연립방정식 (1)
중학교 때 배운 연립방정식은
미지수가 2개인 연립일차방정식 (예전에는 '이원일차연립방정식'이라고 부른 듯요.)
x+2y=1
3x-y=5
가감법이든 대입법이든
뭐... 걍 풀면 됩니다.
고등학교 때 새롭게 등장하는 연립방정식은
미지수가 3개인 연립일차방정식 (예전에는 '삼원일차연립방정식'이라고 부른 듯요.)
x+y-z=2
2x-y+3z=11
x+2y+z=7
이 연립방정식을 많이 학생들이 정해진 규칙없이
이렇게 저렇게 돌려막기(?)하면서 문제를 푸는 게 문제라면 문제랄까요
물론 이케저케 더하기 빼기 하다보면 답은 나옵니다.
그래도 제대로 된 풀이로 풀어야겠죠..?!
뭐... 간단합니다.
일단 3개의 방정식을 두 개씩 묶습니다. (3가지 방법이 있죠.)
x+y-z=2
2x-y+3z=11
2x-y+3z=11
x+2y+z=7
x+y-z=2
x+2y+z=7
이 중 맘에 드는 걸로 2개를 선택합니다.
x+y-z=2
2x-y+3z=11
2x-y+3z=11
x+2y+z=7
여기서 규칙이 들어갑니다.
첫 번째 연립방정식에서 x를 없앴으면, 두 번째 연립방정식에서도 x를 없애주고
첫 번째 연립방정식에서 y를 없앴으면, 두 번째 연립방정식에서도 y를 없애주고
첫 번째 연립방정식에서 z를 없앴으면, 두 번째 연립방정식에서도 z를 없애주라는 것입니다.
무슨 말이고 하면...
먼저
x를 없애고 풀어볼깨요~
첫 번째 연립방정식에 x를 없애고
2x+2y-2z=4
2x-y+3z=11
3y-5z=-7
두 번째 연립방정식에서도 x를 없애주면
2x-y+3z=11
2x+4y+2z=14
5y-z=3
y, z에 관한 방정식이 2개 나옵니다.
3y-5z=-7
5y-z=3
이 연립방정식을 풀면
y=1, z=2
이 걸 처음에 등장한 방정식 3개 중
x+y-z=2
2x-y+3z=11
x+2y+z=7
아무데나 대입해서 x의 값을 구하면
x=3
뭐... 처음에 말했듯이 아주 간단합니다. ;;
이번에는
y를 없애고 풀어볼까요
첫 번째 연립방정식에서 y를 없애고
x+y-z=2
2x-y+3z=11
3x+2z=13
두 번째 연립방정식에서도 y를 없애주면
4x-2y+6z=22
x+2y+z=7
5x+7z=29
x, z에 관한 방정식이 2개 나옵니다.
3x+2z=13
5x+7z=29
이 연립방정식을 풀면
x=3, z=2
이 걸 처음에 등장한 방정식 3개 중
x+y-z=2
2x-y+3z=11
x+2y+z=7
아무데나 대입해서 y의 값을 구하면
y=1
x를 없애고 구한 것과
답이 똑같습니다. 당근
마지막으로
z를 없애고도 풀어보면
첫 번째 연립방정식에서 z를 없애고
3x+3y-3z=6
2x-y+3z=11
5x+2y=17
두 번째 연립방정식에서도 z를 없애주면
2x-y+3z=11
3x+6y+3z=21
x+7y=10
x, y에 관한 방정식이 2개 나옵니다.
5x+2y=17
x+7y=10
이 연립방정식을 풀면
x=3, y=1
이 걸 처음에 등장한 방정식 3개 중
x+y-z=2
2x-y+3z=11
x+2y+z=7
아무데나 대입해서 z의 값을 구하면
z=2
x를 없애고 구한 것, y를 없애고 구한 것과
답이 똑같습니다. 당근2
우리가 해야 할 건
2개씩 묶인 3개의 연립방정식 중
어떤 2개를 선택하면 조금은 편할지
2개의 연립방정식을 선택했으면
x, y, z 중 어떤 놈을 없애는 게 조금은 편할지
이런 것만 잘 고민하면 됩니다.
사실 고민하고 말 것도 없습니다.
