

숫자만 갖다 대입하면 될 거예요~ ^-^//

PS.

위의 공식에서 σ는 모표준편차입니다.

그런데 n이 충분히 크면

모표준편차 대신에 표본표준편차를 대입해도 된다고 나와 있습니다.

그럼 우리는 문제에서

모표준편차를 주면 모표준편차를 대입하면 되고

표본표준편차를 주면 표본표준편차를 대입하면 됩니다.

둘 다 주면 어떻하냐구요..?!

그런 문제는 본 적이 없어여~ ;;

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표본평균의 평균·분산·표준편차

실버스톤c — Tue, 16 Jun 2026 00:29:09 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

모집단 {1, 3, 5, 7}에서

크기가 2인 표본을 임의로 복원추출해보면

{1, 1}, {1, 3}, {1, 5}, {1, 7}

{3, 1}, {3, 3}, {3, 5}, {3, 7}

{5, 1}, {5, 3}, {5, 5}, {5, 7}

{7, 1}, {7, 3}, {7, 5}, {7, 7}

모두 16가지 경우가 있습니다.

각각의 경우

표본평균을 구해보면

표본 {1, 1}의 평균 $\bar{X}=1$

표본 {1, 3}의 평균 $\bar{X}=2$

표본 {1, 5}의 평균 $\bar{X}=3$

표본 {1, 7}의 평균 $\bar{X}=4$

표본 {3, 1}의 평균 $\bar{X}=2$

표본 {3, 3}의 평균 $\bar{X}=3$

표본 {3, 5}의 평균 $\bar{X}=4$

표본 {3, 7}의 평균 $\bar{X}=5$

표본 {5, 1}의 평균 $\bar{X}=3$

표본 {5, 3}의 평균 $\bar{X}=4$

표본 {5, 5}의 평균 $\bar{X}=5$

표본 {5, 7}의 평균 $\bar{X}=6$

표본 {7, 1}의 평균 $\bar{X}=4$

표본 {7, 3}의 평균 $\bar{X}=5$

표본 {7, 5}의 평균 $\bar{X}=6$

표본 {7, 7}의 평균 $\bar{X}=7$

따라서

표본평균이 1이 나올 확률 $P(\bar{X}=1)=\frac{1}{16}$

표본평균이 2가 나올 확률 $P(\bar{X}=2)=\frac{2}{16}$

표본평균이 3이 나올 확률 $P(\bar{X}=3)=\frac{3}{16}$

표본평균이 4가 나올 확률 $P(\bar{X}=4)=\frac{4}{16}$

표본평균이 5가 나올 확률 $P(\bar{X}=5)=\frac{3}{16}$

표본평균이 6이 나올 확률 $P(\bar{X}=6)=\frac{2}{16}$

표본평균이 7이 나올 확률 $P(\bar{X}=7)=\frac{1}{16}$

보기좋게 표로 만들어볼까요.

$\bar{X}$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	합계
$P(\bar{X}=\bar{x})$	$\frac{1}{16}$	$\frac{2}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{4}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{2}{16}$	$\frac{1}{16}$	$1$

이제 표를 보면서

표본평균의 평균, 분산, 표준편차를 구해보면

$\begin{aligned} & E(\bar{X})=1 \cdot \frac{1}{16}+2 \cdot \frac{2}{16}+3 \cdot \frac{3}{16}+4 \cdot \frac{4}{16}+5 \cdot \frac{3}{16}+6 \cdot \frac{2}{16}+7 \cdot \frac{1}{16}=4 \\ & V(\bar{X})=\left(1^2 \cdot \frac{1}{16}+2^2 \cdot \frac{2}{16}+3^2 \cdot \frac{3}{16}+4^2 \cdot \frac{4}{16}+5^2 \cdot \frac{3}{16}+6^2 \cdot \frac{2}{16}+7^2 \cdot \frac{1}{16}\right)-4^2=\frac{5}{2} \\ & \sigma(\bar{X})=\frac{\sqrt{10}}{2}\end{aligned}$

표본평균의 평균, 분산, 표준편차를 구하긴 구했지만

실제로는 이따구로(?) 구하진 않죠.

언제 일일이 이렇게 하나하나 구하겠어요..?!

우리에겐 편리한 공식이 있는데..!!

모평균이 $m$이고 모표준편차가 $\sigma$인 모집단에서

임의추출한 크기가 $n$인 표본의 표본평균 $\bar{X}$에 대하여

$\begin{aligned} E(\bar{X})=m, \;\; V(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}, \;\; \sigma(\bar{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \end{aligned} $

그럼 이제는

공식으로 한 번 구해볼까요.

모집단 {1, 3, 5, 7}의

평균, 분산, 표준편차는

$\begin{aligned} & m=\frac{1+3+5+7}{4}=4 \\ & \sigma^2=\frac{1^2+3^2+5^2+7^2}{4}-4^2=5 \\ & \sigma=\sqrt{5}\end{aligned}$

공식에 넣어보면

$\begin{aligned} & E(\bar{X})=m=4 \\ & V(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}=\frac{5}{2} \\ & \sigma(\bar{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}\end{aligned}$

다행히(?) 결과가 같게 나오네요. ;;

그런데 이 시점에서

한가지 궁금한 점이 생깁니다.

(지금부터 하는 이야기는

관심이 없으면 안 읽어도 아무런 상관이 없어요~)

위에서는 복원추출로 구했는데

비복원추출 또는 동시에 추출하는 경우에도

같은 결과가 나올까..? 하는 궁금증 말입니다.

비복원추출부터 확인해 볼까요.

모집단 {1, 3, 5, 7}에서

크기가 2인 표본을 임의로 비복원추출해보면

{1, 3}, {1, 5}, {1, 7}

{3, 1}, {3, 5}, {3, 7}

{5, 1}, {5, 3}, {5, 7}

{7, 1}, {7, 3}, {7, 5}

모두 12가지 경우가 있습니다.

공식으로 확인해봐도 12가지가 나옵니다.

${ }_4 P_2=4 \cdot 3=12$

공식은 '표본의 평균·분산·표준편차' 참고요~ 암튼

각각의 경우

표본평균을 구해보면

표본 {1, 3}의 평균 $\bar{X}=2$

표본 {1, 5}의 평균 $\bar{X}=3$

표본 {1, 7}의 평균 $\bar{X}=4$

표본 {3, 1}의 평균 $\bar{X}=2$

표본 {3, 5}의 평균 $\bar{X}=4$

표본 {3, 7}의 평균 $\bar{X}=5$

표본 {5, 1}의 평균 $\bar{X}=3$

표본 {5, 3}의 평균 $\bar{X}=4$

표본 {5, 7}의 평균 $\bar{X}=6$

표본 {7, 1}의 평균 $\bar{X}=4$

표본 {7, 3}의 평균 $\bar{X}=5$

표본 {7, 5}의 평균 $\bar{X}=6$

따라서

표본평균이 2가 나올 확률 $P(\bar{X}=2)=\frac{2}{12}$

표본평균이 3이 나올 확률 $P(\bar{X}=3)=\frac{2}{12}$

표본평균이 4가 나올 확률 $P(\bar{X}=4)=\frac{4}{12}$

표본평균이 5가 나올 확률 $P(\bar{X}=5)=\frac{2}{12}$

표본평균이 6이 나올 확률 $P(\bar{X}=6)=\frac{2}{12}$

보기좋게 표로 만들어볼까요.

$\bar{X}$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	합계
$P(\bar{X}=\bar{x})$	$\frac{2}{12}$	$\frac{2}{12}$	$\frac{4}{12}$	$\frac{2}{12}$	$\frac{2}{12}$	$1$

이제 표를 보면서

표본평균의 평균, 분산, 표준편차를 구해보면

$\begin{aligned} & E(\bar{X})=2 \cdot \frac{2}{12}+3 \cdot \frac{2}{12}+4 \cdot \frac{4}{12}+5 \cdot \frac{2}{12}+6 \cdot \frac{2}{12}=4 \\ & V(\bar{X})=\left(2^2 \cdot \frac{2}{12}+3^2 \cdot \frac{2}{12}+4^2 \cdot \frac{4}{12}+5^2 \cdot \frac{2}{12}+6^2 \cdot \frac{2}{12}\right)-4^2=\frac{5}{3} \\ & \sigma(\bar{X})=\frac{\sqrt{15}}{3}\end{aligned}$

에궁... 평균은 똑같은데

분산은 다르게 나오네요. ㅠ

동시에 추출하는 경우도 한 번 해보죠.

모집단 {1, 3, 5, 7}에서

크기가 2인 표본을 동시에 추출해 보면

{1, 3}, {1, 5}, {1, 7}

{3, 5}, {3, 7}, {5, 7}

모두 6가지 경우가 있습니다.

공식으로 확인해 봐도 6가지가 나옵니다.

${ }_4 C_2=\frac{4!}{2!\cdot 2!}=6$

공식은 역시 '표본의 평균·분산·표준편차' 참고요~ 암튼

각각의 경우

표본평균을 구해보면

표본 {1, 3}의 평균 $\bar{X}=2$

표본 {1, 5}의 평균 $\bar{X}=3$

표본 {1, 7}의 평균 $\bar{X}=4$

표본 {3, 5}의 평균 $\bar{X}=4$

표본 {3, 7}의 평균 $\bar{X}=5$

표본 {5, 7}의 평균 $\bar{X}=6$

따라서

표본평균이 2가 나올 확률 $P(\bar{X}=2)=\frac{1}{6}$

표본평균이 3이 나올 확률 $P(\bar{X}=3)=\frac{1}{6}$

표본평균이 4가 나올 확률 $P(\bar{X}=4)=\frac{2}{6}$

표본평균이 5가 나올 확률 $P(\bar{X}=5)=\frac{1}{6}$

표본평균이 6이 나올 확률 $P(\bar{X}=6)=\frac{1}{6}$

보기좋게 표로 만들어볼까요.

$\bar{X}$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	합계
$P(\bar{X}=\bar{x})$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$1$

이제 표를 보면서

표본평균의 평균, 분산, 표준편차를 구해보면

$\begin{aligned} & E(\bar{X})=2 \cdot \frac{1}{6}+3 \cdot \frac{1}{6}+4 \cdot \frac{2}{6}+5 \cdot \frac{1}{6}+6 \cdot \frac{1}{6}=4 \\ & V(\bar{X})=\left(2^2 \cdot \frac{1}{6}+3^2 \cdot \frac{1}{6}+4^2 \cdot \frac{2}{6}+5^2 \cdot \frac{1}{6}+6^2 \cdot \frac{1}{6}\right)-4^2=\frac{5}{3} \\ & \sigma(\bar{X})=\frac{\sqrt{15}}{3}\end{aligned}$

역시 평균은 똑같은데

분산은 다르게 나옵니다. 그런데

비복원추출하는 경우와 동시에 추출하는 경우가

평균, 분산, 표준편차 모두 서로 같습니다.

이 경우에만 그런 건지... 아니면

일반적인 경우에 다 그런 건지는 자신이 없슴다. ㅠ ;;

관련 내용을 다룬 책을 본 적이 없어서리...

암튼 요정도만 하고

공식을 다시 한 번 들여다 볼께요.

모평균이 $m$이고 모표준편차가 $\sigma$인 모집단에서

임의추출한 크기가 $n$인 표본의 표본평균 $\bar{X}$에 대하여

$\begin{aligned} E(\bar{X})=m, \;\; V(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}, \;\; \sigma(\bar{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \end{aligned} $

공식에서는

복원추출, 비복원추출, 동시추출 구분하지 않고

그냥 임의추출이라고만 표현하고 있습니다.

지금까지 우리가 확인해온 바에 따르면

복원추출일 경우에만

위의 공식이 성립하고

비복원추출, 동시추출일 경우에는

위의 공식이 성립하지 않습니다.

그럼 임의추출을 복원추출로 해석해야 하지 않나하는

'개인적인' 의견이 있습니다..!!

위에서도 말씀드렸듯이

너무 신경쓰지 마세요~

그냥 이런 내용도 있구나하는 정도로만 알고

넘어가면 될 듯요~ ^-^// ;;

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표본의 평균·분산·표준편차

실버스톤c — Sun, 14 Jun 2026 23:27:15 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

모집단 {1, 3, 5, 7}에서

크기가 2인 표본을 임의로 복원추출해보면

{1, 1}, {1, 3}, {1, 5}, {1, 7}

{3, 1}, {3, 3}, {3, 5}, {3, 7}

{5, 1}, {5, 3}, {5, 5}, {5, 7}

{7, 1}, {7, 3}, {7, 5}, {7, 7}

모두 16가지 경우가 있습니다.

아무거나 하나만 골라서

평균, 분산, 표준편차를 구해볼께요.

표본 {1, 7}의 평균은

$\begin{aligned} \frac{1}{2}(1+7)=4 \end{aligned}$

표본 {1, 7}의 분산은

$\begin{aligned} \frac{1}{2}\left\{(1-4)^2+(7-4)^2\right\}=9 \end{aligned}$

분산을 어케 구하는지 가물가물하면

얼른 '평균·분산·표준편차 (2)'를 읽고 오세요~

그런데 여기서 약간의 문제가 발생합니다.

분산은 이렇게 구하는 게 정상인데

표본의 분산은

n이 아니라 (n-1)로 나누라고 나와 있습니다.

여기서는

2가 아니라 2-1=1로 나누라는 의미입니다.

설명을 보면

표본분산과 모분산의 차이를 줄이기 위한 거라는데

무슨 말인지... ㅠ

암튼 그렇다고 합니다.

그래서

표본 {1, 7}의 분산을 다시 구해보면

$\begin{aligned} \frac{1}{2-1}\left\{(1-4)^2+(7-4)^2\right\}=18 \end{aligned}$

표본 {1, 7}의 표준편차는

$\sqrt{18}=3 \sqrt{2}$

이것이 바로

표본평균, 표본분산, 표본표준편차입니다.

굳이 풀어서 써보면

표본의 평균, 표본의 분산, 표본의 표준편차

기호로는

표본평균 $\bar{X}$

표본분산 $S^2$

표본표준편차 $S$

이제 위에서 구한 걸 기호로 써보면

표본 {1, 7}의

표본평균 $\bar{X}=4$

표본분산 $S^2=18$

표본표준편차 $S=3\sqrt{2}$

다른 표본으로 하나만 더 해볼까요.

표본 {3, 7}의

표본평균 $\bar{X}=5$

표본분산 $S^2=8$

표본표준편차 $S=2\sqrt{2}$

보시다시피 표본마다 각각의

표본평균, 표본분산, 표본표준편차가 있습니다.

이정도만 이해하고

이제 교과서에 나와 있는 내용을 읽어보겠슴다.

모집단에서 임의추출한 크기가 $n$인 표본을 $X_1, \;X_2, \;\cdots, \;X_n$이라 할 때,

표본평균, 표본분산, 표본표준편차를 각각 기호로 $\bar{X}, \;S^2, \;S$와 같이 나타내고

다음과 같이 정의한다.

$\begin{aligned} & \bar{X}=\frac{1}{n}\left(X_1+X_2+\cdots+X_n\right) \\ & S^2=\frac{1}{n-1}\left\{\left(X_1-\bar{X}\right)^2+\left(X_2-\bar{X}\right)^2+\cdots+\left(X_n-\bar{X}\right)^2\right\} \\ & S=\sqrt{S^2}\end{aligned}$

무슨 소린지 이해되는 거죠..?!

그래도 다시 한 번 써보면

모집단에서 임의추출한 크기가 2인 표본을 1, 7이라 할 때,

표본평균, 표본분산, 표본표준편차를 각각 기호로 $\bar{X}, \;S^2, \;S$와 같이 나타내고

다음과 같이 정의한다.

$\begin{aligned} & \bar{X}=\frac{1}{2}(1+7)=4 \\ & S^2=\frac{1}{2-1}\left\{(1-4)^2+(7-4)^2\right\}=18 \\ & S=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}\end{aligned}$

아직도 이해가 안 되면

그건 전적으로 여러분 책임입니다..!! ;;

지금까지

표본평균, 표본분산, 표본표준편차의 개념이였습니다~ ^-^//

PS.

모집단 {1, 2, 3, 4, 5}에서

크기가 3인 표본을 임의추출하는 경우의 수

① 한 번에 한 개씩 복원추출하는 경우

첫 번째 뽑을 때도 5가지

두 번째 뽑을 때도 5가지

세 번째 뽑을 때도 5가지

${ }_5 \Pi_3=5 \times 5 \times 5=125$

② 한 번에 한 개씩 비복원추출하는 경우

첫 번째 뽑을 때는 5가지

두 번째 뽑을 때는 4가지

세 번째 뽑을 때는 3가지

${ }_5 P_3=5 \times 4 \times 3=60$

③ 세 개를 동시에 추출하는 경우

$\begin{aligned} { }_5 C_3=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10 \end{aligned} $

교과서를 보면

공식으로도 나와 있죠..?!

자료의 개수가 n인 모집단에서

크기가 r인 표본을 임의추출하는 경우의 수

한 번에 한 개씩 복원추출하는 경우 → ${ }_n \Pi_r$

한 번에 한 개씩 비복원추출하는 경우 → ${ }_n P_r$

동시에 추출하는 경우 → ${ }_n C_r$

그래서 이 글 처음에 나온

모집단 {1, 3, 5, 7}에서

크기가 2인 표본을 임의로 복원추출하는 경우의 수는

${ }_4 \Pi_2=4 \times 4=16$

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이항정리 (4)

실버스톤c — Tue, 9 Jun 2026 23:10:25 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

$(1+x)^n={ }_n C_0+{ }_n C_1 x+{ }_n C_2 x^2+{ }_n C_3 x^3+\cdots+{ }_n C_n x^n$

양변을 미분하고

$n(1+x)^{n-1}={ }_n C_1+2 \cdot{ }_n C_2 x+3 \cdot{ }_n C_3 x^2+\cdots+n \cdot{ }_n C_n x^{n-1}$

$x=1$ 을 대입하면

$n \cdot 2^{n-1}={ }_n C_1+2 \cdot{ }_n C_2+3 \cdot{ }_n C_3+\cdots+n \cdot{ }_n C_n$

미분없이 증명해 보면

$\begin{aligned} n \cdot 2^{n-1} & =n \cdot(1+1)^{n-1} \\ & =n\left({ }_{n-1} C_0+{ }_{n-1} C_1+{ }_{n-1} C_2+\cdots+{ }_{n-1} C_{n-1}\right) \\ & =n\left(\frac{1}{n} \cdot{ }_n C_1+\frac{2}{n} \cdot{ }_n C_2+\frac{3}{n} \cdot{ }_n C_3+\cdots+\frac{n}{n} \cdot{ }_n C_n\right) \\ & ={ }_n C_1+2 \cdot{ }_n C_2+3 \cdot{ }_n C_3+\cdots+n \cdot{ }_n C_n\end{aligned}$

예)

$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{10} n \cdot{ }_{10} C_n & ={ }_{10} C_1+2 \cdot{ }_{10} C_2+3 \cdot{ }_{10} C_3+\cdots+10 \cdot{ }_{10} C_{10} \\ & =10 \cdot 2^9\end{aligned}$

이번에는

위에서 미분한 식에 $x$를 곱하고

$n x(1+x)^{n-1}={ }_n C_1 x+2 \cdot{ }_n C_2 x^2+3 \cdot{ }_n C_3 x^3+\cdots+n \cdot{ }_n C_n x^n$

다시 미분하고

$n(1+x)^{n-1}+n(n-1) x(1+x)^{n-2}={ }_n C_1+2^2 \cdot{ }_n C_2 x+3^2 \cdot{ }_n C_3 x^2+\cdots+n^2 \cdot{ }_n C_n x^{n-1}$

$x=1$ 을 대입하면

$n \cdot 2^{n-1}+n(n-1) \cdot 2^{n-2}={ }_n C_1+2^2 \cdot{ }_n C_2+3^2 \cdot{ }_n C_3+\cdots+n^2 \cdot{ }_n C_n$

예)

$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{10} n^2 \cdot{ }_{10} C_n & ={ }_{10} C_1+2^2 \cdot{ }_{10} C_2+3^2 \cdot{ }_{10} C_3+\cdots+10^2 \cdot{ }_{10} C_{10} \\ & =10 \cdot 2^9+10 \cdot 9 \cdot 2^8\end{aligned}$

굳이 이런 것까지 해야할까 싶은데

가끔 문제집에 등장하네요. ;;

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조합과 순열 (6)

실버스톤c — Sat, 6 Jun 2026 12:29:17 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

문제1)

4개의 영역 A, B, C, D를 정해진 4가지 색으로 칠하려고 한다.

같은 색을 중복하여 사용할 수 있지만 인접한 영역은 서로 다른 색으로 칠할 때,

칠하는 방법의 수는? (A와 D는 인접한 것이 아님, 각 영역은 한 가지 색만 사용한다.)

풀이1) 수형도

A에 1번 색을 칠할 경우 12가지

같은 방식으로

A에 2번, 3번, 4번 색을 칠할 경우 각각 12가지

따라서 총 칠하는 방법의 수는

12 x 4 = 48가지

이렇게 수형도를 이용해서 풀려면

시간도 많이 걸리고 머리에 지진납니다. ;;

경험상 이런 문제는

칠하는 색의 수를 미리 정해놓고 풀면 이해가 쉽습니다.

