이차방정식의 해 (4)

 

 

 

 

 

 

홀수차항 (1차항, 3차항)은 없고

짝수차항 (2차항, 4차항)과 상수항만 있는... 좀 특수한

사차방정식 한번 풀어볼께요

 

 

 

이렇게 풀면 되지만

설명을 위해 치환으로 한번 더 풀어보겠습니다.

 

 

 

여기서 하고 싶은 말은

 

 

 

반대로 얘기하면

 

 

 

이해되는 거죠..?! ;;;;;

문제 풀어볼께요~

 

 

 

세 문제 모두 바로 앞의 글 '이차방정식의 해 (3)'에서 푼 문제입니다.

그래도 다시 한번 풀어볼께요~

 

풀이도 2가지가 있었는데 (기억나죠..?!)

여기서는 두번째 풀이로

 

 

 

세 번째 경우(서로 다른 네 허근을 가지려면) 답이 추가되어야 할 것 같습니다.

 

t²+kt-k+3=0 이 서로 다른 두 음의 근을 가지면

x⁴+kx² -k+3=0 이 서로 다른 네 허근을 갖는 것은 맞는데

 

역으로

 

x⁴+kx² -k+3=0 이 서로 다른 네 허근을 가지는 경우는

 

t²+kt-k+3=0 이

 

i) 서로 다른 두 음의 근을 가지는 경우 뿐만 아니라

2<k<3 (위의 풀이에서 나온 답)

 

ii) 축<0, D<0 인 경우

-k/2<0  →  k>0

D<0  →  -6<k<2

∴ 0<k<2

 

iii) 축>0, D<0 인 경우가 있습니다.

-k/2>0  →  k<0

D<0  →  -6<k<2

∴ -6<k<0

 

따라서, 최종답은

2<k<3  또는  0<k<2  또는  -6<k<0  입니다.

 

 

 

일반화 시켜보면

 

ax⁴+bx²+c=0 이 허근 4개를 가지려면

at²+bt+c=0 은 두 근이 모두 음수이거나 D<0 이면 됩니다.

 

 

 

문제1)

방정식 x⁴+4x²+a+1=0 이 실근을 갖지 않도록

실수 a의 값의 범위를 구하면?

 

풀이)

f(t)=t²+4t+a+1 라 놓으면

f(t)가 두 음의 근을 가지거나 허근(D<0)을 가지면 됩니다.

 

축(꼭지점의 x좌표) -4/2=-2<0 이므로

f(0)>0 이것만 만족하면 됩니다.

f(0)=a+1>0  →  a>-1

 

 

 

 

 

 

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