이차방정식의 해 (9)

 

 

 

 

 

 

우리가 수학문제에서

 

우리 머리 속에 얼른 떠오르는 건

두 근의 합과 곱입니다.

 

뭐... 사실

합과 곱만 있으면 대부분의 문제는 해결됩니다.

 

근데

가끔 귀찮은 문제가 나타납니다.

 

 

 

문제1)

우리가 아는 건

 

딱히 방법이...

전개하죠.. 뭐.. ㅠ

 

일단

제곱의 합부터 구해놓고

 

구하긴 구했는데

좀 찜찜합니다. ;;

 

제대로(?) 풀어볼까요..?!

 

정리하면

 

 

 

문제야 얼마든지 만들 수 있죠.. 뭐..

 

문제2)

 

 

문제3)

 

 

아래 문제4, 5, 6 같은 건

문제집에서 본 적이 없는데 그래도 혹시나... 풀어볼께요~

 

문제4)

에궁...

부호가 바뀌어 있네요 ㅠ

 

이 때는 이 식을

 

요렇게 바꿔서 대입합니다.

 

사실 이런 풀이를 모른다고 해서

문제를 못푸는 건 아닙니다.

 

우리에겐 (문제1에서 풀었던 것처럼)

'전개'라고 하는 막강한 풀이방법이 있으니까요

 

그래도

이런 방법을 알아두는 게 편하긴 편하겠죠..?! ;;

 

 

 

문제5)

역시

부호가 살짝 바뀌어 있습니다.

 

 

 

문제6)

 

 

아래 문제7과 같은 문제는 나올 리가 없지만

혹시라도 출제자가 실수로... ;;

 

문제7)

헐... 인수분해가 됩니다..!!

 

두 근은 2와 -1

 

풀이고 뭐고 없이

걍 대입합니다.

 

말씀드렸듯이

이런 문제는 나올 리가 없겠죠..?! ;;

 

 

 

문제8)

 

α+β=-1

αβ=1

α²+α+1=0

β²+β+1=0

 

이 문제는 위의 4개의 식만으로는 해결될 것 같지 않습니다. ㅠ

뭔가 새로운 식(조건)이 나와야 할 것 같은데...

 

낯익은(?) 식이 있으니까 세제곱을 한 번 만들어 볼까요.

(α-1)(α²+α+1)=0  →  α³=1

 

 

이제 문제가 풀릴 듯요.

 

 

 

 

문제9)

 

α+β=1

αβ=1

α²-α+1=0

β²-β+1=0

 

문제8과 마찬가지로 세제곱을 만들어 보면

(α+1)(α²-α+1)=0  →  α³=-1

 

이번에는 세제곱이 -1이네요.

 

 

 

 

문제10)

 

α+β=-√3

αβ=1

α²+√3α+1=0

β²+√3β+1=0

 

아... 이번에는 어떤 식을 만들어야 할까요.

루트를 넘겨서 제곱이나 한 번 해보죠... 뭐... ;;

 

 

와우~ 여섯제곱이 -1이 나오네요.

 

 

 

 

문제11)

이차방정식 x²-3x+1=0 의 두 근을 α-2, β+5 라 할 때

(α-4)(β+3) 의 값은?

 

α-2=a  →  α=a+2

β+5=b  →  β=b-5

로 놓고, 문제를 a, b로 바꿉니다.

 

이차방정식 x²-3x+1=0 의 두 근을 a, b라 할 때

(a-2)(b-2) 의 값은?

 

그럼 문제가 쉽게 풀립니다.

 

a+b=3,  ab=1 이므로

(a-2)(b-2)=ab-2(a+b)+4=-1

 

 

 

문제12)

삼차방정식 x³-2x²+3x-1=0 의 세 근을 α-1, β+5, γ+2 라 할 때

(α-4)(β+2)(γ-1) 의 값은?

 

삼차방정식도 이차방정식과 똑같습니다.

 

α-1=a  →  α=a+1

β+5=b   →  β=b-5

γ+2=c   →  γ=c-2

로 놓고, 문제를 a, b, c로 바꿉니다.

 

삼차방정식 x³-2x²+3x-1=0 의 세 근을 a, b, c라 할 때

(a-3)(b-3)(c-3) 의 값은?

 

그럼 역시 문제가 쉽게(?) 풀립니다.

 

a+b+c=2,  ab+bc+ca=3,  abc=1 이므로

(a-3)(b-3)(c-3)=abc-3(ab+bc+ca)+9(a+b+c)-27=-17

 

('식의 전개와 인수분해 (1)'을 참고해 주세요~)

 

 

 

 

 

 

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