풀이2)

i) 4가지 색을 사용하는 경우

4 x 3 x 2 x 1 = 24가지

ii) 3가지 색을 사용하는 경우

3가지 색을 선택하고 → 4C3

두 번 칠할 색을 선택하고 → 3 (무조건 A, D에만 칠해야 합니다.)

나머지 2가지 색을 칠하는 경우 → 2 x 1

4C3 x 3 x 2 x 1 =24가지

∴ 24 + 24 = 48가지

갠적으로는 풀이2로 푸는데

대부분의 교과서와 문제집은 아래 풀이3으로 나와 있습니다.

풀이3)

A에 칠하는 방법 4가지

B에 칠하는 방법 3가지 (A와 다른 색을 칠해야 하므로)

C에 칠하는 방법 2가지 (A, B와 다른 색을 칠해야 하므로)

D에 칠하는 방법 2가지 (B, C와 다른 색을 칠해야 하므로)

∴ 4 x 3 x 2 x 2 = 48가지

순서를 바꿔서 칠해볼까요.

C에 칠하는 방법 4가지

A에 칠하는 방법 3가지 (C와 다른 색을 칠해야 하므로)

B에 칠하는 방법 2가지 (A, C와 다른 색을 칠해야 하므로)

D에 칠하는 방법 2가지 (B, C와 다른 색을 칠해야 하므로)

∴ 4 x 3 x 2 x 2 = 48가지

한 번 더 해보면

B에 칠하는 방법 4가지

A에 칠하는 방법 3가지 (B와 다른 색을 칠해야 하므로)

C에 칠하는 방법 2가지 (A, B와 다른 색을 칠해야 하므로)

D에 칠하는 방법 2가지 (B, C와 다른 색을 칠해야 하므로)

∴ 4 x 3 x 2 x 2 = 48가지

문제2)

4개의 영역 A, B, C, D를 정해진 4가지 색으로 칠하려고 한다.

같은 색을 중복하여 사용할 수 있지만 인접한 영역은 서로 다른 색으로 칠할 때,

칠하는 방법의 수는? (A와 C, B와 D는 인접한 것이 아님, 각 영역은 한 가지 색만 사용한다.)

풀이1) 수형도

A에 1번 색을 칠할 경우 21가지

같은 방식으로

A에 2번, 3번, 4번 색을 칠할 경우 각각 21가지

따라서 총 칠하는 방법의 수는

21 x 4 = 84가지

풀이2)

i) 4가지 색을 사용하는 경우

4 x 3 x 2 x 1 = 24가지

ii) 3가지 색을 사용하는 경우

3가지 색을 선택하고 → 4C3

두 번 칠할 색을 선택하고 → 3 (A, C 또는 B, D에 칠할 수 있으므로) x 2 = 6

나머지 2가지 색을 칠하는 경우 → 2 x 1

4C3 x 6 x 2 x 1 = 48가지

iii) 2가지 색을 사용하는 경우

2가지 색을 선택하고 → 4C2

(A, C)와 (B, D)에 서로 바꿔 칠할 수 있으므로 → 2

4C2 x 2 = 12가지

∴ 24 + 48 + 12 = 84가지

풀이3)

A에 칠하는 방법 4가지

B에 칠하는 방법 3가지 (A와 다른 색을 칠해야 하므로)

C에 A와 같은 색을 칠하는 경우는 1가지

D에 칠하는 방법 3가지 (A, C는 같은 색이므로)

A에 칠하는 방법 4가지

B에 칠하는 방법 3가지 (A와 다른 색을 칠해야 하므로)

C에 A와 다른 색을 칠하는 경우는 2가지 (B와도 다른 색을 칠해야 하므로)

D에 칠하는 방법 2가지 (A, C는 다른 색이므로)

∴ (4 x 3 x 1 x 3) + (4 x 3 x 2 x 2) = 84가지

순서를 바꿔서 해보면

C에 칠하는 방법 4가지

B에 칠하는 방법 3가지 (C와 다른 색을 칠해야 하므로)

D에 B와 같은 색을 칠하는 경우는 1가지

A에 칠하는 방법 3가지 (B, D는 같은 색이므로)

C에 칠하는 방법 4가지

B에 칠하는 방법 3가지 (C와 다른 색을 칠해야 하므로)

D에 B와 다른 색을 칠하는 경우는 2가지 (C와도 다른 색을 칠해야 하므로)

A에 칠하는 방법 2가지 (B, D는 다른 색이므로)

∴ (4 x 3 x 1 x 3) + (4 x 3 x 2 x 2) = 84가지

순서를 또 바꿔서 해보면

B에 칠하는 방법 4가지

D에 B와 같은 색을 칠하는 경우는 1가지

A에 칠하는 방법 3가지 (B, D는 같은 색이므로)

C에 칠하는 방법 3가지 (B, D는 같은 색이므로)

B에 칠하는 방법 4가지

D에 B와 다른 색을 칠하는 경우는 3가지

A에 칠하는 방법 2가지 (B, D는 다른 색이므로)

C에 칠하는 방법 2가지 (B, D는 다른 색이므로)

∴ (4 x 1x 3 x 3) + (4 x 3 x 2 x 2) = 84가지

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적분 (4)

실버스톤c — Sat, 30 May 2026 10:55:45 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

(2026 수능 미적분 28번 풀이)를 이해하기 위한 글입니다.

빗금친 부분의 넓이를 구하라고 하면

풀이1)

주어진 함수는

역함수를 구할 수 있으므로

역함수를 구하고

$\begin{aligned} & y=\sqrt{x-4}+1 \\ & \sqrt{x-4}=y-1 \\ & x-4=(y-1)^2 \\ & x=y^2-2 y+5\end{aligned}$

따라서 역함수는

$y=x^2-2x+5$

적분해서 구해도 되지만

$\begin{aligned} \int_1^2 x d y & =\int_1^2\left(y^2-2 y+5\right) d y \\ & =\left[\frac{1}{3} y^3-y^2+5 y\right]_1^2 \\ & =\left(\frac{8}{3}-4+10\right)-\left(\frac{1}{3}-1+5\right) \\ & =\frac{13}{3}\end{aligned}$

중간에 식을 하나 더 쓰면

$\begin{aligned} \int_1^2 x d y & =\int_1^2 f^{-1}(y) d y \\ & =\int_1^2\left(y^2-2 y+5\right) d y \\ & =\left[\frac{1}{3} y^3-y^2+5 y\right]_1^2 \\ & =\left(\frac{8}{3}-4+10\right)-\left(\frac{1}{3}-1+5\right) \\ & =\frac{13}{3}\end{aligned}$

풀이2)

굳이 역함수를 구하지 않고

전체 넓이에서 넓이①과 넓이②를 빼주면 됩니다.

$\begin{aligned} \int_1^2 x d y & =\int_1^2 f^{-1}(y) d y \\ & =10-(\text { 넓이① }+ \text { 넓이② }) \\ & =10-\left(4+\int_4^5(\sqrt{x-4}+1) d x\right) \\ & =10-\left(4+\left[\frac{2}{3}(x-4)^{\frac{3}{2}}+x\right] \begin{array}{l}5 \\ 4\end{array}\right) \\ & =10-\left(4+\left(\frac{2}{3}+5\right)-(0+4)\right) \\ & =\frac{13}{3}\end{aligned}$

28번 문제는

주어진 함수의 역함수를 구할 수 없기 때문에

풀이2로 풀 수 밖에 없지만

사실 역함수를 구할 수 있든 없든

풀이2가 편합니다. ;; 암튼

(2026 수능 미적분 28번) 풀이 중에서

$\begin{aligned} \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{27}{4}} g(t) d t & =\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{27}{4}} h^{-1}(t) d t \;\;\leftarrow\;\; \text {넓이②} \\ & =\left(\frac{27}{4} \times 3\right)-\left\{\left(\frac{1}{2} \times 1\right)+\text { 넓이① }\right\} \\ & =\frac{81}{4}-\left(\frac{1}{2}+\int_1^3 t d s\right) \\ & =\frac{79}{4}-\int_1^3 h(s) d s \\ & =\frac{79}{4}-\int_1^3 \frac{s^3}{s+1} d s \\ & =\frac{79}{4}-\int_1^3 \frac{\left(s^3+1\right)-1}{s+1} d s \\ & =\frac{79}{4}-\int_1^3\left(s^2-s+1-\frac{1}{s+1}\right) d s \\ & =\frac{79}{4}-\left[\frac{1}{3} s^3-\frac{1}{2} s^2+s-\ln (s+1)\right] \frac{3}{1} \\ & =\frac{79}{4}-\left\{\left(9-\frac{9}{2}+3-\ln 4\right)-\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+1-\ln 2\right)\right\} \\ & =\frac{79}{4}-\left\{\left(\frac{15}{2}-2 \ln 2\right)-\left(\frac{5}{6}-\ln 2\right)\right\} \\ & =\frac{79}{4}-\left(\frac{20}{3}-\ln 2\right) \\ & =\frac{157}{12}+\ln 2\end{aligned}$

첫째줄과 둘째줄

이 두 개의 식은

결과적으로 값만 같을 뿐

수식으로는 아무런 관련이 없습니다.

▶ 2026 수능 미적분 전체 문제풀이

▶ 수학 전체 목록 바로가기 → www.gajok.co.kr/math.html

적분 (3)

실버스톤c — Sat, 30 May 2026 10:04:58 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

살짝(?) 까다로운 적분문제들임다~

문제1)

$\begin{aligned} \int \frac{x}{x^2+1} d x & =\frac{1}{2} \int \frac{2 x}{x^2+1} d x \\ & =\frac{1}{2} \ln \left(x^2+1\right)+C\end{aligned}$

$\begin{aligned} \int \frac{x+1}{x^2+2 x+1} d x & =\frac{1}{2} \int \frac{2 x+2}{x^2+2 x+1} d x \\ & =\frac{1}{2} \ln \left|x^2+2 x+1\right|+C\end{aligned}$

$\begin{aligned} \int \frac{x}{x^2+2 x+1} d x & =\frac{1}{2} \int \frac{2 x+2-2}{x^2+2 x+1} d x \\ & =\frac{1}{2} \int\left(\frac{2 x+2}{x^2+2 x+1}-\frac{2}{(x+1)^2}\right) d x \\ & =\frac{1}{2} \ln \left|x^2+2 x+1\right|+\frac{1}{x+1}+C\end{aligned}$

('분수식의 적분'을 참고해 주세요~)

문제2)

$\begin{aligned} \int \frac{1}{e^x+2} d x & =\frac{1}{2} \int \frac{\left(e^x+2\right)-e^x}{e^x+2} d x \\ & =\frac{1}{2} \int\left(1-\frac{e^x}{e^x+2}\right) d x \\ & =\frac{1}{2}\left\{x-\ln \left(e^x+2\right)\right\}+C\end{aligned}$

문제3)

$\begin{aligned} \int \frac{1}{\sin x} d x & =\int \frac{1}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} d x \\ & =\int \frac{\sec ^2 \frac{x}{2}}{2 \tan \frac{x}{2}} d x \\ & =\ln \left|\tan \frac{x}{2}\right|+C\end{aligned}$

문제4)

$\begin{aligned} \int \frac{1}{\cos x} d x & =\int \sec x d x \\ & =\int \frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x} d x \\ & =\int \frac{\sec x \tan x+\sec ^2 x}{\sec x+\tan x} d x \\ & =\ln |\sec x+\tan x|+C\end{aligned}$

문제5)

$\begin{aligned} \int \frac{1}{1+\cos x} d x & =\int \frac{1-\cos x}{1-\cos ^2 x} d x \\ & =\int \frac{1-\cos x}{\sin ^2 x} d x \\ & =\int\left(\frac{1}{\sin ^2 x}-\frac{\cos x}{\sin ^2 x}\right) d x \\ & =\int\left(\frac{1}{\sin ^2 x}-\frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) d x \\ & =\int\left(\csc ^2 x-\cot x \csc x\right) d x \\ & =-\cot x+\csc x+C\end{aligned}$

문제6)

$\begin{aligned} \int \frac{1}{\sin ^2 x \cos ^2 x} d x & =\int \frac{\sin ^2 x+\cos ^2 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x} d x \\ & =\int\left(\frac{1}{\cos ^2 x}+\frac{1}{\sin ^2 x}\right) d x \\ & =\int\left(\sec ^2 x+\csc ^2 x\right) d x \\ & =\tan x-\cot x+C\end{aligned}$

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적분 (2)

실버스톤c — Sat, 30 May 2026 01:19:46 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

문제1)

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가

$f^{\prime}(x)=2x+1$ 을 만족시킨다.

$f(0)=1$ 일 때, $f(x)$는?

풀이)

$\begin{aligned} & \int f^{\prime}(x) d x=\int(2 x+1) d x \\ & f(x)=x^2+x+C \\ &\\ & f(0)=C=1 \\ & f(x)=x^2+x+1\end{aligned}$

문제2부터는

'실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수'

'양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수'

이런 말들은 뺄께요~

문제2)

$ \begin{aligned} \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=2 x+1, \; f(0)=1 \end{aligned} $ 일 때, $f(x)$는?

풀이)

$\begin{aligned} & \int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} d x=\int(2 x+1) d x \\ & \ln f(x)=x^2+x+C \\ & f(x)=e^{x^2+x+C} \\ &\\ & f(0)=e^C=1 \;\; \rightarrow \;\; C=0 \\ & f(x)=e^{x^2+x}\end{aligned}$

문제3)

$f(x)+x f^{\prime}(x)=2 x+1, \; f(1)=2$ 일 때, $f(x)$는?

풀이)

$\begin{aligned} & \int\left\{f(x)+x f^{\prime}(x)\right\} d x=\int(2 x+1) d x \\ & x f(x)=x^2+x+C \\ & f(x)=x+1+\frac{C}{x} \\ &\\ & f(1)=2+C=2 \;\;\rightarrow\;\; C=0 \\ & f(x)=x+1\end{aligned}$

문제4)

$2 x f(x)+x^2 f^{\prime}(x)=2 x+1, \; f(1)=2$ 일 때, $f(x)$는?

풀이)

$\begin{aligned} & \int\left\{2 x f(x)+x^2 f^{\prime}(x)\right\} d x=\int(2 x+1) d x \\ & x^2 f(x)=x^2+x+C \\ & f(x)=1+\frac{1}{x}+\frac{C}{x^2} \\ &\\ & f(1)=2+C=2 \;\;\rightarrow\;\; C=0 \\ & f(x)=1+\frac{1}{x}\end{aligned}$

문제5)

$\left\{f(x)+f^{\prime}(x)\right\} e^x=2 x+1, \; f(0)=1$ 일 때, $f(x)$는?

풀이)

$\begin{aligned} & \int\left\{f(x)+f^{\prime}(x)\right\} e^x d x=\int(2 x+1) d x \\ & e^x f(x)=x^2+x+C \\ & f(x)=\frac{x^2+x+C}{e^x} \\ &\\ & f(0)=C=1 \\ & f(x)=\frac{x^2+x+1}{e^x}\end{aligned}$

문제6)

$\left\{f^{\prime}(x)-f(x)\right\} e^{-x}=2 x+1, \; f(0)=1$ 일 때, $f(x)$는?

풀이)

$\begin{aligned} & \int\left\{f^{\prime}(x)-f(x)\right\} e^{-x} d x=\int(2 x+1) d x \\ & e^{-x} f(x)=x^2+x+C \\ & f(x)=\frac{x^2+x+C}{e^{-x}}=\left(x^2+x+C\right) e^x \\ &\\ & f(0)=C=1 \\ & f(x)=\left(x^2+x+1\right) e^x\end{aligned}$

문제7)

$ \begin{aligned} \frac{f^{\prime}(x)}{\{f(x)\}^2}=2 x+1, \; f(0)=1 \end{aligned} $ 일 때, $f(x)$는?

풀이)

$\begin{aligned} & \int \frac{f^{\prime}(x)}{\{f(x)\}^2} d x=\int(2 x+1) d x \\ & -\frac{1}{f(x)}=x^2+x+C \\ & f(x)=-\frac{1}{x^2+x+C} \\ &\\ & f(0)=-\frac{1}{C}=1 \;\;\rightarrow\;\; C=-1 \\ & f(x)=-\frac{1}{x^2+x-1}\end{aligned}$

문제8)

$ \begin{aligned} \frac{x f^{\prime}(x)-f(x)}{x^2}=2 x+1, \; f(1)=2 \end{aligned} $ 일 때, $f(x)$는?

풀이)

$\begin{aligned} & \int \frac{x f^{\prime}(x)-f(x)}{x^2} d x=\int(2 x+1) d x \\ & \frac{f(x)}{x}=x^2+x+C \\ & f(x)=x^3+x^2+C x \\ &\\ & f(1)=2+C=2 \;\;\rightarrow\;\; C=0 \\ & f(x)=x^3+x^2\end{aligned}$

문제9)

$x f^{\prime}(x)-f(x)=2 x^3+x^2, \;f(1)=2$ 일 때, $f(x)$는?

풀이)

$\begin{aligned} x f^{\prime}(x)-f(x) & =2 x^3+x^2 \\ & =x^2(2 x+1)\end{aligned}$

$ \begin{aligned} \frac{x f^{\prime}(x)-f(x)}{x^2}=2 x+1 \end{aligned} $

문제8과 같은 문제입니다.

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적분 (1)

실버스톤c — Sat, 30 May 2026 00:08:51 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

문제1)

$ \begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \int_0^h\left(x^2+5 x+3\right) d x \end{aligned} $ 의 값을 구하시오.

풀이)

$(x^2+5x+3)$ 을 적분한 식을 $F(x)$라고 하면

$F^{\prime}(x)=x^2+5x+3$

$\begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \int_0^h\left(x^2+5 x+3\right) d x & =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}[F(x)]_0^h \\ & =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{F(h)-F(0)}{h} \\ & =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{F(0+h)-F(0)}{h} \\ & =F^{\prime}(0) \\ & =3\end{aligned}$

지금은 이케 착하게(?) 구하지만

조금 익숙해지면 문제를 딱 보고

$(x^2+5x+3)$ 에

$x=0$ 을 대입해서 구할 수 있을 거예요~ ;;

문제2)

$ \begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \int_2^{2+h}\left(x^2+5 x+3\right) d x \end{aligned} $ 의 값을 구하시오.

풀이)

$(x^2+5x+3)$ 을 적분한 식을 $F(x)$라고 하면

$F^{\prime}(x)=x^2+5x+3$

$\begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \int_2^{2+h}\left(x^2+5 x+3\right) d x & =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}[F(x)]_2^{2+h} \\ & =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{F(2+h)-F(2)}{h} \\ & =F^{\prime}(2) \\ & =17\end{aligned}$

앞으로는 $(x^2+5x+3)$ 에

$x=2$ 를 대입해서 바로 구할 수 있겠죠..?!

문제3)

$ \begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \int_2^{2+3h}\left(x^2+5 x+3\right) d x \end{aligned} $ 의 값을 구하시오.

풀이)

$(x^2+5x+3)$ 을 적분한 식을 $F(x)$라고 하면

$F^{\prime}(x)=x^2+5x+3$

$\begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \int_2^{2+3 h}\left(x^2+5 x+3\right) & d x=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}[F(x)]_2^{2+3 h} \\ & =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{F(2+3 h)-F(2)}{h} \\ & =3 \lim _{h \rightarrow 0} \frac{F(2+3 h)-F(2)}{3 h} \\ & =3 F^{\prime}(2) \\ & =51\end{aligned}$

앞으로는 $(x^2+5x+3)$ 에

$x=2$ 를 대입하고 3을 곱해서 바로 구할 수 있겠죠..?!

문제4)

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 2} \frac{1}{x-2} \int_2^x\left(x^2+5 x+3\right) d x \end{aligned} $ 의 값을 구하시오.

풀이)

$(x^2+5x+3)$ 을 적분한 식을 $F(x)$라고 하면

$F^{\prime}(x)=x^2+5x+3$

$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 2} \frac{1}{x-2} \int_2^x\left(x^2+5 x+3\right) d x & =\lim _{x \rightarrow 2} \frac{1}{x-2}[F(x)]_2^x \\ & =\lim _{x \rightarrow 2} \frac{F(x)-F(2)}{x-2} \\ & =F^{\prime}(2) \\ & =17\end{aligned}$

역시 지금은 이케 착하게(?) 구하지만

조금 익숙해지면 문제를 딱 보고

$(x^2+5x+3)$ 에

$x=2$ 를 대입해서 구할 수 있을 거예요~ ;;

문제5)

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 2} \frac{1}{x-2} \int_2^x\left(t^2+5 t+3\right) d t \end{aligned} $ 의 값을 구하시오.

풀이)

문제4와 달라 보이나요..?!

한 번 확인해 보겠슴다.

$(t^2+5t+3)$ 을 적분한 식을 $F(t)$라고 하면

$F^{\prime}(t)=t^2+5t+3$

$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 2} \frac{1}{x-2} \int_2^x\left(t^2+5 t+3\right) d t & =\lim _{x \rightarrow 2} \frac{1}{x-2}[F(t)]_2^x \\ & =\lim _{x \rightarrow 2} \frac{F(x)-F(2)}{x-2} \\ & =F^{\prime}(2) \\ & =17\end{aligned}$

중간과정에서 t가 x로 바뀝니다.

문제4와 같은 문제임다~

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미분 (2)

실버스톤c — Fri, 29 May 2026 00:52:47 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

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(2026 수능 미적분 27번 풀이)를 이해하기 위한 문제입니다.

