식의 전개와 인수분해 (1)

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

 

 

 

$(x+a)(x+b)(x+c)=x^{3}+(a+b+c)x^{2}+(ab+bc+ca)x+abc$

$(x-a)(x-b)(x-c)=x^{3}-(a+b+c)x^{2}+(ab+bc+ca)x-abc$

 

 

 

간단한 예를 들어보면

 

$\begin{aligned}&(x+1)(x+2)(x+3)\\&=x^{3}+(1+2+3)x^{2}+(1\cdot2+2\cdot3+3\cdot1)x+1\cdot2\cdot3\\&=x^{3}+6x^{2}+11x+6\\\end{aligned}$

 

$\begin{aligned}&(x+1)(x-2)(x+3)\\&=x^{3}+(1-2+3)x^{2}+(1\cdot(-2)+(-2)\cdot3+3\cdot1)x+1\cdot(-2)\cdot3\\&=x^{3}+2x^{2}-5x-6\\\end{aligned}$

 

$\begin{aligned}&(x-1)(x-2)(x-3)\\&=x^{3}+((-1)+(-2)+(-3))x^{2}\\&\qquad\:\;+((-1)\cdot(-2)+(-2)\cdot(-3)+(-3)\cdot(-1))x+(-1)\cdot(-2)\cdot(-3)\\&=x^{3}-6x^{2}+11x-6\\\end{aligned}$

 

 

 

응용(?) 한번 해보면

 

$(3+a)(3+b)(3+c)=3^{3}+(a+b+c)\cdot3^{2}+(ab+bc+ca)\cdot3+abc$

$(3-a)(3-b)(3-c)=3^{3}-(a+b+c)\cdot3^{2}+(ab+bc+ca)\cdot3-abc$

 

$\begin{aligned}&(a+3)(b+3)(c+3)\\&=(3+a)(3+b)(3+c)\\&=3^{3}+(a+b+c)\cdot3^{2}+(ab+bc+ca)\cdot3+abc\\\end{aligned}$

 

$\begin{aligned}&(a-3)(b-3)(c-3)\\&=((-3)+a)((-3)+b)((-3)+c)\\&=(-3)^{3}+(a+b+c)\cdot(-3)^{2}+(ab+bc+ca)\cdot(-3)+abc\\\end{aligned}$

 

$\begin{aligned}&(-a-3)(-b-3)(-c-3)\\&=-(a+3)(b+3)(c+3)\\&=-(3+a)(3+b)(3+c)\\&=-(3^{3}+(a+b+c)\cdot3^{2}+(ab+bc+ca)\cdot3+abc)\\\end{aligned}$

 

이걸 이렇게

다르게 풀기도 하는데

 

$\begin{aligned}&(-a-3)(-b-3)(-c-3)\\&=((-3)-a)((-3)-b)((-3)-c)\\&=(-3)^{3}-(a+b+c)\cdot(-3)^{2}+(ab+bc+ca)\cdot(-3)-abc\\\end{aligned}$

 

결과는 같습니다.

둘 중에 편한 걸로 푸세요~

 

 

 

문제1)

삼차방정식 x³+2x²+3x+5=0의 세 근을 α, β, γ라 할 때,

(α+β)(β+γ)(γ+α)의 값은?

 

먼저

근과 계수와의 관계에서

 

α+β+γ=-2

αβ+βγ+γα=3

αβγ=-5

 

α+β+γ=-2에서

α+β=-2-γ

β+γ=-2-α

γ+α=-2-β이므로

 

(α+β)(β+γ)(γ+α)

=(-2-α)(-2-β)(-2-γ)

=-(2+α)(2+β)(2+γ)

=-(2³+(α+β+γ)·2²+(αβ+βγ+γα)·2+αβγ)

=-(8-2·4+3·2-5)

=-1

 

연습하는 셈치고

다르게도 한번 풀어볼까요.

 

(α+β)(β+γ)(γ+α)

=((-2)-α)((-2)-β)((-2)-γ)

=(-2)³-(α+β+γ)·(-2)²+(αβ+βγ+γα)·(-2)-αβγ

=-8-(-2)·4+3·(-2)-(-5)

=-1

 

 

 

이 시점에서

공부를 좀 어설프게(?) 한 학생들은

아래 문제2와 좀 헷갈릴 수도... ㅠ

 

 

 

문제2)

2, 3, 4를 세 근으로 하는 삼차방정식은? (x³의 계수는 1)

 

보통 풀이집을 보면

이렇게 풀어놨죠.

 

2+3+4=9

2·3+3·4+4·2=26

2·3·4=24

 

따라서, 우리가 구하는 삼차방정식은

근과 계수와의 관계에서

 

x³-9x²+26x-24=0

 

이렇게 안 풀고

위에서 공부한 걸로 풀어보면

 

세 근이 2, 3, 4 이므로

우리가 구하는 삼차방정식은

 

(x-2)(x-3)(x-4)=0

 

이제, 전개만 하면 되죠.

 

x³-(2+3+4)x²+(2·3+3·4+4·2)x-2·3·4=0

x³-9x²+26x-24=0

 

('이차방정식의 해 (10)' 참고요~)

 

 

 

지금 부호가 헷갈려서

갸우뚱하고 있는 건 아니죠..?! ^-^// ;;

 

 

 

 

 

 

 

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