항등식 (1)

ax+b=3 이 방정식이

 

x의 값에 관계없이 무조건 성립하려면

x에 어떤 값을 대입해도 무조건 성립하려면

x=1을 대입하든, x=10을 대입하든, x=100을 대입하든 무조건 성립하려면

a와 b의 값은 어케 돼야 할까요?

 

a=0 이면 → x에 어떤 값이 와도 0·x=0 입니다.

x의 값이 아무런 의미가 없어지는 거죠.

그리고 b=3

 

a=0, b=3 이면 → 0·x+3=3

이 방정식에서 x는 슬프지만 무의미한 존재가 되어 버립니다.

 

위에서 'x의 값에 관계없이 성립한다.'라고 했는데

수학에서는 똑같은 의미의 표현들이 몇 개 존재합니다.

 

x의 값에 관계없이 성립한다.

= 모든 실수 x에 대하여 성립한다.

= 임의의 실수 x에 대하여 성립한다.

= x에 대한 항등식이다.

 

 

 

문제1)

ax+b=3

이 x에 대한 항등식이 되도록 하는 a, b의 값은?

 

풀이는 없고 ;;

답은 a=0, b=3

 

 

 

문제2)

(a-2)x+b+3=0

이 x에 대한 항등식이 되도록 하는 a, b의 값은?

 

풀이는 없고 ;;

답은 a=2, b=-3

 

 

 

문제3)

ak+b=3

이 k에 대한 항등식이 되도록 하는 a, b의 값은?

 

풀이는 없고 ;;

답은 a=0, b=3

 

 

 

문제4)

(a-2)k+b+3=0

이 k에 대한 항등식이 되도록 하는 a, b의 값은?

 

풀이는 없고 ;;

답은 a=2, b=-3

 

 

 

문제5)

x³+kx²+(k+2a)x+(k-3)a+b+2=0

이 k의 값에 관계없이 항상 1을 근으로 가질 때

a, b의 값은?

 

풀이)

어려워 보이나요..?! 간단합니다. 일단

1을 근으로 가지므로 대입하면 성립하고

1+k+(k+2a)+(k-3)a+b+2=0

 

이 등식이 성립하긴 성립하는데

k의 값에 관계없이 성립한다..?

k에 대한 항등식이란 의미입니다.

 

식을 k에 대해서 정리하면

(a+2)k-a+b+3=0

a+2=0 → a=-2

-a+b+3=0 → b=-5

 

 

 

문제6)

x에 대한 이차방정식 x²+2(k-m)x+k²-4k+n=0

이 k의 값에 관계없이 항상 중근을 가질 때

m, n의 값은?

 

풀이)

중근을 가지므로

D/4=(k-m)²-( k²-4k+n)=0

 

이 등식이 성립하긴 성립하는데

k의 값에 관계없이 성립한다..?

k에 대한 항등식이란 의미입니다.

 

식을 k에 대해서 정리하면

(4-2m)k+m²-n=0

4-2m=0 → m=2

m²-n=0 → n=4

 

 

 

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