문제1)

곡선 $y=x^2-2x+4$ 와 직선 $y=3x-2$ 가 만나는 점을 P, Q라 할 때,

곡선 위의 점 P, Q에서의 접선의 기울기는?

풀이)

곡선과 직선이 만나는 점 P, Q의 x좌표를 구하면

$x^2-2x+4=3x-2$

$x^2-5x+6=0$

$(x-2)(x-3)=0$

$x=2$ 또는 $x=3$

$y=x^2-2x+4$

$y^{\prime}=2x-2$ 이므로

$x=2$ 에서 접선의 기울기는 2

$x=3$ 에서 접선의 기울기는 4

문제없죠..?! ;;

문제2)

매개변수 t로 나타내어진 곡선

$x=t+1, \;y=t^2+3$

을 C라 하자. 곡선 C가 직선 $y=3x-2$ 와 만나는 점을 P, Q라 할 때,

곡선 C 위의 점 P, Q에서의 접선의 기울기는?

풀이1)

$x=t+1 \;\;\rightarrow\;\; t=x-1$ 이므로

$y=t^2+3$ 에 대입하면

$\begin{aligned} y & =(x-1)^2+3 \\ & =x^2-2 x+4\end{aligned}$

문제1과 똑같은 문제입니다.

그래서 문제1과 똑같이 풀어도 되지만

이렇게 매개변수 t로 주어진 문제는

보통은(?) 아래 풀이2로 풉니다.

풀이2)

곡선 $x=t+1, \;y=t^2+3$ 과

직선 $y=3x-2$ 를 연립해서 풀면 (그냥 대입하면 됩니다.)

$t^2+3=3(t+1)-2$

$t^2-3t+2=0$

$(t-1)(t-2)=0$

$t=1$ 또는 $t=2$

$t=1$ 또는 $t=2$ 일 때,

곡선 C와 직선이 만난다는 의미입니다.

곡선 C 위의 임의의 점에서의 접선의 기울기

$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}=\frac{2 t}{1}=2 t \end{aligned} $

$t=1$ 또는 $t=2$ 일 때,

곡선과 직선이 만나므로

$t=1$ 과 $t=2$ 를 대입하면

접선의 기울기 2와 4가 나옵니다.

27번 문제풀이는 식이 복잡할 뿐

위의 문제2의 풀이2와 풀이가 똑같습니다.

풀이1로는 풀 수 없거든요. ;;

(2026 수능 미적분 27번)

풀이)

곡선과 직선을 연립해서 풀면

$\begin{aligned} & e^{4 t}\left(1-3 \cos ^2 \pi t\right)=3 e^{4 t}\left(1+\sin ^2 \pi t\right)-5 e \\ & e^{4 t}-3 e^{4 t} \cos ^2 \pi t=3 e^{4 t}+3 e^{4 t} \sin ^2 \pi t-5 e \\ & 2 e^{4 t}+3 e^{4 t}\left(\sin ^2 \pi t+\cos ^2 \pi t\right)=5 e \\ & 2 e^{4 t}+3 e^{4 t}=5 e \\ & e^{4 t}=e \\ & t=\frac{1}{4}\end{aligned}$

$t=\frac{1}{4}$ 일 때,

곡선 C와 직선이 만납니다.

곡선 C 위의 임의의 점에서의 접선의 기울기

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} & =\frac{4 e^{4 t}\left(1-3 \cos ^2 \pi t\right)+e^{4 t} \cdot(-6 \cos \pi t) \cdot(-\sin \pi t) \cdot \pi}{4 e^{4 t}\left(1+\sin ^2 \pi t\right)+e^{4 t} \cdot 2 \sin \pi t \cdot \cos \pi t \cdot \pi} \\ & =\frac{4\left(1-3 \cos ^2 \pi t\right)+6 \cos \pi t \cdot \sin \pi t \cdot \pi}{4\left(1+\sin ^2 \pi t\right)+2 \sin \pi t \cdot \cos \pi t \cdot \pi}\end{aligned}$

$t=\frac{1}{4}$ 일 때,

곡선과 직선이 만나므로

$t=\frac{1}{4}$을 대입하면

$\begin{aligned} & \frac{4\left(1-3 \cos ^2 \frac{\pi}{4}\right)+6 \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin \frac{\pi}{4} \cdot \pi}{4\left(1+\sin ^2 \frac{\pi}{4}\right)+2 \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos \frac{\pi}{4} \cdot \pi} \\ & =\frac{4\left(1-\frac{3}{2}\right)+6 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \pi}{4\left(1+\frac{1}{2}\right)+2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \pi} \\ & =\frac{-2+3 \pi}{6+\pi}\end{aligned}$

▶ 2026 수능 미적분 전체 문제풀이

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미분 (1)

실버스톤c — Thu, 28 May 2026 08:57:29 +0900

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$f(x)$의 그래프를 보고

$f^{\prime}(x)$의 그래프의 개형을 그릴 때나

$f^{\prime}(x)$ 의 그래프를 보고

$f(x)$의 그래프의 개형을 그릴 때

$f^{\prime}(x)=0$ 인 점(극대, 극소)을

기준으로 잡고 그리면 편리합니다.

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미분계수 (5)

실버스톤c — Sun, 24 May 2026 11:27:22 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

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문제1)

함수 $f(x)=x^5$ 에 대하여

$ \begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-h)}{h} \end{aligned} $ 의 값은?

풀이)

$\begin{aligned}&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-h)}{h}=2 f^{\prime}(1)\\&\\&f^{\prime}(x)=5 x^4 \rightarrow 2 f^{\prime}(1)=10\end{aligned}$

이렇게 간단하게 풀면 되는데

이상한(?) 문제가 등장합니다.

문제2)

함수 $f(x)=|\ln x|$ 에 대하여

$ \begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-h)}{h} \end{aligned} $ 의 값은?

풀이)

$ \begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-h)}{h}=2 f^{\prime}(1) \end{aligned} $

$\begin{aligned} & f(x)= \begin{cases}\ln x & (x \geq 1) \\ -\ln x & (0<x<1)\end{cases} \\ & f^{\prime}(x)= \begin{cases}\frac{1}{x} & (x \geq 1) \\ -\frac{1}{x} & (0<x<1)\end{cases} \end{aligned}$

$f^{\prime}(1)$의 값을 구해야 되는데

어라..?!

$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 1+} f^{\prime}(x) & =\lim _{x \rightarrow 1+} \frac{1}{x}=1 \\ \lim _{x \rightarrow 1-} f^{\prime}(x) & =\lim _{x \rightarrow 1-}\left(-\frac{1}{x}\right)=-1\end{aligned}$

$x=1$ 에서의 미분값

$f^{\prime}(1)$이 존재하지 않습니다.

$x=1$ 에서 미분이 불가능하다는 건 (미분값이 존재하지 않는다는 건)

그래프를 통해서도 확인할 수 있습니다.

$x=1$ 에서 뾰족합니다. (뾰족점, 첨점)

(그래프 그리는 방법은 '절댓값 그래프 (1)'을 참고해 주세요~)

결국 그래서 이 문제에서

$ \begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-h)}{h} \end{aligned} $

의 값은 그냥 극한으로 구해야 합니다.

구해보면

$\begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0+} \frac{f(1+h)-f(1-h)}{h} & =\lim _{h \rightarrow 0+} \frac{\ln (1+h)-(-\ln (1-h))}{h} \\ & =\lim _{h \rightarrow 0+} \frac{\ln (1+h)+\ln (1-h)}{h} \\ & =\lim _{h \rightarrow 0+}\left\{\frac{\ln (1+h)}{h}+\frac{\ln (1-h)}{h}\right\} \\ & =1-1 \\ & =0\end{aligned}$

$\begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0-} \frac{f(1+h)-f(1-h)}{h} & =\lim _{h \rightarrow 0-} \frac{-\ln (1+h)-\ln (1-h)}{h} \\ & =\lim _{h \rightarrow 0-}\left\{-\frac{\ln (1+h)}{h}-\frac{\ln (1-h)}{h}\right\} \\ & =-1-(-1) \\ & =0\end{aligned}$

따라서

$ \begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-h)}{h}=0 \end{aligned} $

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극한 (4)

실버스톤c — Sat, 23 May 2026 12:53:43 +0900

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문제1)

$\begin{aligned}\lim _{x \rightarrow 3+} g(x)=a+ \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 3-} g(x)=a- \end{aligned} $ 이므로

$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 3+} f(g(x)) & =\lim _{t \rightarrow a+} f(t)=2 \\ \lim _{x \rightarrow 3-} f(g(x)) & =\lim _{t \rightarrow a-} f(t)=-2\end{aligned}$

문제2)

$f(x)=x+2$ 일 때,

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 3+} f([x])=f(3)=5 \\ & \lim _{x \rightarrow 3-} f([x])=f(2)=4\end{aligned}$

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 3+} f\left(\left[x^2-1\right]\right)=f(8)=10 \\ & \lim _{x \rightarrow 3-} f\left(\left[x^2-1\right]\right)=f(7)=9\end{aligned}$

(가우스함수의 극한은 '극한 (2)'를 참고요~)

문제3)

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow \infty} f\left(\frac{x+1}{x-2}\right)=\lim _{t \rightarrow 1+} f(t)=a \\ & \lim _{x \rightarrow-\infty} f\left(\frac{x+1}{x-2}\right)=\lim _{t \rightarrow 1-} f(t)=b\end{aligned}$

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow \infty} f\left(\frac{x-1}{x+2}\right)=\lim _{t \rightarrow 1-} f(t)=b \\ & \lim _{x \rightarrow-\infty} f\left(\frac{x-1}{x+2}\right)=\lim _{t \rightarrow 1+} f(t)=a\end{aligned}$

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow \infty} f\left(\frac{x-1}{x-2}\right)=\lim _{t \rightarrow 1+} f(t)=a \\ & \lim _{x \rightarrow-\infty} f\left(\frac{x-1}{x-2}\right)=\lim _{t \rightarrow 1-} f(t)=b\end{aligned}$

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow \infty} f\left(\frac{x+1}{x+2}\right)=\lim _{t \rightarrow 1-} f(t)=b \\ & \lim _{x \rightarrow-\infty} f\left(\frac{x+1}{x+2}\right)=\lim _{t \rightarrow 1+} f(t)=a\end{aligned}$

(유리함수의 극한은 '극한 (3)' 참고요~)

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극한 (3)

실버스톤c — Sat, 23 May 2026 11:22:06 +0900

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문제1)

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 2+} \frac{x+1}{x-2}, \quad \lim _{x \rightarrow 2-} \frac{x+1}{x-2}, \quad \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+1}{x-2}, \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x+1}{x-2} \end{aligned} $

의 값을 구하시오.

풀이1) 추천..!!

유리함수의 그래프를 약식으로 간단하게만 그리면 ('유리함수 (3)' 참고요~)

위에 나오는 극한값 4개를 쉽게(?) 구할 수 있습니다.

$ \begin{aligned} y=\frac{x+1}{x-2} \end{aligned} $

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 2+} \frac{x+1}{x-2}=\infty \\ & \lim _{x \rightarrow 2-} \frac{x+1}{x-2}=-\infty \\ & \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+1}{x-2}=1+ \\ & \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x+1}{x-2}=1-\end{aligned}$

풀이2) 안 추천..!! ;;

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 2+} \frac{x+1}{x-2} \end{aligned} $ 의 값은

$x\rightarrow2+$일 때, (분모$\rightarrow0+$), (분자$\rightarrow3+$)이므로 $ \begin{aligned} \frac{3+(\text {는 양수})}{0+(\text {는 양수})}=\infty \end{aligned} $ 입니다.

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 2-} \frac{x+1}{x-2} \end{aligned} $ 의 값은

$x\rightarrow2-$일 때, (분모$\rightarrow0-$), (분자$\rightarrow3-$)이므로 $ \begin{aligned} \frac{3-(\text {는 양수})}{0-(\text {는 음수})}=-\infty \end{aligned} $ 입니다.

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+1}{x-2} \end{aligned} $ 의 값은

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x}{x}=1 \end{aligned} $ 인데

분자는 쪼금(+1) 커지고

분모는 쪼금(-2) 작아지기 때문에

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+1}{x-2}=1+ \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \left(\frac{1000}{1000}\right)<\left(\frac{1000+1}{1000-2}=\frac{1001}{998}\right) \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow -\infty} \frac{x+1}{x-2} \end{aligned} $ 의 값은

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow -\infty} \frac{x}{x}=1 \end{aligned} $ 인데

분자는 쪼금(+1) 커지고

분모는 쪼금(-2) 작아지고

분자, 분모 모두 음수이기 때문에

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow -\infty} \frac{x+1}{x-2}=1- \end{aligned} $ (이상하죠..?! ;;)

$ \begin{aligned} \left(\frac{-1000}{-1000}\right)>\left(\frac{-1000+1}{-1000-2}=\frac{-999}{-1002}=\frac{999}{1002}\right) \end{aligned} $

문제2)

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow -2+} \frac{x-1}{x+2}, \quad \lim _{x \rightarrow -2-} \frac{x-1}{x+2}, \quad \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x-1}{x+2}, \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x-1}{x+2} \end{aligned} $

의 값을 구하시오.

풀이1)

$ \begin{aligned} y=\frac{x-1}{x+2} \end{aligned} $

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow -2+} \frac{x-1}{x+2}=-\infty \\ & \lim _{x \rightarrow -2-} \frac{x-1}{x+2}=\infty \\ & \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x-1}{x+2}=1- \\ & \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x-1}{x+2}=1+\end{aligned}$

풀이2)

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow -2+} \frac{x-1}{x+2} \end{aligned} $ 의 값은

$x\rightarrow-2+$일 때, (분모$\rightarrow0+$), (분자$\rightarrow-3+$)이므로 $ \begin{aligned} \frac{-3+(\text {는 음수})}{0+(\text {는 양수})}=-\infty \end{aligned} $ 입니다.

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow -2-} \frac{x-1}{x+2} \end{aligned} $ 의 값은

$x\rightarrow-2-$일 때, (분모$\rightarrow0-$), (분자$\rightarrow-3-$)이므로 $ \begin{aligned} \frac{-3-(\text {는 음수})}{0-(\text {는 음수})}=\infty \end{aligned} $ 입니다.

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x-1}{x+2} \end{aligned} $ 의 값은

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x}{x}=1 \end{aligned} $ 인데

분자는 쪼금(-1) 작아지고

분모는 쪼금(+2) 커지기 때문에

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x-1}{x+2}=1- \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \left(\frac{1000}{1000}\right)>\left(\frac{1000-1}{1000+2}=\frac{999}{1002}\right) \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow -\infty} \frac{x-1}{x+2} \end{aligned} $ 의 값은

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow -\infty} \frac{x}{x}=1 \end{aligned} $ 인데

분자는 쪼금(-1) 작아지고

분모는 쪼금(+2) 커지고

분자, 분모 모두 음수이기 때문에

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow -\infty} \frac{x-1}{x+2}=1+ \end{aligned} $ (이상하죠..?! ;;)

$ \begin{aligned} \left(\frac{-1000}{-1000}\right)<\left(\frac{-1000-1}{-1000+2}=\frac{-1001}{-998}=\frac{1001}{998}\right) \end{aligned} $

문제3)

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 2+} \frac{x-1}{x-2}, \quad \lim _{x \rightarrow 2-} \frac{x-1}{x-2}, \quad \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x-1}{x-2}, \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x-1}{x-2} \end{aligned} $

의 값을 구하시오.

풀이1)

$ \begin{aligned} y=\frac{x-1}{x-2} \end{aligned} $

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 2+} \frac{x-1}{x-2}=\infty \\ & \lim _{x \rightarrow 2-} \frac{x-1}{x-2}=-\infty \\ & \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x-1}{x-2}=1+ \\ & \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x-1}{x-2}=1-\end{aligned}$

풀이2)

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 2+} \frac{x-1}{x-2} \end{aligned} $ 의 값은

$x\rightarrow2+$일 때, (분모$\rightarrow0+$), (분자$\rightarrow1+$)이므로 $ \begin{aligned} \frac{1+(\text {는 양수})}{0+(\text {는 양수})}=\infty \end{aligned} $ 입니다.

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 2-} \frac{x-1}{x-2} \end{aligned} $ 의 값은

$x\rightarrow2-$일 때, (분모$\rightarrow0-$), (분자$\rightarrow1-$)이므로 $ \begin{aligned} \frac{1-(\text {는 양수})}{0-(\text {는 음수})}=-\infty \end{aligned} $ 입니다.

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x-1}{x-2} \end{aligned} $ 의 값은

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x}{x}=1 \end{aligned} $ 인데

분모가 분자보다 더 많이 작아지기 때문에

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x-1}{x-2}=1+ \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \left(\frac{1000}{1000}\right)<\left(\frac{1000-1}{1000-2}=\frac{999}{998}\right) \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow -\infty} \frac{x-1}{x-2} \end{aligned} $ 의 값은

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow -\infty} \frac{x}{x}=1 \end{aligned} $ 인데

분모가 분자보다 더 많이 작아지고

분자, 분모 모두 음수이기 때문에

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow -\infty} \frac{x-1}{x-2}=1- \end{aligned} $ (이상하죠..?! ;;)

$ \begin{aligned} \left(\frac{-1000}{-1000}\right)>\left(\frac{-1000-1}{-1000-2}=\frac{-1001}{-1002}=\frac{1001}{1002}\right) \end{aligned} $

문제4)

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow -2+} \frac{x+1}{x+2}, \quad \lim _{x \rightarrow -2-} \frac{x+1}{x+2}, \quad \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+1}{x+2}, \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x+1}{x+2} \end{aligned} $

의 값을 구하시오.

풀이1)

$ \begin{aligned} y=\frac{x+1}{x+2} \end{aligned} $

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow -2+} \frac{x+1}{x+2}=-\infty \\ & \lim _{x \rightarrow -2-} \frac{x+1}{x+2}=\infty \\ & \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+1}{x+2}=1- \\ & \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x+1}{x+2}=1+\end{aligned}$

풀이2)

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow -2+} \frac{x+1}{x+2} \end{aligned} $ 의 값은

$x\rightarrow-2+$일 때, (분모$\rightarrow0+$), (분자$\rightarrow-1+$)이므로 $ \begin{aligned} \frac{-1+(\text {는 음수})}{0+(\text {는 양수})}=-\infty \end{aligned} $ 입니다.

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow -2-} \frac{x+1}{x+2} \end{aligned} $ 의 값은

$x\rightarrow-2-$일 때, (분모$\rightarrow0-$), (분자$\rightarrow-1-$)이므로 $ \begin{aligned} \frac{-1-(\text {는 음수})}{0-(\text {는 음수})}=\infty \end{aligned} $ 입니다.

