두 점 사이의 거리 (6)

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

문제1)

원 $x^2+y^2=1$ 위의 점 P와 두 점 $A(2,\;5), \;B(4,\;3)$ 에 대하여

$\overline{A P}^2+\overline{B P}^2$ 의 최솟값을 구하시오.

 

풀이)

먼저 중학생 때 배운

삼각형의 중선정리부터 확인할께요.

 

$\overline{A B}^2+\overline{A C}^2=2\left(\overline{A M}^2+\overline{B M}^2\right)$

 

이제 문제를 풀어보면

 

이 상황에서 점 P를 어디에 잡으면

$\overline{A P}^2+\overline{B P}^2$  의 값이 최소가 되냐는 거죠.

 

$\overline{A B}$ 의 중점 M을 잡고

점 P와 연결하면

 

$\overline{A P}^2+\overline{B P}^2=2\left(\overline{P M}^2+\overline{B M}^2\right)$ 이므로

$\overline{P M}^2+\overline{B M}^2$ 의 최솟값을 구해서 2를 곱해주면 됩니다.

 

그래서

$\overline{P M}^2+\overline{B M}^2$ 의 최솟값을 생각해보면

 

$\overline{B M}$ 의 길이는 $\sqrt{2}$로 이미 정해져 있고

결국은 $\overline{P M}$의 길이의 최솟값을 구하면 됩니다!

(이건 많이 보던 문제죠..?!)

 

$\overline{P M}$ 의 길이의 최솟값은

원의 중심 (0, 0)과 중점 M(3, 4) 사이의 거리 5에서

원의 반지름 1을 뺀 값 4입니다.

 

이제 다 풀었습니다.

 

$\overline{P M}^2+\overline{B M}^2$ 의 최솟값은

$4^2+(\sqrt{2})^2=18$ 이 되고

 

따라서

 

$\overline{A P}^2+\overline{B P}^2$ 의 최솟값은

$2 \times 18=36$ 입니다.

 

 

 

문제2)

원 $(x-3)^2+(y+2)^2=4$ 위의 점 P와 두 점 $A(3,\;2), \;B(-5,\;0)$ 에 대하여

$\overline{A P}^2+\overline{B P}^2$ 의 최솟값을 구하시오.

 

풀이)

풀이는 없습니다..!! ㅎ

여러분이 그림 그려가면서 열심히 풀어보세요~

정답은 52입니다.

 

 

 

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