이차방정식의 해 (3)

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

 

 

 

이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0\;\;(a>0)$ 에서

 

ⅰ) 두 근이 모두 p보다 크려면 ($f(x)=ax^{2}+bx+c$)

 

$\begin{aligned} & D \geq 0 \\ & -\frac{b}{2 a}>p \\ & f(p)>0\end{aligned}$

 

ⅱ) 두 근이 모두 p보다 작으려면

 

$\begin{aligned} & D \geq 0 \\ & -\frac{b}{2 a}<p \\ & f(p)>0\end{aligned}$

 

ⅲ) 두 근 사이에 p가 있으려면

 

$f(p)<0$

 

바로 앞의 글 '이차방정식의 해 (2)'의 내용입니다.

 

 

 

이번에는

 

두 근이 모두 0보다 큰 경우

두 근이 모두 0보다 작은 경우

두 근 사이에 0이 있는 경우

 

를 생각해 보겠습니다.

 

그럼 p만 0으로 바꾸면 되죠.. 뭐.. 요렇게

 

이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0\;\;(a>0)$ 에서

 

ⅰ) 두 근이 모두 0보다 크려면 ($f(x)=ax^{2}+bx+c$)

 

$\begin{aligned} & D \geq 0 \\ & -\frac{b}{2 a}>0 \\ & f(0)>0\end{aligned}$

 

ⅱ) 두 근이 모두 0보다 작으려면

 

$\begin{aligned} & D \geq 0 \\ & -\frac{b}{2 a}<0 \\ & f(0)>0\end{aligned}$

 

ⅲ) 두 근 사이에 0이 있으려면

 

$f(0)<0$

 

 

 

간단하게(?) 문제 한 번 풀어볼께요.

 

문제1)

$x^2-2 k x+4 k-3=0$ 의 두 근이 모두 0보다 크려면?

 

$\begin{aligned} \frac{D}{4} & =k^2-4 k+3 \\ & =(k-1)(k-3) \geq 0\end{aligned}$

$k\leq1$  또는  $k\geq3$

 

$ \begin{aligned} -\frac{b}{2 a}=-\frac{-2 k}{2 \cdot 1}=k>0 \end{aligned} $

 

$f(x)=x^2-2 k x+4 k-3$ 으로 놓으면

$ \begin{aligned} f(0)=4 k-3>0 \;\;\rightarrow \;\;k>\frac{3}{4} \end{aligned} $

 

따라서, 최종답은

 

$ \begin{aligned} \frac{3}{4}<k\leq1 \end{aligned} $  또는  $k\geq3$

 

 

 

문제2)

$x^2+k x-k+3=0$ 의 두 근이 모두 0보다 작으려면?

 

$\begin{aligned} D & =k^2+4 k-12 \\ & =(k+6)(k-2) \geq 0\end{aligned}$

$k\leq-6$  또는  $k\geq2$

 

$ \begin{aligned} -\frac{b}{2 a}=-\frac{k}{2 \cdot 1}=-\frac{k}{2}<0 \;\;\rightarrow \;\;k>0 \end{aligned} $

 

$f(x)=x^2+k x-k+3$ 으로 놓으면

$f(0)=-k+3>0 \;\;\rightarrow \;\;k<3$

 

따라서, 최종답은

 

$2\leq k<3$

 

 

 

문제3)

$x^2-k x+k+2=0$ 의 두 근 사이에 0이 있으려면?

 

$f(x)=x^2-k x+k+2$ 로 놓으면

$f(0)=k+2<0 \;\;\rightarrow \;\;k<-2$

 

 

 

걍 이렇게 풀면 되는데

문제집을 보면 다르게 풀어 놓았습니다.

 

두 근이 모두 0보다 크다. → 두 근이 모두 양수

두 근이 모두 0보다 작다. → 두 근이 모두 음수

두 근 사이에 0이 있다. → 한 근은 양수, 한 근은 음수 (두 근이 서로 다른 부호)

 

이렇게 해석해서

모든 문제집에는 이렇게 나와 있습니다.

 

ⅰ) 두 근이 모두 양수

 

$\begin{aligned} & D \geq 0 \\ & \alpha+\beta>0 \\ & \alpha \beta>0\end{aligned}$

 

ⅱ) 두 근이 모두 음수

 

$\begin{aligned} & D \geq 0 \\ & \alpha+\beta<0 \\ & \alpha \beta>0\end{aligned}$

 

ⅲ) 두 근이 서로 다른 부호

 

$\alpha\beta<0$

 

뭐... 쫌 간단해 보이긴 한데

굳이 이렇게 다른 공식까지 만들어가면서 풀어야 하는지는... ;; 암튼

 

 

 

위의 문제를

이 공식으로 다시 풀어볼께요~

 

문제1-1)

$x^2-2 k x+4 k-3=0$ 의 두 근이 모두 양수가 되려면?

 

$\begin{aligned} \frac{D}{4} & =k^2-4 k+3 \\ & =(k-1)(k-3) \geq 0\end{aligned}$

$k\leq1$  또는  $k\geq3$

 

$\alpha+\beta=2 k>0 \;\;\rightarrow \;\;k>0$
$ \begin{aligned} \alpha \beta=4 k-3>0 \;\;\rightarrow \;\;k>\frac{3}{4} \end{aligned} $

 

따라서, 최종답은

 

$ \begin{aligned} \frac{3}{4}<k\leq1 \end{aligned} $  또는  $k\geq3$

 

 

 

문제2-1)

$x^2+k x-k+3=0$ 의 두 근이 모두 음수가 되려면?

 

$\begin{aligned} D & =k^2+4 k-12 \\ & =(k+6)(k-2) \geq 0\end{aligned}$

$k\leq-6$  또는  $k\geq2$

 

$\begin{aligned} & \alpha+\beta=-k<0 \;\;\rightarrow \;\;k>0 \\ & \alpha \beta=-k+3>0 \;\;\rightarrow \;\;k<3\end{aligned}$

 

따라서, 최종답은

 

$2\leq k<3$

 

 

 

문제3-1)

$x^2-k x+k+2=0$ 의 두 근의 부호가 서로 다르려면?

 

$\alpha \beta=k+2<0 \;\;\rightarrow \;\;k<-2$

 

 

 

어때요? 쫌 간단한가요?

저는 그닥 차이를 못 느끼겠는데... ;;

 

여러분은

맘에 드는 풀이로 푸세요~ ^-^//

 

 

 

 

 

 

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