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+1}{x+2} \end{aligned} $ 의 값은

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x}{x}=1 \end{aligned} $ 인데

분모가 분자보다 더 많이 커지기 때문에

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+1}{x+2}=1- \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \left(\frac{1000}{1000}\right)>\left(\frac{1000+1}{1000+2}=\frac{1001}{1002}\right) \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow -\infty} \frac{x+1}{x+2} \end{aligned} $ 의 값은

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow -\infty} \frac{x}{x}=1 \end{aligned} $ 인데

분모가 분자보다 더 많이 커지고

분자, 분모 모두 음수이기 때문에

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow -\infty} \frac{x+1}{x+2}=1+ \end{aligned} $ (이상하죠..?! ;;)

$ \begin{aligned} \left(\frac{-1000}{-1000}\right)<\left(\frac{-1000+1}{-1000+2}=\frac{-999}{-998}=\frac{999}{998}\right) \end{aligned} $

머리 아프신 분들은

풀이2는 머리속에서 싸~악 지우세요~ ^-^// ;;

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극한 (2)

실버스톤c — Sat, 23 May 2026 00:26:35 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

$\begin{aligned}&\lim _{x \rightarrow 3+}[x]=3 \\ &\lim _{x \rightarrow 3-}[x]=2 \\ &\lim _{x \rightarrow-3+}[x]=-3 \\ &\lim _{x \rightarrow-3_{-}}[x]=-4\end{aligned}$

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 3^{+}} 2[x]=2 \cdot 3=6 \\ & \lim _{x \rightarrow 3^{-}} 2[x]=2 \cdot 2=4 \\ & \lim _{x \rightarrow-3^{+}} 2[x]=2 \cdot(-3)=-6 \\ & \lim _{x \rightarrow-3_{-}} 2[x]=2 \cdot(-4)=-8\end{aligned}$

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 3+}[2 x]=6 \\ & \lim _{x \rightarrow 3-}[2 x]=5 \\ & \lim _{x \rightarrow-3+}[2 x]=-6 \\ & \lim _{x \rightarrow-3_{-}}[2 x]=-7\end{aligned}$

$\begin{aligned}&\lim _{x \rightarrow 3+}[x+1]=4 \\ &\lim _{x \rightarrow 3-}[x+1]=3 \\ &\lim _{x \rightarrow-3+}[x+1]=-2 \\ &\lim _{x \rightarrow-3-}[x+1]=-3\end{aligned}$

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 3+} 2[x+1]=2 \cdot 4=8 \\ & \lim _{x \rightarrow 3-} 2[x+1]=2 \cdot 3=6 \\ & \lim _{x \rightarrow-3+} 2[x+1]=2 \cdot(-2)=-4 \\ & \lim _{x \rightarrow-3-} 2[x+1]=2 \cdot(-3)=-6\end{aligned}$

$\begin{aligned}&\lim _{x \rightarrow 3^{+}}[2 x+1]=7 \\ &\lim _{x \rightarrow 3_{-}}[2 x+1]=6 \\ &\lim _{x \rightarrow-3_{+}}[2 x+1]=-5 \\ &\lim _{x \rightarrow-3_{-}}[2 x+1]=-6\end{aligned}$

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 3+}[x-1]=2 \\ & \lim _{x \rightarrow 3-}[x-1]=1 \\ & \lim _{x \rightarrow-3+}[x-1]=-4 \\ & \lim _{x \rightarrow-3-}[x-1]=-5\end{aligned}$

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 3+} 2[x-1]=2 \cdot 2=4 \\ & \lim _{x \rightarrow 3-} 2[x-1]=2 \cdot 1=2 \\ & \lim _{x \rightarrow-3+} 2[x-1]=2 \cdot(-4)=-8 \\ & \lim _{x \rightarrow-3-} 2[x-1]=2 \cdot(-5)=-10\end{aligned}$

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 3^{+}}[2 x-1]=5 \\ & \lim _{x \rightarrow 3^{-}}[2 x-1]=4 \\ & \lim _{x \rightarrow-3^{+}}[2 x-1]=-7 \\ & \lim _{x \rightarrow-3^{-}}[2 x-1]=-8\end{aligned}$

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 3+}\left[x^2\right]=9 \\ & \lim _{x \rightarrow 3-}\left[x^2\right]=8 \\ & \lim _{x \rightarrow-3+}\left[x^2\right]=8 \\ & \lim _{x \rightarrow-3^{-}}\left[x^2\right]=9\end{aligned}$

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 3+} 2[x^2]=2 \cdot 9=18 \\ & \lim _{x \rightarrow 3-} 2[x^2]=2 \cdot 8=16 \\ & \lim _{x \rightarrow-3+} 2[x^2]=2 \cdot 8=16 \\ & \lim _{x \rightarrow-3-} 2[x^2]=2 \cdot 9=18\end{aligned}$

$\begin{aligned}&\lim _{x \rightarrow 3^{+}}\left[2 x^2\right]=18 \\ &\lim _{x \rightarrow 3^{-}}\left[2 x^2\right]=17 \\ &\lim _{x \rightarrow-3^{+}}\left[2 x^2\right]=17 \\ &\lim _{x \rightarrow-3^{-}}\left[2 x^2\right]=18\end{aligned}$

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 3+}\left[x^2+1\right]=10 \\ & \lim _{x \rightarrow 3^{-}}\left[x^2+1\right]=9 \\ & \lim _{x \rightarrow-3+}\left[x^2+1\right]=9 \\ & \lim _{x \rightarrow-3^{-}}\left[x^2+1\right]=10\end{aligned}$

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 3+} 2[x^2+1]=2 \cdot 10=20 \\ & \lim _{x \rightarrow 3-} 2[x^2+1]=2 \cdot 9=18 \\ & \lim _{x \rightarrow-3+} 2[x^2+1]=2 \cdot 9=18 \\ & \lim _{x \rightarrow-3-} 2[x^2+1]=2 \cdot 10=20\end{aligned}$

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 3^{+}}\left[2 x^2+1\right]=19 \\ & \lim _{x \rightarrow 3^{-}}\left[2 x^2+1\right]=18 \\ & \lim _{x \rightarrow-3^{+}}\left[2 x^2+1\right]=18 \\ & \lim _{x \rightarrow-3^{-}}\left[2 x^2+1\right]=19\end{aligned}$

$\begin{aligned}&\lim _{x \rightarrow 3+}\left[x^2-1\right]=8 \\ &\lim _{x \rightarrow 3-}\left[x^2-1\right]=7 \\ &\lim _{x \rightarrow-3+}\left[x^2-1\right]=7 \\ &\lim _{x \rightarrow-3^{-}}\left[x^2-1\right]=8\end{aligned}$

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 3+} 2[x^2-1]=2 \cdot 8=16 \\ & \lim _{x \rightarrow 3-} 2[x^2-1]=2 \cdot 7=14 \\ & \lim _{x \rightarrow-3^{+}} 2[x^2-1]=2 \cdot 7=14 \\ & \lim _{x \rightarrow-3^{-}} 2[x^2-1]=2 \cdot 8=16\end{aligned}$

$\begin{aligned}&\lim _{x \rightarrow 3^{+}}\left[2 x^2-1\right]=17 \\ &\lim _{x \rightarrow 3^{-}}\left[2 x^2-1\right]=16 \\ &\lim _{x \rightarrow-3^{+}}\left[2 x^2-1\right]=16 \\ &\lim _{x \rightarrow-3^{-}}\left[2 x^2-1\right]=17\end{aligned}$

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극한 (1)

실버스톤c — Fri, 22 May 2026 01:25:37 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

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문제)

두 함수 $f(x),\;g(x)$에 대하여

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty, \;\; \lim _{x \rightarrow \infty}\{f(x)-g(x)\}=3 \end{aligned} $ 일 때,

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 f(x)-3 g(x)}{3 f(x)+2 g(x)} \end{aligned} $ 의 값은?

풀이1)

$f(x)-g(x)=h(x)$ 로 놓으면

$g(x)=f(x)-h(x)$ 이고

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} h(x)=3 \end{aligned} $

$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 f(x)-3 g(x)}{3 f(x)+2 g(x)} & =\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 f(x)-3\{f(x)-h(x)\}}{3 f(x)+2\{f(x)-h(x)\}} \\ & =\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-f(x)+3 h(x)}{5 f(x)-2 h(x)} \\ & =\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-1+3 \cdot \frac{h(x)}{f(x)}}{5-2 \cdot \frac{h(x)}{f(x)}} \\ & =-\frac{1}{5}\left(\because \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{h(x)}{f(x)}=0\right)\end{aligned}$

풀이2)

사전 준비 잠깐 하면

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty \\ & \lim _{x \rightarrow \infty} f(x) g(x)=2\end{aligned}$

x가 무한대로 갈 때,

$f(x)$가 무한대로 가는데 $f(x)g(x)$는 극한값을 가진다..?!

그럼 $g(x)$는 0으로 가야 합니다.

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} g(x)=0 \end{aligned} $

이제 문제를 풀어보면

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty}\{f(x)-g(x)\}=3 \end{aligned} $ 에서

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)\left\{1-\frac{g(x)}{f(x)}\right\}=3 \end{aligned} $

$f(x)$가 무한대로 가기 때문에

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty}\left\{1-\frac{g(x)}{f(x)}\right\}=0 \end{aligned} $

따라서

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{g(x)}{f(x)}=1 \end{aligned} $

$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 f(x)-3 g(x)}{3 f(x)+2 g(x)} & =\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2-3 \frac{g(x)}{f(x)}}{3+2 \frac{g(x)}{f(x)}} \\ & =\frac{2-3 \cdot 1}{3+2 \cdot 1} \\ & =-\frac{1}{5}\end{aligned}$

개인적으로 풀이2를 선호합니다. ;;

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급수 (3)

실버스톤c — Tue, 12 May 2026 21:39:39 +0900

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급수의 합을 구하는 과정

① $ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} a_n \neq 0 \end{aligned} $ 이면 무조건 발산

② $ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} a_n = 0 \end{aligned} $ 이면 부분합 $S_n$을 구하고

③ $ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} S_n \end{aligned} $ 의 값을 구한다.

이해가 안 되면

'급수 (1)'을 한 번 읽고 오세요~

문제1)

$2-2+2-2+2-2+2-2+\cdots=?$

풀이)

일반항을 확인해보면

$\begin{aligned} & a_1=2 \\ & a_2=-2 \\ & a_3=2 \\ & a_4=-2 \\ & \cdots\end{aligned}$

홀수 번째 항

$ \begin{aligned} a_{2 n-1}=2 \;\;\rightarrow\;\; \lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} 2=2 \end{aligned} $

짝수 번째 항

$ \begin{aligned} a_{2 n}=-2 \;\;\rightarrow\;\; \lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty}(-2)=-2 \end{aligned} $

수열 자체가 발산하고 있습니다. 즉

$ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} a_n \neq 0 \end{aligned} $

일반항의 극한값이 0이 아니므로

급수는 볼 것도 없이 발산입니다.

발산하므로 풀이를 여기서 끝내도 되지만

그래도 확인은 해 볼께요.

$\begin{aligned} & S_1=2 \\ & S_2=2-2=0 \\ & S_3=2-2+2=2 \\ & S_4=2-2+2-2=0 \\ & \cdots\end{aligned}$

홀수 번째 항까지의 합

$ \begin{aligned} S_{2 n-1}=2 \;\;\rightarrow\;\; \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} 2=2 \end{aligned} $

짝수 번째 항까지의 합

$ \begin{aligned} S_{2 n}=0 \;\;\rightarrow\;\; \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} 0=0 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n-1} \neq \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n} \end{aligned} $

따라서 주어진 급수는 발산합니다.

그래프로 그려보면

문제2)

$(2-2)+(2-2)+(2-2)+(2-2)+\cdots=?$

풀이)

일반항을 확인해보면

$\begin{aligned} & a_1=2-2=0 \\ & a_2=2-2=0 \\ & a_3=2-2=0 \\ & a_4=2-2=0 \\ & \cdots\end{aligned}$

$ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=\lim _{n \rightarrow \infty} 0=0 \end{aligned} $

일반항의 극한값이 0이므로

급수의 수렴 여부를 확인해 봐야겠네요.

$\begin{aligned} & S_1=(2-2)=0 \\ & S_2=(2-2)+(2-2)=0 \\ & S_3=(2-2)+(2-2)+(2-2)=0 \\ & S_4=(2-2)+(2-2)+(2-2)+(2-2)=0 \\ & \cdots\end{aligned}$

$ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} S_n=\lim _{n \rightarrow \infty} 0=0 \end{aligned} $

따라서 주어진 급수는 0으로 수렴합니다.

문제3)

$ \begin{aligned} \frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{3}{4}-\frac{4}{5}+\cdots=? \end{aligned} $

풀이)

일반항을 확인해보면

$\begin{aligned} & a_1=\frac{1}{2} \\ & a_2=-\frac{2}{3} \\ & a_3=\frac{2}{3} \\ & a_4=-\frac{3}{4} \\ & a_5=\frac{3}{4} \\ & a_6=-\frac{4}{5} \\ & \cdots \end{aligned}$

홀수 번째 항

$ \begin{aligned} a_{2 n-1}=\frac{n}{n+1} \;\;\rightarrow\;\; \lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1}=1 \end{aligned} $

짝수 번째 항

$ \begin{aligned} a_{2 n}=-\frac{n+1}{n+2} \;\;\rightarrow\;\; \lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(-\frac{n+1}{n+2}\right)=-1 \end{aligned} $

수열 자체가 발산하고 있습니다. 즉

$ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} a_n \neq 0 \end{aligned} $

일반항의 극한값이 0이 아니므로

급수는 볼 것도 없이 발산입니다.

역시 발산하므로 풀이를 여기서 끝내도 되지만

그래도 확인은 해 볼께요.

$\begin{aligned} & S_1=\frac{1}{2} \\ & S_2=\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\right) \\ & S_3=\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{1}{2} \\ & S_4=\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4}=\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\right) \\ & S_5=\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{1}{2} \\ & S_6=\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{3}{4}-\frac{4}{5}=\left(\frac{1}{2}-\frac{4}{5}\right) \\ & \cdots\end{aligned}$

홀수 번째 항까지의 합

$ \begin{aligned} S_{2 n-1}=\frac{1}{2} \;\;\rightarrow\;\; \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \end{aligned} $

짝수 번째 항까지의 합

$ \begin{aligned} S_{2 n}=\frac{1}{2}-\frac{n+1}{n+2} \;\;\rightarrow\;\; \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{n+1}{n+2}\right)=-\frac{1}{2} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n-1} \neq \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n} \end{aligned} $

따라서 주어진 급수는 발산합니다.

그래프로 그려보면

문제4)

$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{4}\right)+\left(\frac{3}{4}-\frac{4}{5}\right)+\cdots=? \end{aligned} $

풀이)

일반항을 풀이해보면

$\begin{aligned} & a_1=\frac{1}{2}-\frac{2}{3} \\ & a_2=\frac{2}{3}-\frac{3}{4} \\ & a_3=\frac{3}{4}-\frac{4}{5}\\& \cdots\end{aligned}$

$ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n+2}\right)=1-1=0 \end{aligned} $

일반항의 극한값이 0이므로

급수의 수렴 여부를 확인해 봐야겠네요.

$\begin{aligned} & S_1=\frac{1}{2}-\frac{2}{3} \\ & S_2=\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{2}-\frac{3}{4} \\ & S_3=\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{4}\right)+\left(\frac{3}{4}-\frac{4}{5}\right)=\frac{1}{2}-\frac{4}{5}\\& \cdots\end{aligned}$

$ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} S_n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{n+1}{n+2}\right)=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2} \end{aligned} $

따라서 주어진 급수는 $-\frac{1}{2}$에 수렴합니다.

문제5)

$ \begin{aligned} -1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{7}+\cdots=? \end{aligned} $

풀이)

일반항을 확인해보면

$\begin{aligned} & a_1=-1 \\ & a_2=\frac{1}{3} \\ & a_3=-\frac{1}{3} \\ & a_4=\frac{1}{5} \\ & a_5=-\frac{1}{5} \\ & a_6=\frac{1}{7} \\ & a_7=-\frac{1}{7} \\ & \cdots \end{aligned}$

홀수 번째 항

$ \begin{aligned} a_{2 n-1}=-\frac{1}{2 n-1} \;\;\rightarrow\;\; \lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(-\frac{1}{2 n-1}\right)=0 \end{aligned} $

짝수 번째 항

$ \begin{aligned} a_{2 n}=\frac{1}{2 n+1} \;\;\rightarrow\;\; \lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2 n+1}=0 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n}=0 \;\;\rightarrow\;\; \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0 \end{aligned} $

일반항의 극한값이 0이므로

급수의 수렴 여부를 확인해 봐야겠네요.

$\begin{aligned} & S_1=-1 \\ & S_2=\left(-1+\frac{1}{3}\right) \\ & S_3=-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=-1 \\ & S_4=-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\left(-1+\frac{1}{5}\right) \\ & S_5=-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{5}=-1 \\ & S_6=-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}=\left(-1+\frac{1}{7}\right)\\ & \cdots \end{aligned}$

홀수 번째 항까지의 합

$ \begin{aligned} S_{2 n-1}=-1 \;\;\rightarrow\;\; \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty}-1=-1 \end{aligned} $

짝수 번째 항까지의 합

$ \begin{aligned} S_{2 n}=-1+\frac{1}{2 n+1} \;\;\rightarrow\;\; \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(-1+\frac{1}{2 n+1}\right)=-1 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n}=-1 \end{aligned} $

따라서 주어진 급수는 -1에 수렴합니다.

그래프로 그려보면

문제6)

$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{3}-1\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{7}\right)+\cdots=? \end{aligned} $

풀이)

일반항을 확인해보면

$\begin{aligned} & a_1=\frac{1}{3}-1 \\ & a_2=\frac{1}{5}-\frac{1}{3} \\ & a_3=\frac{1}{7}-\frac{1}{5} \\ & a_4=\frac{1}{9}-\frac{1}{7} \\ & \cdots \end{aligned}$

$ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2 n+1}-\frac{1}{2 n-1}\right)=0-0=0 \end{aligned} $

일반항의 극한값이 0이므로

급수의 수렴 여부를 확인해 봐야겠네요.

$\begin{aligned} & S_1=\frac{1}{3}-1 \\ & S_2=\left(\frac{1}{3}-1\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{5}-1 \\ & S_3=\left(\frac{1}{3}-1\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{7}-1 \\ & S_4=\left(\frac{1}{3}-1\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{7}\right)=\frac{1}{9}-1 \\ & \cdots \end{aligned}$

$ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} S_n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2 n+1}-1\right)=0-1=-1 \end{aligned} $

따라서 주어진 급수는 -1에 수렴합니다.

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행렬 (2)

실버스톤c — Wed, 6 May 2026 02:09:11 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

이차 정사각행렬 A에 대하여

$ \begin{aligned} A\binom{a}{b}=\binom{p}{q}, \;\; A\binom{c}{d}=\binom{r}{s} \end{aligned} $

위 2개의 행렬식을

좌변끼리, 우변끼리 더하면

$\begin{aligned} & A\binom{a}{b}+A\binom{c}{d}=\binom{p}{q}+\binom{r}{s} \\ & A\left\{\binom{a}{b}+\binom{c}{d}\right\}=\binom{p+r}{q+s} \\ & A\binom{a+c}{b+d}=\binom{p+r}{q+s}\end{aligned}$

문제1)

이차 정사각행렬 A에 대하여

$ \begin{aligned} A\binom{1}{2}=\binom{4}{3}, \;\;A\binom{-2}{3}=\binom{5}{1}, \;\;A\binom{-1}{5}=\binom{a}{b} \end{aligned} $

가 성립할 때, 상수 a, b의 값을 구하시오.

$ \begin{aligned} \binom{-1}{5}=\binom{1}{2}+\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 이므로

$\begin{aligned} A\binom{-1}{5} & =A\binom{1}{2}+A\binom{-2}{3} \\ & =\binom{4}{3}+\binom{5}{1} \\ & =\binom{9}{4}\end{aligned}$

$\therefore \;a=9, \;b=4$

$ \begin{aligned} \binom{-1}{5}=\binom{1}{2}+\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 을 찾는 방법

$ \begin{aligned} \binom{-1}{5}=x\binom{1}{2}+y\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 이 성립하려면

$\begin{aligned} & x-2 y=-1 \\ & 2 x+3 y=5\end{aligned}$

연립해서 풀면

$x=1, \;y=1$

따라서

$ \begin{aligned} \binom{-1}{5}=\binom{1}{2}+\binom{-2}{3} \end{aligned} $

문제2)

이차 정사각행렬 A에 대하여

$ \begin{aligned} A\binom{1}{2}=\binom{4}{3}, \;\;A\binom{-2}{3}=\binom{5}{1}, \;\;A\binom{0}{7}=\binom{a}{b} \end{aligned} $

가 성립할 때, 상수 a, b의 값을 구하시오.

$ \begin{aligned} \binom{0}{7}=2\binom{1}{2}+\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 이므로

$\begin{aligned} A\binom{0}{7} & =2 A\binom{1}{2}+A\binom{-2}{3} \\ & =2\binom{4}{3}+\binom{5}{1} \\ & =\binom{8}{6}+\binom{5}{1} \\ & =\binom{13}{7}\end{aligned}$

$\therefore \;a=13, \;b=7$

$ \begin{aligned} \binom{0}{7}=2\binom{1}{2}+\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 을 찾는 방법

$ \begin{aligned} \binom{0}{7}=x\binom{1}{2}+y\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 이 성립하려면

$\begin{aligned} & x-2 y=0 \\ & 2 x+3 y=7\end{aligned}$

연립해서 풀면

$x=2, \;y=1$

따라서

$ \begin{aligned} \binom{0}{7}=2\binom{1}{2}+\binom{-2}{3} \end{aligned} $

문제3)

이차 정사각행렬 A에 대하여

$ \begin{aligned} A\binom{1}{2}=\binom{4}{3}, \;\;A\binom{-2}{3}=\binom{5}{1}, \;\;A\binom{-3}{8}=\binom{a}{b} \end{aligned} $

가 성립할 때, 상수 a, b의 값을 구하시오.

$ \begin{aligned} \binom{-3}{8}=\binom{1}{2}+2\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 이므로

$\begin{aligned} A\binom{-3}{8} & = A\binom{1}{2}+2A\binom{-2}{3} \\ & =\binom{4}{3}+2\binom{5}{1} \\ & =\binom{4}{3}+\binom{10}{2} \\ & =\binom{14}{5}\end{aligned}$

$\therefore \;a=14, \;b=5$

$ \begin{aligned} \binom{-3}{8}=\binom{1}{2}+2\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 을 찾는 방법

$ \begin{aligned} \binom{-3}{8}=x\binom{1}{2}+y\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 이 성립하려면

$\begin{aligned} & x-2 y=-3 \\ & 2 x+3 y=8\end{aligned}$

연립해서 풀면

$x=1, \;y=2$

따라서

$ \begin{aligned} \binom{-3}{8}=\binom{1}{2}+2\binom{-2}{3} \end{aligned} $

문제4)

이차 정사각행렬 A에 대하여

$ \begin{aligned} A\binom{1}{2}=\binom{4}{3}, \;\;A\binom{-2}{3}=\binom{5}{1}, \;\;A\binom{3}{-1}=\binom{a}{b} \end{aligned} $

가 성립할 때, 상수 a, b의 값을 구하시오.

