ax+b=3 이 방정식이
x의 값에 관계없이 무조건 성립하려면
x에 어떤 값을 대입해도 무조건 성립하려면
x=1을 대입하든, x=10을 대입하든, x=100을 대입하든 무조건 성립하려면
a와 b의 값은 어케 돼야 할까요?
a=0 이면 → x에 어떤 값이 와도 0·x=0 입니다.
x의 값이 아무런 의미가 없어지는 거죠.
그리고 b=3
a=0, b=3 이면 → 0·x+3=3
이 방정식에서 x는 슬프지만 무의미한 존재가 되어 버립니다.
위에서 'x의 값에 관계없이 성립한다.'라고 했는데
수학에서는 똑같은 의미의 표현들이 몇 개 존재합니다.
x의 값에 관계없이 성립한다.
= 모든 실수 x에 대하여 성립한다.
= 임의의 실수 x에 대하여 성립한다.
= x에 대한 항등식이다.
문제1)
ax+b=3
이 x에 대한 항등식이 되도록 하는 a, b의 값은?
풀이는 없고 ;;
답은 a=0, b=3
문제2)
(a-2)x+b+3=0
이 x에 대한 항등식이 되도록 하는 a, b의 값은?
풀이는 없고 ;;
답은 a=2, b=-3
문제3)
ak+b=3
이 k에 대한 항등식이 되도록 하는 a, b의 값은?
풀이는 없고 ;;
답은 a=0, b=3
문제4)
(a-2)k+b+3=0
이 k에 대한 항등식이 되도록 하는 a, b의 값은?
풀이는 없고 ;;
답은 a=2, b=-3
문제5)
x³+kx²+(k+2a)x+(k-3)a+b+2=0
이 k의 값에 관계없이 항상 1을 근으로 가질 때
a, b의 값은?
풀이)
어려워 보이나요..?! 간단합니다. 일단
1을 근으로 가지므로 대입하면 성립하고
1+k+(k+2a)+(k-3)a+b+2=0
이 등식이 성립하긴 성립하는데
k의 값에 관계없이 성립한다..?
k에 대한 항등식이란 의미입니다.
식을 k에 대해서 정리하면
(a+2)k-a+b+3=0
a+2=0 → a=-2
-a+b+3=0 → b=-5
문제6)
x에 대한 이차방정식 x²+2(k-m)x+k²-4k+n=0
이 k의 값에 관계없이 항상 중근을 가질 때
m, n의 값은?
풀이)
중근을 가지므로
D/4=(k-m)²-( k²-4k+n)=0
이 등식이 성립하긴 성립하는데
k의 값에 관계없이 성립한다..?
k에 대한 항등식이란 의미입니다.
식을 k에 대해서 정리하면
(4-2m)k+m²-n=0
4-2m=0 → m=2
m²-n=0 → n=4
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