조합과 순열 (5)
문제1)
방정식 x+y+z=8 을 만족시키는
음이 아닌 정수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는?
예를 들어
x=2, y=1, z=5 라고 하면 xxyzzzzz
x=3, y=5, z=0 라고 하면 xxxyyyyy
x=0, y=0, z=8 라고 하면 zzzzzzzz
이런 식으로 생각하면
세 개의 문자 x, y, z 에서
중복을 허락하여 8개를 뽑는 경우의 수가 됩니다..!!
따라서, 답은
이해되죠..?!
문제2)
방정식 x+y+z=8 을 만족시키는
자연수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는?
x, y, z 가
자연수라고 했으니까
X=x-1, Y=y-1, Z=z-1 로 놓으면
X, Y, Z 는
음이 아닌 정수가 되고
이걸 주어진 식에 대입하면
(X+1)+(Y+1)+(Z+1)=8
X+Y+Z=5
따라서
문제가 이렇게 바뀝니다.
방정식 X+Y+Z=5 를 만족시키는
음이 아닌 정수 X, Y, Z의 순서쌍 (X, Y, Z)의 개수는?
문제1과 똑같습니다..!!
그럼... 뭐... 답은
감이 잡히는 거죠..?!
문제3)
방정식 x+y+z=13 을 만족시키는
x≥2, y≥2, z≥2 인 정수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는?
x, y, z 가
x≥2, y≥2, z≥2 인 정수라고 했으니까
X=x-2, Y=y-2, Z=z-2 로 놓으면
X, Y, Z 는
음이 아닌 정수가 되고
이걸 주어진 식에 대입하면
(X+2)+(Y+2)+(Z+2)=13
X+Y+Z=7
따라서
문제가 이렇게 바뀝니다.
방정식 X+Y+Z=7 을 만족시키는
음이 아닌 정수 X, Y, Z의 순서쌍 (X, Y, Z)의 개수는?
역시 문제1과 똑같고..!!
답은
똑같은(?) 문제 몇 개 더 풀어볼께요~
대신 풀이는 약식으로... ;;;;;
문제4)
방정식 x+y+z=13 을 만족시키는
x≥2, y≥3, z≥4 인 정수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는?
X=x-2, Y=y-3, Z=z-4 로 놓으면
X, Y, Z 는
음이 아닌 정수가 되고
이걸 주어진 식에 대입하면
(X+2)+(Y+3)+(Z+4)=13
X+Y+Z=4
따라서, 답은
문제5)
방정식 x+y+z=13 을 만족시키는
홀수인 자연수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는?
홀수에서 1을 빼주고 2로 나눠주면
음이 아닌 정수가 됩니다.
1 → (1-1)/2=0
3 → (3-1)/2=1
5 → (5-1)/2=2
7 → (7-1)/2=3
9 → (9-1)/2=4
그럼
X=(x-1)/2, Y=(y-1)/2, Z=(z-1)/2 로 놓으면
X, Y, Z 는
음이 아닌 정수가 되고
이걸 주어진 식에 대입하면
(2X+1)+(2Y+1)+(2Z+1)=13
X+Y+Z=5
따라서, 답은
문제6)
방정식 x+y+z=18 을 만족시키는
2이상의 짝수인 자연수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는?
짝수에서 2를 빼주고 2로 나눠주면
음이 아닌 정수가 됩니다.
2 → (2-2)/2=0
4 → (4-2)/2=1
6 → (6-2)/2=2
8 → (8-2)/2=3
그럼
X=(x-2)/2, Y=(y-2)/2, Z=(z-2)/2 로 놓으면
X, Y, Z 는
음이 아닌 정수가 되고
이걸 주어진 식에 대입하면
(2X+2)+(2Y+2)+(2Z+2)=18
X+Y+Z=6
따라서, 답은
문제7)
부등식 x+y+z≤3 을 만족시키는
음이 아닌 정수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는?
문제8)
방정식 a+b+c+d=10 을 만족시키는
음이 아닌 정수 a, b, c, d의 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는?
문제9)
방정식 a+b+c+d+e=10 을 만족시키는
음이 아닌 정수 a, b, c, d, e의 순서쌍 (a, b, c, d, e)의 개수는?
이렇게까지 했는데
다른 유형의 문제가 더 있을지 모르겠네요... ^-^//
요기로 가면 → www.gajok.co.kr/math.html
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