$ \begin{aligned} \binom{3}{-1}=\binom{1}{2}-\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 이므로

$\begin{aligned} A\binom{3}{-1} & =A\binom{1}{2}-A\binom{-2}{3} \\ & =\binom{4}{3}-\binom{5}{1} \\ & =\binom{-1}{2}\end{aligned}$

$\therefore \;a=-1, \;b=2$

$ \begin{aligned} \binom{3}{-1}=\binom{1}{2}-\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 을 찾는 방법

$ \begin{aligned} \binom{3}{-1}=x\binom{1}{2}+y\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 이 성립하려면

$\begin{aligned} & x-2 y=3 \\ & 2 x+3 y=-1\end{aligned}$

연립해서 풀면

$x=1, \;y=-1$

따라서

$ \begin{aligned} \binom{3}{-1}=\binom{1}{2}-\binom{-2}{3} \end{aligned} $

문제5)

이차 정사각행렬 A에 대하여

$ \begin{aligned} A\binom{1}{2}=\binom{4}{3}, \;\;A\binom{-2}{3}=\binom{5}{1}, \;\;A\binom{-4}{13}=\binom{a}{b} \end{aligned} $

가 성립할 때, 상수 a, b의 값을 구하시오.

$ \begin{aligned} \binom{-4}{13}=2\binom{1}{2}+3\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 이므로

$\begin{aligned} A\binom{-4}{13} & =2 A\binom{1}{2}+3A\binom{-2}{3} \\ & =2\binom{4}{3}+3\binom{5}{1} \\ & =\binom{8}{6}+\binom{15}{3} \\ & =\binom{23}{9}\end{aligned}$

$\therefore \;a=23, \;b=9$

$ \begin{aligned} \binom{-4}{13}=2\binom{1}{2}+3\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 을 찾는 방법

$ \begin{aligned} \binom{-4}{13}=x\binom{1}{2}+y\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 이 성립하려면

$\begin{aligned} & x-2 y=-4 \\ & 2 x+3 y=13\end{aligned}$

연립해서 풀면

$x=2, \;y=3$

따라서

$ \begin{aligned} \binom{-4}{13}=2\binom{1}{2}+3\binom{-2}{3} \end{aligned} $

PS1.

이차 정사각행렬 A에 대하여

$ \begin{aligned} A\binom{a}{b}=\binom{p}{q}, \;\; A\binom{c}{d}=\binom{r}{s} \end{aligned} $

위 2개의 행렬식을 하나의 행렬식으로 나타내면

$A\left(\begin{array}{ll}a & c \\ b & d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}p & r \\ q & s\end{array}\right)$

PS2.

연립방정식을 행렬로 나타내기

$ \begin{aligned} \left\{\begin{array}{l}a x+b y=p \\ c x+d y=q\end{array} \quad\Leftrightarrow \quad \left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)\binom{x}{y}=\binom{p}{q}\right. \end{aligned} $

또는

$\left\{\begin{array}{l}a x+b y=p \\ c x+d y=q\end{array} \quad \Leftrightarrow\quad\left(\begin{array}{ll}x & y\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}a & c \\ b & d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}p & q\end{array}\right)\right.$

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직선의 기울기 (3)

실버스톤c — Tue, 5 May 2026 18:12:09 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

y=x에 대칭인 두 직선은 서로 역함수 관계이고

그래서 기울기를 곱하면 1입니다.

즉, 한 직선의 기울기가 a이면

다른 한 직선(역함수)의 기울기는 $\frac{1}{a}$입니다.

굳이 확인해 보면

$y=ax+b$ 의 역함수는

$x=a y+b \;\;\rightarrow\;\; y=\frac{1}{a} x-\frac{b}{a}$

이 간단한 공식(?)이

무려 미적분에서 아주 중요한 공식으로 등장합니다.

교과서에 나와 있는 그대로 써보면

미분가능한 함수 f(x)의 역함수 g(x)가 존재하고 미분가능할 때,

①

$g^{\prime}(x)=\frac{1}{f^{\prime}(g(x))}\;\left(\right.$ 단, $\left.f^{\prime}(g(x)) \neq 0\right)$ 또는

$f^{\prime}(x)=\frac{1}{g^{\prime}(f(x))}\;\left(\right.$ 단, $\left.g^{\prime}(f(x)) \neq 0\right)$

②

$f(b)=a$ 이면, 즉 $g(a)=b$ 이면 $g^{\prime}(a)=\frac{1}{f^{\prime}(b)}=\frac{1}{f^{\prime}(g(a))} \;\left(\right.$ 단, $\left.f^{\prime}(b) \neq 0\right)$ 또는

$f(b)=a$ 이면, 즉 $g(a)=b$ 이면 $f^{\prime}(b)=\frac{1}{g^{\prime}(a)}=\frac{1}{g^{\prime}(f(b))} \;\left(\right.$ 단, $\left.g^{\prime}(a) \neq 0\right)$

어떤가요..?! 이해가 되나요..?!

처음에 얘기했듯이 당연하고 간단한(?) 공식입니다.

아래 그림을 보고 하나하나 따라가면 어렵지 않게 이해할 수 있을 거예요~

식으로는 이렇게 증명합니다.

$f(g(x))=x$ 이므로

양변을 x로 미분하면

$\begin{aligned} & f^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x)=1 \\ & g^{\prime}(x)=\frac{1}{f^{\prime}(g(x))} \\ & g^{\prime}(a)=\frac{1}{f^{\prime}(g(a))}=\frac{1}{f^{\prime}(b)}\end{aligned}$

또는

$g(f(x))=x$ 이므로

양변을 x로 미분하면

$\begin{aligned} & g^{\prime}(f(x)) f^{\prime}(x)=1 \\ & f^{\prime}(x)=\frac{1}{g^{\prime}(f(x))} \\ & f^{\prime}(b)=\frac{1}{g^{\prime}(f(b))}=\frac{1}{g^{\prime}(a)}\end{aligned}$

문제1)

$f(2)=3, \;f^{\prime}(2)=5$ 를 만족시키는 미분가능한 함수 $f(x)$가

역함수 $g(x)$를 가질 때, $g^{\prime}(3)$의 값은?

풀이)

$f(2)=3 \;\;\rightarrow\;\; g(3)=2$

$g^{\prime}(3)=\frac{1}{f^{\prime}(g(3))}=\frac{1}{f^{\prime}(2)}=\frac{1}{5}$

문제2)

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-3}{x-2}=5 \end{aligned} $ 를 만족시키는 미분가능한 함수 $f(x)$가

역함수 $g(x)$를 가질 때, $g^{\prime}(3)$의 값은?

풀이)

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-3}{x-2}=5 \;\;\rightarrow\;\; f(2)=3, \;f^{\prime}(2)=5 \end{aligned} $

문제1과 같은 문제입니다.

('미분계수 (3)'을 참고해 주세요~)

문제3)

함수 $f(x)=x^3+1$ 의 역함수를 $g(x),\;h(x)=f(x)g(x)$ 라 할 때,

$h^{\prime}(2)$의 값은?

풀이)

$\begin{aligned} & f(2)=9 \\ & f^{\prime}(x)=3 x^2 \;\;\rightarrow\;\; f^{\prime}(2)=12 \\ & g(2)=a \;\;\rightarrow\;\; f(a)=2 \;\;\rightarrow\;\; a^3+1=2 \;\;\rightarrow\;\; a=1 \\ & g^{\prime}(2)=\frac{1}{f^{\prime}(g(2))}=\frac{1}{f^{\prime}(1)}=\frac{1}{3}\end{aligned}$

$h^{\prime}(x)=f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x)$

$\begin{aligned} h^{\prime}(2) & =f^{\prime}(2) g(2)+f(2) g^{\prime}(2) \\ & =12 \cdot 1+9 \cdot \frac{1}{3} \\ & =15\end{aligned}$

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직선의 기울기 (2)

실버스톤c — Tue, 5 May 2026 16:38:08 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

① 두 점 (a, f(a)), (b, f(b))를 지나는 직선의 기울기는

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 또는 $\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$

② 점 (a, f(a))에서의 접선의 기울기는 f'(a)

③ 점 (b, f(b))에서의 접선의 기울기는 f'(b)

위에서 언급한 기울기 3개의 크기를 비교해 보겠습니다.

그래프가 위로 볼록이면

$f^{\prime}(b)<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<f^{\prime}(a)$

그래프가 아래로 볼록이면

$f^{\prime}(a)<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<f^{\prime}(b)$

기울기와는 관련이 없지만

위로 볼록, 아래로 볼록일 때, 한 번씩 등장하는 식이 있습니다.

$f\left(\frac{a+b}{2}\right)$ 와 $\frac{f(a)+f(b)}{2}$

그래프가 직선(일차함수)이면

$f\left(\frac{a+b}{2}\right)=\frac{f(a)+f(b)}{2}$

그래프가 위로 볼록이면

$f\left(\frac{a+b}{2}\right)>\frac{f(a)+f(b)}{2}$

그래프가 아래로 볼록이면

$f\left(\frac{a+b}{2}\right)<\frac{f(a)+f(b)}{2}$

마지막으로

원점 (0, 0)과 (a, f(a))를 지나는 직선의 기울기는

$\frac{f(a)-0}{a-0}=\frac{f(a)}{a}$

원점 (0, 0)과 (b, f(b))를 지나는 직선의 기울기는

$\frac{f(b)-0}{b-0}=\frac{f(b)}{b}$

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행렬 (1)

실버스톤c — Tue, 5 May 2026 00:00:25 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

행렬은 교환번칙이 성립하지 않으므로

인수분해할 때 주의..!!해야 합니다.

$\begin{aligned} & A B+A C=A(B+C) \\ & B A+C A=(B+C) A\end{aligned}$

$\begin{aligned} & A B C+A B D=A B(C+D) \\ & A C D+B C D=(A+B) C D\end{aligned}$

$\begin{aligned} & (A+B) C+(A+B) D=(A+B)(C+D) \\ & (A+B) C-(A+B) D=(A+B)(C-D)\end{aligned}$

$\begin{aligned} & A(C+D)+B(C+D)=(A+B)(C+D) \\ & A(C+D)-B(C+D)=(A-B)(C+D)\end{aligned}$

행렬에 등장하는 기본적인(?) 4개의 식이 있습니다.

$\begin{aligned} & (A+B)^2 \\ & (A-B)^2 \\ & (A+B)(A-B) \\ & (A-B)(A+B)\end{aligned}$

각각 전개해보면

$\begin{aligned} & (A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+A B+B A+B^2 \\ & (A-B)^2=(A-B)(A-B)=A^2-A B-B A+B^2 \\ & (A+B)(A-B)=A^2-A B+B A-B^2 \\ & (A-B)(A+B)=A^2+A B-B A-B^2\end{aligned}$

여기까지는 문제가 없는데

그럼, 아래 4개의 식을 보고

$\begin{aligned} & A^2+A B+B A+B^2 \\ & A^2-A B-B A+B^2 \\ & A^2-A B+B A-B^2 \\ & A^2+A B-B A-B^2\end{aligned}$

거꾸로

바로 인수분해가 가능한가요..?!

$\begin{aligned} & A^2+A B+B A+B^2=(A+B)^2 \\ & A^2-A B-B A+B^2=(A-B)^2 \\ & A^2-A B+B A-B^2=(A+B)(A-B) \\ & A^2+A B-B A-B^2=(A-B)(A+B)\end{aligned}$

이케 바로 인수분해가 보이면 젤로 좋고

아니면 뭐 유도해야죠. ;;

$\begin{aligned} A^2+A B+B A+B^2 & =A(A+B)+B(A+B) \\ & =(A+B)(A+B) \\ & =(A+B)^2\end{aligned}$

$\begin{aligned} A^2-A B-B A+B^2 & =A(A-B)-B(A-B) \\ & =(A-B)(A-B) \\ & =(A-B)^2\end{aligned}$

$\begin{aligned} A^2-A B+B A-B^2 & =A(A-B)+B(A-B) \\ & =(A+B)(A-B)\end{aligned}$

$\begin{aligned} A^2+A B-B A-B^2 & =A(A+B)-B(A+B) \\ & =(A-B)(A+B)\end{aligned}$

만일에 교환법칙이 성립하면 (즉 AB=BA이면)

일반식의 전개와 같아집니다.

$\begin{aligned}(A+B)^2 & =(A+B)(A+B) \\ & =A^2+A B+B A+B^2 \\ & =A^2+2 A B+B^2\end{aligned}$

$\begin{aligned}(A-B)^2 & =(A-B)(A-B) \\ & =A^2-A B-B A+B^2 \\ & =A^2-2 A B+B^2\end{aligned}$

$\begin{aligned}(A+B)(A-B) & =A^2-A B+B A-B^2 \\ & =A^2-B^2\end{aligned}$

$\begin{aligned}(A-B)(A+B) & =A^2+A B-B A-B^2 \\ & =A^2-B^2\end{aligned}$

거꾸로 얘기해서

이것이 성립한다는 의미는

$\begin{aligned} & (A+B)^2=A^2+2 A B+B^2 \\ & (A-B)^2=A^2-2 A B+B^2 \\ & (A+B)(A-B)=A^2-B^2 \\ & (A-B)(A+B)=A^2-B^2\end{aligned}$

교환법칙이 성립한다는

즉 AB=BA라는 의미입니다.

다른 경우들도 마찬가지입니다.

일반적으로는 성립하지 않지만

$\begin{aligned} & A^3+B^3 \neq(A+B)\left(A^2-A B+B^2\right) \\ & A^3-B^3 \neq(A-B)\left(A^2+A B+B^2\right) \\ & A^4+A^2 B^2+B^4 \neq\left(A^2-A B+B^2\right)\left(A^2+A B+B^2\right)\end{aligned}$

만일에 교환법칙이 성립하면 (즉 AB=BA이면)

$\begin{aligned} & A^3+B^3=(A+B)\left(A^2-A B+B^2\right) \\ & A^3-B^3=(A-B)\left(A^2+A B+B^2\right) \\ & A^4+A^2 B^2+B^4=\left(A^2-A B+B^2\right)\left(A^2+A B+B^2\right)\end{aligned}$

그리고 단위행렬이 끼여들어도

교환법칙이 성립하니까 (즉 AE=EA)

$\begin{aligned} & A^3+E^3=(A+E)\left(A^2-A E+E^2\right) \\ & A^3+E=(A+E)\left(A^2-A+E\right)\end{aligned}$

$\begin{aligned} & A^3-E^3=(A-E)\left(A^2+A E+E^2\right) \\ & A^3-E=(A-E)\left(A^2+A+E\right)\end{aligned}$

$\begin{aligned} & A^4+A^2 E^2+E^4=\left(A^2-A E+E^2\right)\left(A^2+A E+E^2\right) \\ & A^4+A^2+E=\left(A^2-A+E\right)\left(A^2+A+E\right)\end{aligned}$

추가해서

$\left\{\begin{array}{l}A^3 B^3=A A A B B B \\ (A B)^3=A B A B A B\end{array} \;\;\rightarrow\;\; A^3 B^3 \neq(A B)^3\right.$

만일에 교환법칙이 성립하면 (즉 AB=BA이면)

$\begin{aligned} A^3 B^3 & =A A A B B B \\ & =A A \underline{A B} B B \\ & =A A \underline{B A} B B \\ & =A A B A B B \\ & =A \underline{A B}\, \underline{A B} B \\ & =A \underline{B A}\, \underline{B A} B \\ & =A B A B A B \\ & =(A B)^3\end{aligned}$

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직선의 기울기 (1)

실버스톤c — Mon, 4 May 2026 22:23:46 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각이 θ일 때

그 직선의 기울기는 tanθ

아래 각각의 직선의 기울기는

$\tan 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\tan 45^{\circ}=1$	$\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$
$\tan 120^{\circ}=-\sqrt{3}$	$\tan 135^{\circ}=-1$	$\tan 150^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

사실 뭐... 따지고 보면

직선의 기울기의 정의와 탄젠트의 정의가 같습니다. ('삼각비 (1)' 참고요~)

$\begin{aligned} & \text {기울기 }=\frac{y \text {의 변화량 }}{x \text {의 변화량 }}=\frac{b}{a} \\ & \tan \theta=\frac{\text { 높이 }}{\text { 밑변 }}=\frac{b}{a}\end{aligned}$

문제1)

두 직선 y=x와 y=3x가 이루는 예각의 크기를 θ라 할 때

tanθ의 값은?

위 그림에서

$\begin{aligned} & \tan \theta_1=(\text {직선 } y=x \text {의 기울기})=1 \\ & \tan \theta_2=(\text {직선 } y=3 x \text {의 기울기})=3\end{aligned}$

두 직선이 이루는 예각의 크기

$\theta=\theta_2-\theta_1$

$\begin{aligned} \tan \theta & =\tan \left(\theta_2-\theta_1\right) \\ & =\frac{\tan \theta_2-\tan \theta_1}{1+\tan \theta_2 \tan \theta_1} \\ & =\frac{3-1}{1+3 \cdot 1} \\ & =\frac{1}{2}\end{aligned}$

탄젠트 공식은

'삼각함수 공식모음'을 참고해 주세요~

문제2)

두 직선 y=3x-1과 y=-2x+5가 이루는 예각의 크기를 θ라 할 때

tanθ의 값은?

위 그림에서

$\begin{aligned} & \tan \theta_1=(\text {직선 } y=3 x-1 \text {의 기물기})=3 \\ & \tan \theta_2=(\text {직선 } y=-2 x+5 \text {의 기울기})=-2\end{aligned}$

두 직선이 이루는 예각의 크기

$\theta=\theta_2-\theta_1$

$\begin{aligned} \tan \theta & =\tan \left(\theta_2-\theta_1\right) \\ & =\frac{\tan \theta_2-\tan \theta_1}{1+\tan \theta_2 \tan \theta_1} \\ & =\frac{(-2)-3}{1+(-2) \cdot 3} \\ & =1\end{aligned}$

위의 두 문제를 푼 것처럼

그래프를 그려보면

$\theta=\theta_2-\theta_1$ 인지

$\theta=\theta_1-\theta_2$ 인지 알 수가 있지만

셤 볼 때는 이렇게 일일이

그림을 그려가며 풀 시간적 여유가 없다는 것이 문제라면 문제랄까요.

탄젠트 공식의 특성상

$\theta_1$과 $\theta_2$가 바뀌면

값은 똑같고 부호만 바뀝니다..!!

$\begin{aligned} & \tan \left(\theta_2-\theta_1\right)=\frac{\tan \theta_2-\tan \theta_1}{1+\tan \theta_2 \tan \theta_1} \\ & \tan \left(\theta_1-\theta_2\right)=\frac{\tan \theta_1-\tan \theta_2}{1+\tan \theta_1 \tan \theta_2}=\frac{-\left(\tan \theta_2-\tan \theta_1\right)}{1+\tan \theta_2 \tan \theta_1}=-\tan \left(\theta_2-\theta_1\right)\end{aligned}$

탄젠트가 기함수인 걸 이용해도

바로 확인할 수 있습니다. ('함수 (6)' 참고요~)

$\tan \left(\theta_1-\theta_2\right)=\tan \left\{-\left(\theta_2-\theta_1\right)\right\}=-\tan \left(\theta_2-\theta_1\right)$

상황이 이렇게 때문에

$\theta=\theta_1-\theta_2$ 인지

$\theta=\theta_2-\theta_1$ 인지 고민할 필요없이

다시 말해

$\tan \left(\theta_1-\theta_2\right)$ 이든

$\tan \left(\theta_2-\theta_1\right)$ 이든 아무거나 구한 다음

양수가 나오면 탱큐고

음수가 나오면 그냥 마이너스만 없애주면 됩니다.

그래서 많이 보던(?) 이런 공식이 등장하죠.

두 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각이 각각 α, β일 때,

두 직선이 이루는 예각의 크기를 θ라 하면

$\tan \theta=|\tan (\alpha-\beta)|=\left|\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}\right|$

절댓값만 씌워주면 상황 끝입니다..!!

뭐... 이정도 했으면

앞으로는 간단한 문제는 암산으로 10초 만에... ^-^// ;;

PS.

기울기와 같은 개념이

탄젠트 말고 하나 더 나오죠..?!

평균변화율

함수 $y=f(x)$ 에서

x의 값이 a에서 b까지 변할 때의 평균변화율은

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 또는 $\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$ 이고

$y=f(x)$ 의 그래프 위의 두 점

$(a, f(a)),\;(b, f(b))$ 를 지나는 직선의 기울기와 같다.

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이차식의 최대최소 (4)

실버스톤c — Sun, 3 May 2026 21:55:16 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

문제1)

실수 x, y에 대하여 -1≤x≤2이고 2x+y=1일 때,

2x²+y²-8x+1의 최댓값과 최솟값은?

풀이)

$y=-2x+1$ 이므로

$\begin{aligned} 2 x^2+y^2-8 x+1 & =2 x^2+(-2 x+1)^2-8 x+1 \\ & =6 x^2-12 x+2 \\ & =6\left(x^2-2 x+1-1\right)+2 \\ & =6(x-1)^2-4 \quad(-1 \leq x \leq 2)\end{aligned}$

$x=-1$ 일 때, 최댓값 $20$

$x=1$ 일 때, 최솟값 $-4$

('이차함수 (2)'를 참고해 주세요~)

문제2)

점 P(x, y)가 직선 y=-2x+1 위를 움직일 때

2x²+y²-8x+1 의 최댓값과 최솟값은? (-1≤x≤2)

문제1과 100% 같은 문제인 것이 보이죠..?! ;;

문제3)

점 P(x, y)가 두 점 A(-1, 3), B(2, -3)을 이은 선분 AB 위를 움직일 때

2x²+y²-8x+1 의 최댓값과 최솟값은?

풀이)

선분 AB의 방정식은

$\begin{aligned} & y-3=\frac{3-(-3)}{-1-2}(x+1) \\ & y-3=-2(x+1) \\ & y=-2 x+1 \quad(-1 \leq x \leq 2)\end{aligned}$

앗..!! 문제2와 똑같은 문제임다..!!