어떤 연립방정식을 선택하든
x, y, z 중 어떤 놈을 없애든
뭐... 다 고만고만하거든요. ;;
그런데
이런 연립방정식이면 말이 달라지죠.
x+2y=5
x-y+3z=2
2x+y-z=-1
고맙게도 첫 번째에
x, y에 대한 방정식이 이미 하나 나와 있습니다.
그럼 우리는 두 번째, 세 번째 방정식에서
z를 없애고
x, y에 대한 방정식을 하나 더 끄집어 내기만 하면 됩니다.
x-y+3z=2
6x+3y-3z=-3
7x+2y=-1
이제 x, y에 대한 두 방정식을
x+2y=5
7x+2y=-1
연립해서 풀면
x=-1, y=3
이 걸 처음에 등장한 방정식 2개 중
x-y+3z=2
2x+y-z=-1
아무데나 대입해서 z의 값을 구하면
z=2
뭐... 더 간단합니다.
이렇게
y, z에 대한 방정식이 하나 주어지면
y-z=-5
2x-y+3z=9
x-y-3z=-8
두 번째, 세 번째 방정식에서
x를 없애고
y, z에 대한 방정식을 하나 더 끄집어 내서
2x-y+3z=9
2x-2y-6z=-16
y+9z=25
연립해서 풀면 되고
y-z=-5
y+9z=25
이렇게
x, z에 대한 방정식이 하나 주어지면
2x+z=5
x-2y+3z=6
x-y-z=-4
두 번째, 세 번째 방정식에서
y을 없애고
x, z에 대한 방정식을 하나 더 끄집어 내서
x-2y+3z=6
2x-2y-2z=-8
x-5z=-14
연립해서 풀면 됩니다.
2x+z=5
x-5z=-14
똑같은 말을 세 번이나 했는데
무슨 말인지 이해되죠..?! ;;
자주 등장하는 미지수가 3개인 연립일차방정식
하나만 더 하고 끝낼께요~
x+y=5
y+z=8
z+x=7
① 첫 번째 방정식을 이용하려면
x+y=5
두 번째, 세 번째 방정식에서
z를 없애고
y+z=8
z+x=7
x-y=-1
연립해서 풀면 되고
x+y=5
x-y=-1
② 두 번째 방정식을 이용하려면
y+z=8
첫 번째, 세 번째 방정식에서
x를 없애고
x+y=5
z+x=7
y-z=-2
연립해서 풀면 되고
y+z=8
y-z=-2
③ 세 번째 방정식을 이용하려면
z+x=7
첫 번째, 두 번째 방정식에서
y를 없애고
x+y=5
y+z=8
x-z=-3
연립해서 풀면 되는데
z+x=7
x-z=-3
사실 이렇게 생긴 연립방정식을
이런 방식으로 풀어놓은 문제집은 본 적이 없다는... ㅠ
모든 문제집은 아래와 같이 풀어 놓았죠.
x+y=5
y+z=8
z+x=7
방정식 세 개를 한방에 다 더하면
2(x+y+z)=20
x+y+z=10
x+y=5 이므로 z=5
뭐... 나머지 x, y의 값은
y+z=8 이므로 y=3
z+x=7 이므로 x=2
많이 간단하기 하지만
이런 풀이는 주어진 방정식 세 개가 특별한 형태이기 때문에 가능한 것입니다.
숫자사 하나라도 바뀌면
이런 풀이는 통하지 않습니다.
x+2y=8
y+z=8
z+x=7
방정식 세 개를 한방에 다 더하면
2x+3y+2z=23
그 다음은..?! ㅠ
원칙대로(?) 풀어볼까요
첫 번째 방정식을 이용하면
x+2y=8
두 번째, 세 번째 방정식에서
z를 없애고
y+z=8
z+x=7
x-y=-1
두 방정식을 연립해서
x+2y=8
x-y=-1
풀면
x=2, y=3
z값은
처음에 주어진 나머지 두 방정식
y+z=8
z+x=7
아무데나 대입해도
z=5
연립방정식..!!
수학의 기본 중의 기본입니다.
너무 쉽다고... 너무 당연하다고
대충하지 마시고
하나하나 차근차근
기본을 잘 다져놓길 바랍니다.
탄탄한 기본은 언젠가는
힘차게 뛰어오를 튼튼한 발판이
푸른 하늘을 나는 힘찬 날개가 되어 줄 것입니다. ^-^//
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