결론:

문제1, 2, 3이 모두 같은 문제입니다..!!

문제1은 아무렇지도 않게 풀면서

문제2, 문제3과 같이 직선, 선분이 등장하면 손을 못 대는 학생들이 있는 것 같아

한번 정리해 보았슴다~

PS.

위에서 문제를 풀 때는

x에 대한 식으로 바꿔서 풀었는데

y에 대한 식으로 바꿔서 풀어도 됩니다.

$2 x=-y+1 \;\;\rightarrow\;\; x=-\frac{1}{2} y+\frac{1}{2}$ 이므로

$\begin{aligned} 2 x^2+y^2-8 x+1 & =2\left(-\frac{1}{2} y+\frac{1}{2}\right)^2+y^2-8\left(-\frac{1}{2} y+\frac{1}{2}\right)+1 \\ & =2\left(\frac{1}{4} y^2-\frac{1}{2} y+\frac{1}{4}\right)+y^2+4 y-4+1 \\ & =\frac{3}{2} y^2+3 y-\frac{5}{2} \\ & =\frac{3}{2}\left(y^2+2 y+1-1\right)-\frac{5}{2} \\ & =\frac{3}{2}(y+1)^2-4\end{aligned}$

이 때 주의할 점은

x의 값의 범위를 y의 값의 범위로 바꿔줘야 한다는 거..!!

$\begin{aligned} & -1 \leq x \leq 2 \\ & -1 \leq-\frac{1}{2} y+\frac{1}{2} \leq 2 \\ & -\frac{3}{2} \leq-\frac{1}{2} y \leq \frac{3}{2} \\ & -3 \leq y \leq 3\end{aligned}$

이제 최댓값과 최솟값을 구해보면

$y=3$ 일 때, 최댓값 $20$

$y=-1$ 일 때, 최솟값 $-4$

답이 똑같이 나옵니다.

지금 이 문제같은 경우야

당연히 x에 대한 식으로 바꿔서 풀겠지만

문제에 따라서는

y에 대한 식으로 바꿔서 푸는 것이 편한 경우도 있습니다.

결론:

문제를 잘 보시고

그 때 그 때 잘 판단해서 푸세요~

뭐... 이런 결론이... ㅎ ;;

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도형의 이동 (2)

실버스톤c — Thu, 30 Apr 2026 17:33:39 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

f(x, y)=0을

x축의 방향으로 2만큼 평행이동하면 f(x-2, y)=0 ('도형의 이동 (1)' 참고요~)

y=x에 대하여 대칭이동하면 f(y, x)=0

그럼

f(y-2, x)=0은

f(x, y)=0을 어케 이동한 걸까요?

해석1.

x축의 방향으로 2만큼 평행이동하고

f(x, y)=0 → f(x-2, y)=0

y=x에 대하여 대칭이동해도 되고

f(x, y)=0 → f(x-2, y)=0 → f(y-2, x)=0

해석2.

y=x에 대하여 대칭이동하고

f(x, y)=0 → f(y, x)=0

y축의 방향으로 2만큼 평행이동해도 됩니다.

f(x, y)=0 → f(y, x)=0 → f(y-2, x)=0

(주의: y축의 방향입니다. x축의 방향이 아니예요~)

문제1)

방정식 f(x, y)=0 이 나타내는 도형이 아래 그림과 같을 때

방정식 f(y-2, x)=0 이 나타내는 도형을 그리시오.

풀이1)

직관적으로(?) 이동합니다.

x축의 방향으로 2만큼 평행이동하고

y=x에 대하여 대칭이동해도 되고

y=x에 대하여 대칭이동하고

y축의 방향으로 2만큼 평행이동해도 됩니다.

풀이2)

변 4개를 이동합니다.

x축의 방향으로 2만큼 평행이동하고

y=x에 대하여 대칭이동해도 되고

x=2 → x=4 → y=4

x=4 → x=6 → y=6

y=0 → y=0 → x=0

y=1 → y=1 → x=1

y=x에 대하여 대칭이동하고

y축의 방향으로 2만큼 평행이동해도 됩니다.

x=2 → y=2 → y=4

x=4 → y=4 → y=6

y=0 → x=0 → x=0

y=1 → x=1 → x=1

풀이3)

꼭지점 4개를 이동합니다. (개인적으로 선호하는 방법임다.)

x축의 방향으로 2만큼 평행이동하고

y=x에 대하여 대칭이동해도 되고

(2, 0) → (4, 0) → (0, 4)

(2, 1) → (4, 1) → (1, 4)

(4, 0) → (6, 0) → (0, 6)

(4, 1) → (6, 1) → (1, 6)

y=x에 대하여 대칭이동하고

y축의 방향으로 2만큼 평행이동해도 됩니다.

(2, 0) → (0, 2) → (0, 4)

(2, 1) → (1, 2) → (1, 4)

(4, 0) → (0, 4) → (0, 6)

(4, 1) → (1, 4) → (1, 6)

문제2)

방정식 f(-y-2, -x+3)=0이 나타내는 도형은

방정식 f(x, y)=0이 나타내는 도형을 어떻게 이동한 것인가요?

풀이)

y=-x 에 대하여 대칭이동하고

f(x, y)=0 → f(-y, -x)=0

x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동하면

f(x, y)=0 → f(-y, -x)=0 → f(-(y+2), -(x-3))=0

방정식 f(-y-2, -x+3)=0이 나오고

또는

x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동하고

f(x, y)=0 → f(x-2, y+3)=0

y=-x에 대하여 대칭이동해도

f(x, y)=0 → f(x-2, y+3)=0 → f(-y-2, -x+3)=0

방정식 f(-y-2, -x+3)=0이 나옵니다.

어느 정도 감이 잡히나요..?!

이제 교과서나 문제집에 나와 있는 비슷한 문제들을 풀면서

확실하게 이해하시길 바랍니다~ ^-^//

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도형의 이동 (1)

실버스톤c — Thu, 30 Apr 2026 10:42:30 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

'x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동'을

나타내는 방법은 2가지가 있습니다.

1. 평행이동 (x, y) → (x+2, y-3)

2. 도형 f(x, y)=0을 도형 f(x-2, y+3)=0으로 옮기는 평행이동

두 번째 표현을 많은 학생들이 헷갈려하는 것 같습니다.

나름 설명을 해보면

f(x-2, y+3)=0은

x축의 방향으로 2만큼 평행이동해서 x에 (x-2)를

y축의 방향으로 -3만큼 평행이동해서 y에 (y+3)을 대입한 것입니다.

암튼, 헷갈리지 마세요~

문제1)

평행이동 (x, y) → (x+2, y-3)에 의하여

(3, 4)가 옮겨지는 점의 좌표는? (5, 1)

문제2)

평행이동 (x, y) → (x+2, y-3)에 의하여

(3, 4)로 옮겨지는 점의 좌표는? (1, 7)

문제3)

평행이동 (x, y) → (x+2, y-3)에 의하여

직선 4x-y+2=0이 옮겨지는 직선의 방정식은?

4(x-2)-(y+3)+2=0 정리하면 4x-y-9=0

문제4)

평행이동 (x, y) → (x+2, y-3)에 의하여

직선 4x-y+2=0으로 옮겨지는 직선의 방정식은?

4(x+2)-(y-3)+2=0 정리하면 4x-y+13=0

지금 막 헷갈려하고 있는 건 아니죠..?! ;;

진정한 헷갈림은 지금부터입니다.

문제5)

도형 f(x, y)=0을 도형 f(x+2, y-3)=0으로 옮기는 평행이동에 의하여

(3, 4)가 옮겨지는 점의 좌표는? (1, 7)

문제6)

도형 f(x, y)=0을 도형 f(x+2, y-3)=0으로 옮기는 평행이동에 의하여

(3, 4)로 옮겨지는 점의 좌표는? (5, 1)

문제7)

도형 f(x, y)=0을 도형 f(x+2, y-3)=0으로 옮기는 평행이동에 의하여

직선 4x-y+2=0이 옮겨지는 직선의 방정식은?

4(x+2)-(y-3)+2=0 정리하면 4x-y+13=0

문제8)

도형 f(x, y)=0을 도형 f(x+2, y-3)=0으로 옮기는 평행이동에 의하여

직선 4x-y+2=0으로 옮겨지는 직선의 방정식은?

4(x-2)-(y+3)+2=0 정리하면 4x-y-9=0

헷갈리죠..?! 저도 매번 헷갈립니다. ㅎ

팁을 하나 드리자면

'도형 f(x, y)=0을 도형 f(x+2, y-3)=0으로 옮기는 평행이동'을

'평행이동 (x, y) → (x-2, y+3)'

요렇게 바꿔놓고 생각하면 그나마 좀 덜 헷갈립니다~

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자취의 방정식 (12)

실버스톤c — Thu, 30 Apr 2026 09:47:33 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

문제)

직선 2x+y+1=0을 직선 x+y-3=0에 대하여

대칭이동한 직선의 방정식은?

풀이)

직선 2x+y+1=0 위의 한 점 (a, b)를

직선 x+y-3=0에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 (x, y)로 놓으면

두 점 (a, b), (x, y)의 중점의 좌표

$\left(\frac{a+x}{2}, \;\frac{b+y}{2}\right)$

는 직선 x+y-3=0 위의 점이므로

$\frac{a+x}{2}+\frac{b+y}{2}-3=0$

$a+b=-x-y+6\;\;\cdots\;①$

직선 x+y-3=0의 기울기는 -1이므로

두 점 (a, b), (x, y)을 지나는 직선의 기울기는 1 (∵ 서로 수직이므로)

$\frac{b-y}{a-x}=1$

$a-b=x-y\;\;\cdots\;②$

점 (a, b)는 직선 2x+y+1=0 위의 점이므로

$2a+b+1=0\;\;\cdots\;③$

①, ②를 연립해서 풀고

$\begin{aligned} & a=-y+3 \\ & b=-x+3\end{aligned}$

③에 대입하면

$\begin{aligned} & 2(-y+3)+(-x+3)+1=0 \\ & x+2 y-10=0\end{aligned}$

이것이 구하려는 직선의 방정식입니다.

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두 점 사이의 거리 (6)

실버스톤c — Wed, 29 Apr 2026 15:02:42 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

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문제1)

원 $x^2+y^2=1$ 위의 점 P와 두 점 $A(2,\;5), \;B(4,\;3)$ 에 대하여

$\overline{A P}^2+\overline{B P}^2$ 의 최솟값을 구하시오.

풀이)

먼저 중학생 때 배운

삼각형의 중선정리부터 확인할께요.

$\overline{A B}^2+\overline{A C}^2=2\left(\overline{A M}^2+\overline{B M}^2\right)$

이제 문제를 풀어보면

이 상황에서 점 P를 어디에 잡으면

$\overline{A P}^2+\overline{B P}^2$ 의 값이 최소가 되냐는 거죠.

$\overline{A B}$ 의 중점 M을 잡고

점 P와 연결하면

$\overline{A P}^2+\overline{B P}^2=2\left(\overline{P M}^2+\overline{B M}^2\right)$ 이므로

$\overline{P M}^2+\overline{B M}^2$ 의 최솟값을 구해서 2를 곱해주면 됩니다.

그래서

$\overline{P M}^2+\overline{B M}^2$ 의 최솟값을 생각해보면

$\overline{B M}$ 의 길이는 $\sqrt{2}$로 이미 정해져 있고

결국은 $\overline{P M}$의 길이의 최솟값을 구하면 됩니다!

(이건 많이 보던 문제죠..?!)

$\overline{P M}$ 의 길이의 최솟값은

원의 중심 (0, 0)과 중점 M(3, 4) 사이의 거리 5에서

원의 반지름 1을 뺀 값 4입니다.

이제 다 풀었습니다.

$\overline{P M}^2+\overline{B M}^2$ 의 최솟값은

$4^2+(\sqrt{2})^2=18$ 이 되고

따라서

$\overline{A P}^2+\overline{B P}^2$ 의 최솟값은

$2 \times 18=36$ 입니다.

문제2)

원 $(x-3)^2+(y+2)^2=4$ 위의 점 P와 두 점 $A(3,\;2), \;B(-5,\;0)$ 에 대하여

$\overline{A P}^2+\overline{B P}^2$ 의 최솟값을 구하시오.

풀이)

풀이는 없습니다..!! ㅎ

여러분이 그림 그려가면서 열심히 풀어보세요~

정답은 52입니다.

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합성함수 (3)

실버스톤c — Tue, 28 Apr 2026 01:45:16 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

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문제1)

두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프가 아래 그림과 같을 때

함수 y=(f˚g)(x)의 그래프를 그리시오.

풀이1)

먼저 함수 f(x)를 구해보면

$f(x)=\left\{\begin{array}{llll}2 x & (0 \leq x<1) & \cdots & (a) \\ -2 x+4 & (1 \leq x \leq 2) & \cdots & (b)\end{array}\right.$

함수 f(x)는

x=1을 기준으로 함수가 달라지고

0≤x<1 이면 ⓐ식에 x를 대입하고

1≤x≤2 이면 ⓑ식에 x를 대입합니다.

똑같이 생각해서

지금 그리려고 하는 함수 f(g(x))는

g(x)=1을 기준으로 함수가 달라지고

0≤g(x)<1 이면 ⓐ식에 g(x)를 대입하고

1≤g(x)≤2 이면 ⓑ식에 g(x)를 대입합니다.

즉, g(x)=1이 기준입니다.

① 0≤x<1 이면

1≤g(x)=x+1<2 이므로 ⓑ식에 g(x)=x+1을 대입하면 되고

f(g(x))=f(x+1)=-2(x+1)+4=-2x+2

② 1≤x≤2 이면

1≤g(x)=-x+3≤2 이므로 ⓑ식에 g(x)=-x+3을 대입하면 되고

f(g(x))=f(-x+3)=-2(-x+3)+4=2x-2

③ 2<x≤3 이면

0≤g(x)=-x+3<1 이므로 ⓐ식에 g(x)=-x+3을 대입하면 되고

f(g(x))=f(-x+3)=2(-x+3)=-2x+6

이제 그래프를 그려주면 됩니다.

풀이2)

시작점, 끝점, 꼭지점, 경계점의 함수값을 구합니다.

(0, 1)은 f(g(0))=f(1)=2 → (0, 2)로

(1, 2)는 f(g(1))=f(2)=0 → (1, 0)으로

(2, 1)은 f(g(2))=f(1)=2 → (2, 2)로

(3, 0)은 f(g(3))=f(0)=0 → (3, 0)으로 이동하고

점들을 이어주면

y=(f˚g)(x) 의 그래프가 그려집니다.

문제2)

두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프가 아래 그림과 같을 때

함수 y=(f˚g)(x)의 그래프를 그리시오.

풀이1)

복잡해 보이나요..?!

풀이과정은 똑같습니다.

먼저 함수 f(x)를 구해보면

$f(x)=\left\{\begin{array}{llll}x & (0 \leq x \leq 1) & \cdots & (a) \\ 2 x-1 & (1<x \leq 2) & \cdots & (b) \\ -x+5 & (2<x \leq 3) & \cdots & (c)\end{array}\right.$

함수 f(x)는

x=1, x=2를 기준으로 함수가 달라지고

0≤x≤1 이면 ⓐ식에 x를 대입하고

1<x≤2 이면 ⓑ식에 x를 대입하고

똑같이 생각해서

지금 그리려고 하는 함수 f(g(x))는

g(x)=1, g(x)=2를 기준으로 함수가 달라지고

0≤g(x)≤1 이면 ⓐ식에 g(x)를 대입하고

1<g(x)≤2 이면 ⓑ식에 g(x)를 대입하고

즉, g(x)=1과 g(x)=2가 기준입니다.

① 0≤x≤1 이면

0≤g(x)=-x+1≤1 이므로 ⓐ식에 g(x)=-x+1을 대입하면 되고

f(g(x))=f(-x+1)=-x+1

② 1<x≤2 이면

g(x)=0 이므로 ⓐ식에 g(x)=0을 대입하면 되고

f(g(x))=f(0)=0

③ 2<x≤5/2 이면

0<g(x)=2x-4≤1 이므로 ⓐ식에 g(x)=2x-4를 대입하면 되고

f(g(x))=f(2x-4)=2x-4

④ 5/2<x≤3 이면

1<g(x)=2x-4≤2 이므로 ⓑ식에 g(x)=2x-4를 대입하면 되고

f(g(x))=f(2x-4)=2(2x-4)-1=4x-9

⑤ 3<x≤4 이면

f(g(x))=f(x-1)=-(x-1)+5=-x+6

이제 그래프를 그려주면 됩니다.

풀이2)

시작점, 끝점, 꼭지점, 경계점의 함수값을 구합니다.

(0, 1)은 f(g(0))=f(1)=1 → (0, 1)로

(1, 0)은 f(g(1))=f(0)=0 → (1, 0)으로

(2, 0)은 f(g(2))=f(0)=0 → (2, 0)으로

($\frac{5}{2}$, 1)은 f(g($\frac{5}{2}$))=f(1)=1 → ($\frac{5}{2}$, 1)로

(3, 2)는 f(g(3))=f(2)=3 → (3, 3)으로

(4, 3)은 f(g(4))=f(3)=2 → (4, 2)로 이동하고

점들을 이어주면

y=(f˚g)(x)의 그래프가 그려집니다.

문제3)

두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프가 아래 그림과 같을 때

함수 y=(f˚g)(x)의 그래프를 그리시오.

풀이1)

먼저 함수 f(x)를 구해보면

$f(x)=\left\{\begin{array}{llll}2 & (0 \leq x<1) & \cdots & \text { (a) } \\ -2 x+4 & (1 \leq x \leq 2) & \cdots & \text { (b) }\end{array}\right.$

함수 f(x)는

x=1을 기준으로 함수가 달라지고

0≤x<1 이면 ⓐ식에 x를 대입하고

1≤x≤2 이면 ⓑ식에 x를 대입합니다.

똑같이 생각해서

지금 그리려고 하는 함수 f(g(x))는

g(x)=1을 기준으로 함수가 달라지고

0≤g(x)<1 이면 ⓐ식에 g(x)를 대입하고

1≤g(x)≤2 이면 ⓑ식에 g(x)를 대입합니다.

즉, g(x)=1이 기준입니다.

① 0≤x<1/2 이면

0≤g(x)=2x<1 이므로 ⓐ식에 g(x)=2x를 대입하면 되고

f(g(x))=f(2x)=2

② 1/2≤x≤1 이면

1≤g(x)=2x≤2 이므로 ⓑ식에 g(x)=2x를 대입하면 되고

f(g(x))=f(2x)=-2(2x)+4=-4x+4

③ 1<x≤2 이면

g(x)=2 이므로 ⓑ식에 g(x)=2를 대입하면 되고

f(2)=0

이제 그래프를 그려주면 됩니다.

풀이2)

시작점, 끝점, 꼭지점, 경계점의 함수값을 구합니다.

(0, 0)은 f(g(0))=f(0)=2 → (0, 2)로

($\frac{1}{2}$, 1)은 f(g($\frac{1}{2}$))=f(1)=2 → ($\frac{1}{2}$, 2)로

(1, 2)는 f(g(1))=f(2)=0 → (1, 0)으로

(2, 2)는 f(g(2))=f(2)=0 → (2, 0)으로 이동하고

점들을 이어주면

y=(f˚g)(x)의 그래프가 그려집니다.

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합성함수 (2)

실버스톤c — Tue, 28 Apr 2026 00:51:12 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

문제1)

두 함수 f(x)=2x+1, g(x)=x²-1에 대하여

다음을 구하시오.

(1) (f˚g)(3) = f(g(3)) = f(8) = 17

(2) (g˚f)(3) = g(f(3)) = g(7) = 48

문제2)

두 함수 f(x)=2x+1, g(x)=x²-1에 대하여

다음 합성함수를 구하시오.

(1) (f˚g)(x) = f(g(x)) = f(x²-1) = 2(x²-1)+1 = 2x²-1

(2) (g˚f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = (2x+1)²-1 = 4x²+4x

합성함수는 교환법칙이 성립하지 않습니다.

f˚g ≠ g˚f

문제3)

세 함수 f(x)=2x+1, g(x)=x²-1, h(x)=-x+5에 대하여

다음을 구하시오.

(1) (f˚g˚h)(3) = (f˚g)(h(3)) = (f˚g)(2) = f(g(2)) = f(3) = 7

(2) ((f˚g)˚h)(3) = (f˚g)(h(3)) = (f˚g)(2) = f(g(2)) = f(3) = 7

(3) (f˚(g˚h))(3) = f((g˚h)(3)) = f(g(h(3))) = f(g(2)) = f(3) = 7

문제4)

세 함수 f(x)=2x+1, g(x)=x²-1, h(x)=-x+5에 대하여

다음 합성함수를 구하시오.

(1) (f˚g˚h)(x) = (f˚g)(h(x)) = (f˚g)(-x+5)= f(g(-x+5))

= f((-x+5)²-1) = f(x²-10x+24) = 2(x²-10x+24)+1 = 2x²-20x+49

(2) ((f˚g)˚h)(x)=(f˚g)(h(x))=(f˚g)(-x+5) = f(g(-x+5)) = (1)번과 동일

(3) (f˚(g˚h))(x) = f((g˚h)(x)) = f(g(h(x))) = f(g(-x+5)) = (1)번과 동일

합성함수는 결합법칙이 성립합니다.

(f˚g)˚h = f˚(g˚h)

PS.

합성함수의 값과 식을 구하는 것 못지 않게

합성함수를 어떻게 표현하는지 (어디서 괄호가 열리고 닫히는지, 어디에 합성함수 기호가 들어가는지)

관심을 가져주세요~ 아무렇게가 대충 쓰면 안 돼요~ ;;

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합성함수 (1)

실버스톤c — Tue, 28 Apr 2026 00:16:27 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

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문제1)

f(3x+1)=-2x+5일 때, f(7)의 값은?

풀이1)

3x+1=7이 되려면 x=2

따라서, 주어진 식에 x=2를 대입하면

f(3·2+1)=-2·2+5 → f(7)=1

풀이2)

3x+1=t 로 놓고

주어진 식을 t에 관한 식으로 바꾸면 됩니다.

$3 x+1=t \;\;\rightarrow\;\; x=\frac{t}{3}-\frac{1}{3}$

$\begin{aligned} f(t) & =-2\left(\frac{t}{3}-\frac{1}{3}\right)+5 \\ & =-\frac{2}{3} t+\frac{17}{3}\end{aligned}$

$f(7)=-\frac{2}{3} \cdot 7+\frac{17}{3}=1$

문제2)

g(x)=3x+1, (f˚g)(x)=-2x+5일 때, f(7)의 값은?

풀이)

(f˚g)(x) = f(g(x)) = f(3x+1) = -2x+5

문제1과 같은 문제입니다. ㅎ

문제3)

f(3x+1)=-2x+5일 때, f(x)를 구하시오.

풀이)

문제1의 풀이2를 가져오면

$f(t)=-\frac{2}{3} t+\frac{17}{3}$ 이므로

$f(x)=-\frac{2}{3} x+\frac{17}{3}$

여기서 가끔 질문하는 학생들이 있습니다.

t와 x는 엄연히 다른데 → 3x+1=t

t를 x로 막 바꿔줘도 되나요?

물론 됩니다.

f(3x+1)에서의 x와

f(x)에서의 x는

같은 x가 아니거든요. (더 헷갈리죠..?! ㅠ)

좀 편하게(?) 설명을 해보면

$\begin{aligned} & f(t)=-\frac{2}{3} t+\frac{17}{3} \\ & f(s)=-\frac{2}{3} s+\frac{17}{3} \\ & f(k)=-\frac{2}{3} k+\frac{17}{3} \\ & f(x)=-\frac{2}{3} x+\frac{17}{3}\end{aligned}$

모두 같은 식이고

문제에서 f(x)를 구하라고 해서 걍 x를 대입한 것 뿐입니다.

암튼, 맞는지 확인해 볼까요.

$\begin{aligned} f(3 x+1) & =-\frac{2}{3}(3 x+1)+\frac{17}{3} \\ & =-2 x+5\end{aligned}$

이렇게 확인하는 것이

실생활에서는 강박(?)이 될 수도 있지만

수학에서는 철두철미입니다. ;;

문제4)

두 함수 f(x)=2x+1, g(x)=4x²-1에 대하여

(1) (f˚h)(x)=g(x)를 만족시키는 h(x)를 구하시오.

f(h(x))=2h(x)+1이므로

2h(x)+1=4x²-1 → h(x)=2x²-1

(2) (h˚f)(x)=g(x)를 만족시키는 h(x)를 구하시오.

(h˚f)(x) = h(f(x)) = h(2x+1) = 4x²-1

$2 x+1=t \;\;\rightarrow\;\; x=\frac{t}{2}-\frac{1}{2}$

$\begin{aligned} h(t) & =4\left(\frac{t}{2}-\frac{1}{2}\right)^2-1 \\ & =t^2-2 t\end{aligned}$

$h(x)=x^2-2 x$

문제5)

$f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^3+x^2+4+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}$ 일 때, f(x)를 구하시오.

$\begin{aligned} f\left(x+\frac{1}{x}\right) & =x^3+x^2+4+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3} \\ & =\left\{\left(x+\frac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\frac{1}{x}\right)\right\}+\left\{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2\right\}+4 \\ & =\left(x+\frac{1}{x}\right)^3+\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-3\left(x+\frac{1}{x}\right)+2\end{aligned}$

$\begin{aligned} & f(t)=t^3+t^2-3 t+2 \\ & f(x)=x^3+x^2-3 x+2\end{aligned}$

문제6)

$f\left(x+\frac{1}{x}-5\right)=x^3+x^2+4+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}$ 일 때, f(x)를 구하시오.

$\begin{aligned} f\left(x+\frac{1}{x}-5\right) & =x^3+x^2+4+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3} \\ & =\left(x+\frac{1}{x}\right)^3+\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-3\left(x+\frac{1}{x}\right)+2 \\ & =\left(x+\frac{1}{x}-5+5\right)^3+\left(x+\frac{1}{x}-5+5\right)^2-3\left(x+\frac{1}{x}-5+5\right)+2\end{aligned}$

$\begin{aligned} & f(t)=(t+5)^3+(t+5)^2-3(t+5)+2 \\ & f(x)=(x+5)^3+(x+5)^2-3(x+5)+2\end{aligned}$

문제7)

$f\left(x-\frac{1}{x}\right)=x^3+x^2+4+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}$ 일 때, f(x)를 구하시오.

$\begin{aligned} f\left(x-\frac{1}{x}\right) & =x^3+x^2+4+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3} \\ & =\left\{\left(x-\frac{1}{x}\right)^3+3\left(x-\frac{1}{x}\right)\right\}+\left\{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2\right\}+4 \\ & =\left(x-\frac{1}{x}\right)^3+\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+3\left(x-\frac{1}{x}\right)+6\end{aligned}$

$\begin{aligned} & f(t)=t^3+t^2+3 t+6 \\ & f(x)=x^3+x^2+3 x+6\end{aligned}$

문제8)

$f\left(x-\frac{1}{x}+5\right)=x^3+x^2+4+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}$ 일 때, f(x)를 구하시오.

$\begin{aligned} f\left(x-\frac{1}{x}+5\right) & =x^3+x^2+4+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3} \\ & =\left(x-\frac{1}{x}\right)^3+\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+3\left(x-\frac{1}{x}\right)+6 \\ & =\left(x-\frac{1}{x}+5-5\right)^3+\left(x-\frac{1}{x}+5-5\right)^2+3\left(x-\frac{1}{x}+5-5\right)+6\end{aligned}$

$\begin{aligned} & f(t)=(t-5)^3+(t-5)^2+3(t-5)+6 \\ & f(x)=(x-5)^3+(x-5)^2+3(x-5)+6\end{aligned}$

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무리함수 (1)

실버스톤c — Mon, 27 Apr 2026 23:26:27 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

무리함수 그래프를 그려보겠습니다.

① $y=\sqrt{x-2}+1$

x-2=0에서 x=2

(2, 1)에서 시작하고

x의 계수가 양수, 루트 앞의 부호도 양수

따라서, 요렇게 그려집니다.

② $y=\sqrt{-x+2}+1$

-x+2=0에서 x=2

(2, 1)에서 시작하고

x의 계수가 음수, 루트 앞의 부호는 양수

따라서, 요렇게 그려집니다.

③ $y=-\sqrt{-x+2}+1$

-x+2=0에서 x=2

(2, 1)에서 시작하고

x의 계수가 음수, 루트 앞의 부호도 음수

따라서, 요렇게 그려집니다.

④ $y=-\sqrt{x-2}+1$

x-2=0에서 x=2

(2, 1)에서 시작하고

x의 계수가 양수, 루트 앞의 부호는 음수

따라서, 요렇게 그려집니다.

양수 음수 헷갈리나요..?!

그럼 약간의 편법(?)을 동원해서 그려볼께요.

① $y=\sqrt{x-2}+1$

x에 x≠2인 아무 숫자나 대입합니다.

x에 1을 대입해보면

루트 안이 1-2=-1

에궁.. 음수가 나오네요.

그럼 다른 숫자를 대입합니다.

x에 3을 대입해보면

루트 안이 3-2=1

양수가 나왔습니다.

y값을 구해보면 y=2

즉, 이 무리함수는

(3, 2)를 지납니다.

시작점이 (2, 1)이고

(3, 2)를 지나려면

당연히(?) 이렇게 그려져야겠죠..?!

② $y=\sqrt{-x+2}+1$

x에 x≠2인 아무 숫자나 대입합니다.

x에 3을 대입해보면

루트 안이 -3+2=-1

에궁.. 음수가 나오네요.

그럼 다른 숫자를 대입합니다.

x에 1을 대입해보면

루트 안이 -1+2=1

양수가 나왔습니다.

y값을 구해보면 y=2

즉, 이 무리함수는

(1, 2)를 지납니다.

시작점이 (2, 1)이고

(1, 2)를 지나려면

당연히(?) 이렇게 그려져야겠죠..?!

③ $y=-\sqrt{-x+2}+1$

x에 x≠2인 아무 숫자나 대입합니다.

x에 3을 대입해보면

루트 안이 -3+2=-1

에궁.. 음수가 나오네요.

그럼 다른 숫자를 대입합니다.

x에 1을 대입해보면

루트 안이 -1+2=1

양수가 나왔습니다.

y값을 구해보면 y=0

즉, 이 무리함수는

(1, 0)을 지납니다.

시작점이 (2, 1)이고

(1, 0)을 지나려면

당연히(?) 이렇게 그려져야겠죠..?!

④ $y=-\sqrt{x-2}+1$

x에 x≠2인 아무 숫자나 대입합니다.

x에 1을 대입해보면

루트 안이 1-2=-1

에궁.. 음수가 나오네요.

그럼 다른 숫자를 대입합니다.

x에 3을 대입해보면

루트 안이 3-2=1

양수가 나왔습니다.

y값을 구해보면 y=0

즉, 이 무리함수는

(3, 0)을 지납니다.

시작점이 (2, 1)이고

(3, 0)을 지나려면

당연히(?) 이렇게 그려져야겠죠..?!

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유리함수 (3)

실버스톤c — Sun, 26 Apr 2026 23:12:16 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

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$\begin{aligned}y=\frac{2 x-1}{x-1} \end{aligned} $ 의 그래프를 그리라고 하면

식을 변형하고 ('분수식의 변형 (3)'을 참고해 주세요~)

$ \begin{aligned} y=\frac{2 x-1}{x-1}=\frac{2(x-1)+1}{x-1}=\frac{1}{x-1}+2 \end{aligned} $

점근선을 구하고 → x=1, y=2

분자 1이 양수인 걸 확인하고

x절편 $\frac{1}{2}$, y절편 1을 구해서 요렇게 그리면

거의 완벽하긴 한데

문제라면 식을 변형하는 것이 살짝(?) 귀찮다는 거..?! ;;

그래서 이 유리함수의 그래프를

$ \begin{aligned} y=\frac{2 x-1}{x-1} \end{aligned} $

요상태에서 바로 그려보겠습니다.

결론부터 얘기하면

점근선과 y절편만 구하면 됩니다.

점근선은 x=1, y=2 (어케 바로 아냐구요..?! '유리함수 (1)'을 참고해 주세요~)

y절편은 1

이런 상황입니다.

그럼 당연히(?) 왼쪽처럼 그려져야겠죠..?!

어떠세요..?! 할 만하죠..?!

하나 더 그려볼께요~

$ \begin{aligned} y=\frac{2 x-3}{x-1} \end{aligned} $

점근선은 x=1, y=2

y절편은 3

이런 상황이라면

이번에는 당연히(?) 오른쪽처럼 그려져야겠죠..?!

유리함수 그래프를 그리는

요런 간단한 요령(?)이 아주 유용하게 쓰일 때가 있을 거예요~ ^-^//

PS.

$ \begin{aligned} y=\frac{2-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}} \end{aligned} $ 의 그래프를 그리라고 하면

이케 식을 변형하고

$ \begin{aligned} y=\frac{\left(2-\frac{1}{x}\right) \times x}{\left(1-\frac{1}{x}\right) \times x}=\frac{2 x-1}{x-1} \end{aligned} $

이 글 처음에 그린 그래프처럼

이케 그리면 될 것 같은데

문제가 발생합니다.

x=0일 때는

$ \begin{aligned} y=\frac{2-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}} \end{aligned} $ 의 함수값이 존재하지 않기 때문에

x=0은 제외하고(버리고) 그려야 합니다. 이케

다른 함수에서도 마찬가지입니다.

$ \begin{aligned} y=x \end{aligned} $ 와 $ \begin{aligned} y=\frac{x^2}{x} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} y=x+1 \end{aligned} $ 과 $ \begin{aligned} y=\frac{x^2-1}{x-1} \end{aligned} $

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이차함수 (4)

실버스톤c — Sat, 25 Apr 2026 22:24:05 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

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a≤x≤b일 때

f(x)=(x-p)²+q의 최댓값과 최솟값은

ⅰ) p<a이면

x=a일 때, 최솟값 f(a)

x=b일 때, 최댓값 f(b)

ⅱ) $a \leq p<\frac{a+b}{2}$ 이면

x=p일 때, 최솟값 q

x=b일 때, 최댓값 f(b)

ⅲ) $\frac{a+b}{2} \leq p<b$ 이면

x=p일 때, 최솟값 q

x=a일 때, 최댓값 f(a)

ⅳ) p≥b이면

x=b일 때, 최솟값 f(b)

x=a일 때, 최댓값 f(a)

문제1)

x≥3에서 이차함수 f(x)=x²-2ax+5의 최솟값이 2일 때

실수 a의 값은?

풀이)

f(x)=(x-a)²-a²+5

ⅰ) a<3이면

x=3에서 최솟값을 가집니다.

f(3)=9-6a+5=2 → a=2 (조건에 만족)

ⅱ) a≥3

x=a에서 최솟값을 가집니다.

f(a)=-a²+5=2 → a=±√3 (조건에 만족하지 않습니다.)

따라서, 실수 a의 값은 2

문제2)

1≤x≤2에서 이차함수 f(x)=x²-2ax+3의 값이 양수일 때

실수 a의 값의 범위는?

풀이)

f(x)=(x-a)²-a²+3

ⅰ) a<1

x=1에서 최솟값을 가지므로

f(1)=1-2a+3=4-2a>0 → a<2

∴ a<1

ⅱ) 1≤a<2

x=a에서 최솟값을 가지므로

f(a)=-a²+3>0 → -√3<a<√3

∴ 1≤a<√3

ⅲ) a>2

x=2에서 최솟값을 가지므로

f(2)=4-4a+3=7-4a>0 → $a<\frac{7}{4}$

∴ 조건을 만족하는 a의 값이 존재하지 않습니다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ) 에서 a<√3

이차함수 (3)

실버스톤c — Sat, 25 Apr 2026 21:35:15 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

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이차함수 y=ax²+bx+c (a≠0)에서

꼭지점을 알고 싶으면

완전제곱식(표준형)으로 바꾸고 → y=a(x-p)²+q

x축과 만나는 점(x절편)을 알고 싶으면

y=0을 대입해서 x의 값을 구하고 (인수분해 또는 근의 공식을 이용)

y축과 만나는 점(y절편)을 알고 싶으면

x=0을 대입해서 y의 값을 구하고

이것이 이차함수의 전부임다.

문제1)

이차함수 $y=\frac{1}{2} x^2-x-\frac{3}{2}$ 의 그래프를 그리시오.

풀이)

완전제곱식으로 바꾸면 ('식, 함수, 방정식', '이차방정식의 해 (1)'을 참고해 주세요~)

$\begin{aligned} y & =\frac{1}{2} x^2-x-\frac{3}{2} \\ & =\frac{1}{2}\left(x^2-2 x+1-1\right)-\frac{3}{2} \\ & =\frac{1}{2}(x-1)^2-2 \;\;\rightarrow\;\; \text {꼭지점의 좌표는 }(1,-2)\end{aligned}$

y=0을 대입하면

$\begin{aligned} & 0=\frac{1}{2} x^2-x-\frac{3}{2} \\ & 0=x^2-2 x-3 \\ & 0=(x+1)(x-3) \;\;\rightarrow\;\; x \text {절편은 }-1,3\end{aligned}$

x=0을 대입하면

$y=-\frac{3}{2} \;\;\rightarrow\;\; y$절편은 $-\frac{3}{2}$

이제 그래프를 이쁘게 그려주기만 하면 됩니다.

문제2)

이차함수 $y=\frac{1}{2} x^2-2 x+\frac{1}{2}$ 의 그래프를 그리시오.

풀이)

완전제곱식으로 바꾸면

$\begin{aligned} y & =\frac{1}{2} x^2-2 x+\frac{1}{2} \\ & =\frac{1}{2}\left(x^2-4 x+4-4\right)+\frac{1}{2} \\ & =\frac{1}{2}(x-2)^2-\frac{3}{2} \;\;\rightarrow\;\; \text {꼭지점의 좌표는 }\left(2,-\frac{3}{2}\right)\end{aligned}$

y=0을 대입하면

$\begin{aligned} & 0=\frac{1}{2} x^2-2 x+\frac{1}{2} \\ & 0=x^2-4 x+1 \\ & x=2 \pm \sqrt{3} \;\;\rightarrow\;\; x \text {절편은 } \;2+\sqrt{3}, \;\;2-\sqrt{3}\end{aligned}$

x=0을 대입하면

$y=\frac{1}{2} \;\;\rightarrow\;\; y$절편은 $\frac{1}{2}$

이제 그래프를 이쁘게 그려주기만 하면 됩니다.

문제3)

아래 이차함수 그래프의 식을 구하시오.

풀이1)

x절편이 -2와 1이므로

$y=a(x+2)(x-1)$

y절편이 $-\frac{1}{2}$이므로 $\left(0,-\frac{1}{2}\right)$을 대입하면

$-\frac{1}{2}=a(0+2)(0-1) \;\;\rightarrow\;\; a=\frac{1}{4}$

$y=\frac{1}{4}(x+2)(x-1)=\frac{1}{4} x^2+\frac{1}{4} x-\frac{1}{2}$

풀이2)

-2와 1을 이차방정식의 두 근으로 생각하면

두 근의 합 -1, 두 근의 곱 -2 → $y=a\left(x^2+x-2\right)$

y절편이 $-\frac{1}{2}$이므로 $\left(0,-\frac{1}{2}\right)$을 대입하면

$-\frac{1}{2}=a(0+0-2) \rightarrow a=\frac{1}{4}$

$y=\frac{1}{4}\left(x^2+x-2\right)=\frac{1}{4} x^2+\frac{1}{4} x-\frac{1}{2}$

문제4)

아래 이차함수 그래프의 식을 구하시오.

풀이1)

x절편이 (-3-√5)와 (-3+√5)이므로

$y=a(x+3+\sqrt{5})(x+3-\sqrt{5})$

y절편이 2이므로 (0, 2)를 대입하면

$2=a(0+3+\sqrt{5})(0+3-\sqrt{5}) \;\;\rightarrow\;\; a=\frac{1}{2}$

$y=\frac{1}{2}(x+3+\sqrt{5})(x+3-\sqrt{5})=\frac{1}{2} x^2+3 x+2$

풀이2)

(-3-√5)와 (-3+√5)을 이차방정식의 두 근으로 생각하면

두 근의 합 -6, 두 근의 곱 4 → $y=a\left(x^2+6 x+4\right)$

y절편이 2이므로 (0, 2)를 대입하면

$2=a(0+0+4) \;\;\rightarrow\;\; a=\frac{1}{2}$

$y=\frac{1}{2}\left(x^2+6 x+4\right)=\frac{1}{2} x^2+3 x+2$

문제5)

아래 이차함수 그래프의 식을 구하시오.

풀이)

꼭지점의 좌표가 (3, -1)이므로

$y=a(x-3)^2-1$

y절편이 2이므로 (0, 2)를 대입하면

$2=a(0-3)^2-1 \;\;\rightarrow\;\; a=\frac{1}{3}$

$y=\frac{1}{3}(x-3)^2-1=\frac{1}{3} x^2-2 x+2$

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함수 (11)

실버스톤c — Thu, 23 Apr 2026 01:54:01 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

문제1)

최고차항의 계수가 1이고

f(2)=5, f'(2)=6, f''(2)=10을 만족하는

삼차함수 f(x)를 구하시오.

풀이1)

f(x)=x³+ax²+bx+c로 놓고

하나씩 대입해서 풀면 됩니다.

f(2)=8+4a+2b+c=5

f'(x)=3x²+2ax+b

f'(2)=12+4a+b=6

f''(x)=6x+2a

f''(2)=12+2a=10

위의 세 식을 연립해서 풀면

a=-1, b=-2, c=5

따라서

f(x)=x³-x²-2x+5

풀이2) (학원풀이)

f(2)=5를 이용해서 식을 이케 놓고 시작합니다.

f(x)=(x-2)³+a(x-2)²+b(x-2)+5

그 다음에 미분하고

f'(x)=3(x-2)²+2a(x-2)+b

x=2를 대입하면

f'(2)=b

b만 살아남습니다.

∴ b=6

다시 미분하고

f''(x)=6(x-2)+2a

x=2를 대입하면

f''(2)=2a

2a만 살아남습니다.

∴ a=5

f(x)=(x-2)³+5(x-2)²+6(x-2)+5

=(x³-6x²+12x-8)+5(x²-4x+4)+6(x-2)+5

=x³-x²-2x+5

몇 번 풀면서 감잡으면 암산도 가능..!! ;;

문제2)

최고차항의 계수가 1이고

f(1)=-1, f'(1)=-1, f''(1)=0을 만족하는

삼차함수 f(x)를 구하시오.

(2025 수능 미적분 27번 풀이 중간에 등장)

풀이1)

f(x)=x³+ax²+bx+c로 놓고

하나씩 대입해서 풀면 됩니다.

f(1)=1+a+b+c=-1

f'(x)=3x²+2ax+b

f'(1)=3+2a+b=-1

f''(x)=6x+2a

f''(1)=6+2a=0

위의 세 식을 연립해서 풀면

a=-3, b=2, c=-1

따라서

f(x)=x³-3x²+2x-1

풀이2) (학원풀이)

f(1)=-1을 이용해서 식을 이케 놓고 시작합니다.

f(x)=(x-1)³+a(x-1)²+b(x-1)-1

그 다음에 미분하고

f'(x)=3(x-1)²+2a(x-1)+b

x=1을 대입하면

f'(1)=b

b만 살아남습니다.

∴ b=-1

다시 미분하고

f''(x)=6(x-1)+2a

x=1을 대입하면

f''(1)=2a

2a만 살아남습니다.

∴ a=0

암산 가능..?! ;;

f(x)=(x-1)³-(x-1)-1

=(x³-3x²+3x-1)-(x-1)-1

=x³-3x²+2x-1

저는 머리 아프게 암산 안 하고

걍 풀이1로 풀어요. ^^;;

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함수 (10)

실버스톤c — Thu, 23 Apr 2026 01:05:33 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

문제1)

방정식 f(f(x))=f(x) 의 서로 다른 실근의 개수는?

풀이)

f(f(0))=f(0)

f(f(a))=f(b)=f(a)

f(f(b))=f(b)

f(f(c))=f(b)=f(c)

f(f(d))=f(d)

서로 다른 실근의 개수는 5개

문제2)

방정식 f(f(x))=f(x) 의 서로 다른 실근의 개수는?

풀이)는 없고 ;;

서로 다른 실근의 개수는 2+4+4+3=13개

문제3)

실수 전체의 집합에서 정의된 함수

$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}3 x+6 & (x \leq 0) \\ -2 x+6 & (0<x \leq 3) \\ \frac{3}{2} x-\frac{9}{2} & (x>3)\end{array}\right.$

에 대하여 f(f(x))=f(x)를 만족시키는

모든 실수 x의 값을 구하시오.

풀이)

$\begin{aligned} & 3 x+6=x \;\;\rightarrow\;\; x=-3 \\ & 3 x+6=2 \;\;\rightarrow\;\; x=-\frac{4}{3} \\ & -2 x+6=x \;\;\rightarrow\;\; x=2 \\ & \frac{3}{2} x-\frac{9}{2}=2 \;\;\rightarrow\;\; x=\frac{13}{3} \\ & \frac{3}{2} x-\frac{9}{2}=x \;\;\rightarrow\;\; x=9\end{aligned}$

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함수 (9)

실버스톤c — Thu, 23 Apr 2026 00:30:56 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

x²의 계수가 a인 이차식 f(x)에 대하여

f(α)=0, f(β)=0 이면 → f(x)=a(x-α)(x-β)

f(α)=5, f(β)=5 이면 → f(x)=a(x-α)(x-β)+5

f(α)=α, f(β)=β 이면 → f(x)=a(x-α)(x-β)+x

f(α)=2α, f(β)=2β 이면 → f(x)=a(x-α)(x-β)+2x

f(α)=β, f(β)=α 이면 → f(x)=a(x-α)(x-β)-x+α+β

예)

f(2)=0, f(3)=0 이면 → f(x)=a(x-2)(x-3)

f(2)=5, f(3)=5 이면 → f(x)=a(x-2)(x-3)+5

f(2)=2, f(3)=3 이면 → f(x)=a(x-2)(x-3)+x

f(2)=4, f(3)=6 이면 → f(x)=a(x-2)(x-3)+2x

f(2)=3, f(3)=2 이면 → f(x)=a(x-2)(x-3)-x+5

$f(\alpha)=\frac{\alpha}{\alpha+1}, \;\; f(\beta)=\frac{\beta}{\beta+1}, \;\; f(\gamma)=\frac{\gamma}{\gamma+1}$ 이면

$(x+1) f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)+x$

그리고

x=-1을 대입해서 a의 값을 구합니다.

예)

$f(2)=\frac{2}{3}, \;\; f(3)=\frac{3}{4}, \;\; f(4)=\frac{4}{5}$ 이면

$(x+1) f(x)=a(x-2)(x-3)(x-4)+x$

x=-1을 대입하면

$\begin{aligned} & 0=a(-1-2)(-1-3)(-1-4)-1 \\ & a=-\frac{1}{60}\end{aligned}$

따라서

$(x+1) f(x)=-\frac{1}{60}(x-2)(x-3)(x-4)+x$

x³의 계수가 a인 삼차식 f(x)에 대하여

f(α)=0, f(β)=0, f(γ)=0 이면 → f(x)=a(x-α)(x-β)(x-γ)

f(α)=5, f(β)=5, f(γ)=5 이면 → f(x)=a(x-α)(x-β)(x-γ)+5

f(α)=α, f(β)=β, f(γ)=γ 이면 → f(x)=a(x-α)(x-β)(x-γ)+x

f(α)=2α, f(β)=2β, f(γ)=2γ 이면 → f(x)=a(x-α)(x-β)(x-γ)+2x

f(α)=α², f(β)=β², f(γ)=γ² 이면 → f(x)=a(x-α)(x-β)(x-γ)+x²

예)

f(2)=0, f(3)=0, f(4)=0 이면 → f(x)=a(x-2)(x-3)(x-4)

f(2)=5, f(3)=5, f(4)=5 이면 → f(x)=a(x-2)(x-3)(x-4)+5

f(2)=2, f(3)=3, f(4)=4 이면 → f(x)=a(x-2)(x-3)(x-4)+x

f(2)=4, f(3)=6, f(4)=8 이면 → f(x)=a(x-2)(x-3)(x-4)+2x

f(2)=4, f(3)=9, f(4)=16 이면 → f(x)=a(x-2)(x-3)(x-4)+x²

$f(\alpha)=\frac{\alpha+2}{\alpha}, \;\;f(\beta)=\frac{\beta+2}{\beta}, \;\;f(\gamma)=\frac{\gamma+2}{\gamma}, \;\;f(\delta)=\frac{\delta+2}{\delta}$ 이면

$x f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)+x+2$

그리고

x=0을 대입해서 a의 값을 구합니다.

예)

$f(2)=2, \;\;f(3)=\frac{5}{3}, \;\;f(4)=\frac{3}{2}, \;\;f(5)=\frac{7}{5}$ 이면

$f(2)=\frac{4}{2}, \;\;f(3)=\frac{5}{3}, \;\;f(4)=\frac{6}{4}, \;\;f(5)=\frac{7}{5}$ 이므로

$x f(x)=a(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+x+2$

x=0을 대입하면

$\begin{aligned} & 0=a(0-2)(0-3)(0-4)(0-5)+0+2 \\ & a=-\frac{1}{60}\end{aligned}$

따라서

$x f(x)=-\frac{1}{60}(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+x+2$

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함수 (8)

실버스톤c — Wed, 22 Apr 2026 01:39:20 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

$y=f(x)$ 의 그래프를

x축의 방향으로 2배 확대하면 → $y=f\left(\frac{x}{2}\right)$

x축의 방향으로 3배 확대하면 → $y=f\left(\frac{x}{3}\right)$

$y=f(x)$ 의 그래프를

x축의 방향으로 k만큼 평행이동하면 → $y=f(x-k)$

x축의 방향으로 k만큼 평행이동하고

x축의 방향으로 2배 확대하면 → $y=f\left(\frac{x-k}{2}\right)$

x축의 방향으로 3배 확대하면 → $y=f\left(\frac{x-k}{3}\right)$

$y=f(x)$ 의 그래프를

y축에 대하여 대칭이동하면 → $y=f(-x)$

y축에 대하여 대칭이동하고

x축의 방향으로 2배 확대하면 → $y=f\left(-\frac{x}{2}\right)$

x축의 방향으로 3배 확대하면 → $y=f\left(-\frac{x}{3}\right)$

$y=f(x)$ 의 그래프를

y축에 대하여 대칭이동하면 → $y=f(-x)$

y축에 대하여 대칭이동하고

x축의 방향으로 k만큼 평행이동하면 → $f(-(x-k))$

y축에 대하여 대칭이동하고

x축의 방향으로 k만큼 평행이동하고

x축의 방향으로 2배 확대하면 → $y=f\left(-\frac{x-k}{2}\right)$

x축의 방향으로 3배 확대하면 → $y=f\left(-\frac{x-k}{3}\right)$

$y=\sin x$ 의 그래프를

x축의 방향으로 2배 확대하면 → $y=\sin \frac{x}{2}$

x축의 방향으로 2배 축소하면 → $y=\sin 2x$

$y=\cos x$ 의 그래프를

x축의 방향으로 2배 확대하면 → $y=\cos \frac{x}{2}$

x축의 방향으로 2배 축소하면 → $y=\cos 2x$

$y=\tan x$ 의 그래프를

x축의 방향으로 2배 확대하면 → $y=\tan \frac{x}{2}$

x축의 방향으로 2배 축소하면 → $y=\tan 2x$

'삼각함수 그래프 (1)'을 참고해 주세요!

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함수 (7)

실버스톤c — Wed, 22 Apr 2026 00:14:43 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

유형1)

$f(a-x)=f(a+x)$

함수 f(x)는

직선 x=a에 대칭이라는 의미입니다.

a=0을 대입하면 → f(-x)=f(x)

직선 x=0에 대칭(y축 대칭)이고, 우함수가 됩니다.

유형2)

$f(a-x)=-f(a+x)$

함수 f(x)는

점 (a, 0)에 대칭이라는 의미입니다.

a=0을 대입하면 → f(-x)=-f(x)

점 (0, 0)에 대칭(원점 대칭)이고, 기함수가 됩니다.

유형3)

$f(a-x)=-f(a+x)+2 b$

함수 f(x)는

점 (a, b)에 대칭이라는 의미입니다.

a=0을 대입하면 → f(-x)=-f(x)+2b

점 (0, b)에 대칭이고

b=0을 대입하면 → f(a-x)=-f(a+x)

점 (a, 0)에 대칭이고 (유형2)

a=0, b=0을 대입하면 → f(-x)=-f(x)

점 (0, 0)에 대칭(원점 대칭)이고, 기함수가 됩니다.

유형4)

$f(a-x)=f(b+x)$

함수 f(x)는

직선 x=(a+b)/2 에 대칭이라는 의미입니다.

b=a를 대입하면 → f(a-x)=f(a+x)

x=(a+a)/2=a에 대칭이 됩니다. (유형1)

PS1.

비슷하게 생긴 함수가 있습니다.

$f(x-a)=f(x+a)$

이 함수는 대칭과는 관계가 없고

주기가 2a인 함수입니다.

x-a=t 로 치환하고

x=t+a

f(x-a)=f(x+a) 에 대입하면

f(t)=f((t+a)+a) → f(t)=f(t+2a)

주기함수의 일반적인(?) 형태로 나옵니다.

f(x+2a)=f(x)

PS2.

우함수와 기함수는 '함수 (6)'을 참고해 주세요~

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함수 (5)

실버스톤c — Tue, 21 Apr 2026 20:41:56 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

이차함수 y=ax²+bx+c는

정의역과 공역이 실수 전체인 집합에서는

일대일대응은 커녕 일대일함수도 될 수 없습니다.

여기서는 정의역과 공역이 실수 전체의 집합이 아닌 범위가 주어질 때

이차함수가 일대일대응이 되기 위한 조건을 알아보겠습니다.

이차함수는 정의역이

꼭지점의 x좌표를 기준으로 양쪽 범위(큰 쪽과 작은 쪽)를 모두 포함하고 있으면

일대일대응이 될 수 없기 때문에

예) y=(x-3)²+1에서 정의역이 X={xlx≤4} 이거나 X={xlx≥2}

예) y=(x-3)²+1에서 정의역이 X={xl1≤x≤4} 이거나 X={xl2≤x≤5}

이차함수가 일대일대응이 되려면 일단 정의역은

꼭지점의 x좌표를 기준으로 한쪽 범위(큰 쪽이나 작은 쪽)만 포함하고 있어야 합니다.

예) y=(x-3)²+1에서 정의역이 X={xlx≤3} 이거나 X={xlx≥3}

예) y=(x-3)²+1에서 정의역이 X={xlx≤2} 이거나 X={xlx≥4}

예) y=(x-3)²+1에서 정의역이 X={xl1≤x≤3} 이거나 X={xl3≤x≤5}

예) y=(x-3)²+1에서 정의역이 X={xl1≤x≤2} 이거나 X={xl4≤x≤5}

이제 정의역은 됐고

공역을 한 번 생각해 보겠습니다.

두 집합 X={xlx≥3}, Y={yly는 모든 실수}에 대하여

X에서 Y로의 함수 f(x)=(x-3)²+1은 이런 상황입니다.

공역과 치역이 다르기 때문에

일대일함수이지만 일대일대응은 아닙니다.

(이 말이 이해가 안 되면 '함수 (1)'을 한 번 읽고 오세요~)

그럼 이 함수가 일대일대응이 되려면

공역을 어케 주어야 할까요?

당근 공역을 Y={yly≥1}

이케만 주면 이 함수는 일대일대응이 됩니다.

문제1)

두 집합 X={xlx≥3}, Y={yly≥a}에 대하여

X에서 Y로의 함수 f(x)=(x-3)²+1이 일대일대응일 때

a의 값을 구하시오.

풀이)

f(3)=1이므로 a=1

사실 풀이가 거의(?) 필요없죠..?!

문제2)

두 집합 X={xlx≥a}, Y={yly≥1}에 대하여

X에서 Y로의 함수 f(x)=(x-3)²+1이 일대일대응일 때

a의 값을 구하시오.

풀이)

f(3)=1이므로 a=3

역시 풀이가 거의 필요없습니다.

문제3)

두 집합 X={xlx≥3}, Y={yly≥1}에 대하여

X에서 Y로의 함수 f(x)=(x-3)²+a이 일대일대응일 때

a의 값을 구하시오.

풀이)

f(3)=1이 되어야 하므로 a=1

문제4)

두 집합 X={xlx≥4}, Y={yly≥a}에 대하여

X에서 Y로의 함수 f(x)=(x-3)²+1이 일대일대응일 때

a의 값을 구하시오.

풀이)

f(4)=2이므로 a=2

문제5)

두 집합 X={xlx≥a}, Y={yly≥2}에 대하여

X에서 Y로의 함수 f(x)=(x-3)²+1이 일대일대응일 때

a의 값을 구하시오.

풀이)

f(4)=2이므로 a=4

문제6)

두 집합 X={xlx≥a}, Y={yly≥a}에 대하여

X에서 Y로의 함수 f(x)=(x-3)²+1이 일대일대응일 때

a의 값을 구하시오.

풀이)

f(a)=a 를 만족하는 a의 값을 구해보면

(a-3)²+1=a → a²-7a+10=0 → a=2 또는 a=5

a>3이여야 하므로 a=5

문제7)

두 집합 X={xlx≤3}, Y={yly≥a}에 대하여

X에서 Y로의 함수 f(x)=(x-3)²+1이 일대일대응일 때

a의 값을 구하시오.

풀이)

f(3)=1이므로 a=1

문제8)

두 집합 X={xlx≤a}, Y={yly≥1}에 대하여

X에서 Y로의 함수 f(x)=(x-3)²+1이 일대일대응일 때

a의 값을 구하시오.

풀이)

f(3)=1이므로 a=3

문제9)

두 집합 X={xlx≤3}, Y={yly≥1}에 대하여

X에서 Y로의 함수 f(x)=(x-3)²+a이 일대일대응일 때

a의 값을 구하시오.

풀이)

f(3)=1이 되어야 하므로 a=1

문제10)

두 집합 X={xlx≤1}, Y={yly≥a}에 대하여

X에서 Y로의 함수 f(x)=(x-3)²+1이 일대일대응일 때

a의 값을 구하시오.

풀이)

f(1)=5이므로 a=5

문제11)

두 집합 X={xlx≤a}, Y={yly≥5}에 대하여

X에서 Y로의 함수 f(x)=(x-3)²+1이 일대일대응일 때

a의 값을 구하시오.

풀이)

f(1)=5이므로 a=1

문제12)

두 집합 X={xlx≤a}, Y={yly≥a}에 대하여

X에서 Y로의 함수 f(x)=(x-3)²+1이 일대일대응일 때

a의 값을 구하시오.

풀이)

f(a)=a를 만족하는 a의 값을 구해보면

(a-3)²+1=a → a²-7a+10=0 → a=2 또는 a=5

a<3이여야 하므로 a=2

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함수 (4)

실버스톤c — Tue, 21 Apr 2026 20:01:21 +0900

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

시작하기 전에 잠깐 확인하고 갈께요~

아래 그래프들 중에 일대일대응이 보이죠..?!

①, ②는 그냥 이름없는 함수

③이 일대일대응 (물론 일대일함수도 되구요.)

④는 일대일함수

잘 안 보이면 '함수 (2)'를 한 번 읽고 오세요~

실수 전체의 집합에서 정의된 함수

$f(x)= \begin{cases}a x+b & (x \geq p) \\ c x+d & (x<p)\end{cases}$

가 일대일대응이 되는 경우는

딱 2가지 밖에 없습니다.

기울기가 모두 양수이고 → a>0, c>0

x=p에서 함수값이 같거나 → ap+b=cp+d

기울기가 모두 음수이고 → a<0, c<0

x=p에서 함수값이 같거나 → ap+b=cp+d

2가지 경우를 하나로 써보면

기울기를 곱하면 0보다 크고 → ac>0

x=p에서 함수값이 같다. → ap+b=cp+d

문제1)

실수 전체의 집합에서 정의된 함수

$f(x)= \begin{cases}2 x+a & (x \geq 3) \\ x+4 & (x<3)\end{cases}$

가 일대일대응일 때, a의 값은?

풀이)

기울기가 모두 양수네요.

그럼 x=3에서 함수값만 같으면 됩니다.

6+a=3+4 → a=1

문제2)

실수 전체의 집합에서 정의된 함수

$f(x)= \begin{cases}(a+1) x+3 & (x \geq 0) \\ (a-2) x+3 & (x<0)\end{cases}$

가 일대일대응일 때, a의 값의 범위는?

풀이)

x=0에서 함수값이 같네요. (3=3)

그럼 기울기의 곱이 0보다 크기만 하면 됩니다.

(a+1)(a-2)>0 → a<-1 또는 a>2

함수가 실수 전체의 집합에서 정의되면 (정의역이 실수 전체의 집합)

이렇게 간단하게(?) 문제를 풀 수 있지만

정의역과 공역이 제한되면 머리가 살짝 아픕니다.

아래와 같이 정의된 함수

$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}a x+b & (p \leq x<q) \\ c x+d & (q \leq x \leq r)\end{array}\right.$

가 일대일대응이 되는 경우는 무려 8가지나 있고

각각의 경우를 그려보면 이렇습니다.

기울기가 서로 같아도 되고, 달라도 되고

x=q에서 함수값도 서로 같아도 되고, 달라도 되고 ㅠ

각각의 문제에 맞게 잘 풀어야 합니다.

문제3)

두 집합 X={xl1≤x≤4}, Y={yl1≤y≤5}에 대하여 X에서 Y로의 함수

$f(x)= \begin{cases}2 x-1 & (1 \leq x<2) \\ a x+b & (2 \leq x \leq 4)\end{cases}$

가 일대일대응일 때, a와 b의 값은? (단, a>0)

풀이)

이런 상황입니다.

따라서

f(2)=2a+b=3

f(4)=4a+b=5

∴ a=1, b=1

문제4)

두 집합 X={xl1≤x≤4}, Y={yl1≤y≤5}에 대하여 X에서 Y로의 함수

$f(x)= \begin{cases}2 x-1 & (1 \leq x<2) \\ a x+b & (2 \leq x \leq 4)\end{cases}$

가 일대일대응일 때, a와 b의 값은? (단, a<0)

풀이)

이런 상황입니다.

따라서

f(2)=2a+b=5

f(4)=4a+b=3

∴ a=-1, b=7

문제5)

두 집합 X={xl1≤x≤4}, Y={yl1≤y≤5}에 대하여 X에서 Y로의 함수

$f(x)= \begin{cases}-2 x+7 & (1 \leq x<2) \\ a x+b & (2 \leq x \leq 4)\end{cases}$

가 일대일대응일 때, a와 b의 값은? (단, a>0)

풀이)

이런 상황입니다.

따라서

f(2)=2a+b=1

f(4)=4a+b=3

∴ a=1, b=-1

문제6)

두 집합 X={xl1≤x≤4}, Y={yl1≤y≤5}에 대하여 X에서 Y로의 함수

$f(x)= \begin{cases}-2 x+7 & (1 \leq x<2) \\ a x+b & (2 \leq x \leq 4)\end{cases}$

가 일대일대응일 때, a와 b의 값은? (단, a<0)

풀이)

이런 상황입니다.

따라서

f(2)=2a+b=3

f(4)=4a+b=1

∴ a=-1, b=5

더 안 해도 되죠..?! ^-^// ;;

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