문제1)
f(x)=x³-3x²+x+1 을 (x-2)로 나누었을 때의 나머지는?
풀이)
몫을 Q(x), 나머지를 R이라고 하면
x³-3x²+x+1=(x-2)Q(x)+R
x=2 를 대입하면
8-12+2+1=0·Q(2)+R → R=-1
Q(2)의 값은 얼마인지 모르지만 별로 관심없습니다.
뭐가 됐든 0을 곱하니까 그냥 0이 돼버리거든요.
나머지정리를 처음 공부할 때는 이렇게 일일이 다 써서 풀지만
앞으로 조금씩 익숙해지면 바로바로 풀 거예요~ 요렇게
f(2)=8-12+2+1=-1
즉, 나누어주는 식을 0으로 만드는 x의 값을 (x-2=0 → x=2)
주어진 함수에 대입해서 나오는 값이 그냥 나머지입니다.
그리고 한가지 더 언급하면
여기서는 나머지만 물어봤기 때문에 이렇게 풀었지만
몫과 나머지를 모두 물어보면 직접 나누거가 조립제법을 이용해서 풀어야 합니다.
('조립제법 조심하기' 참고요~)
문제2)
f(x)=x³-kx²+2x-1 을 (x+3)으로 나누었을 때의 나머지가 2일 때, k의 값은?
풀이)
식으로 써보면
x³-kx²+2x-1=(x+3)Q(x)+2
x=-3 을 대입하면
-27-9k-6-1=2 → k=-4
식을 안 쓰고 바로 풀어보면
f(-3)=-27-9k-6-1=2 → k=-4
문제3)
f(x)를 (x+2)로 나누었을 때의 나머지가 3일 때
(2x-1)f(x)를 (x+2)로 나누었을 때의 나머지는?
풀이)
f(x)를 (x+2)로 나누었을 때의 나머지가 3 → f(-2)=3
(2x-1)f(x)를 (x+2)로 나누었을 때의 나머지 -5f(-2)=-15
문제4)
f(x)를 (x-3)으로 나누었을 때의 나머지가 5이고
g(x)를 (x-3)으로 나누었을 때의 나머지가 2일 때
f(x)g(x)를 (x-3)으로 나누었을 때의 나머지는?
풀이)
f(3)=5, g(3)=2 → f(3)g(3)=5·2=10
이제 요렇게만 써도 이해되죠..?! ;;
이제 이차식으로 한 번 나눠 볼께요~
문제5)
f(x)=x³-3x²+x+2 를 (x-1)(x+2)로 나누었을 때의 나머지는?
풀이)
한 가지만 주의하면 됩니다.
이차식으로 나눴으니까 나머지는 최대 일차식이라는 거..!! (일차식 또는 상수항)
식으로 써보면
x³-3x²+x+2=(x-1)(x+2)Q(x)+ax+b
x=1 대입 → 1=a+b
x=-2 대입 → -20=-2a+b
두 식을 연립해서 풀면
a=7, b=-6
따라서, 나머지는 7x-6
문제6)
f(x)를 (x-1)로 나누었을 때의 나머지가 3이고
(x-2)로 나누었을 때의 나머지가 -2일 때
f(x)를 (x²-3x+2)로 나누었을 때의 나머지는?
풀이)
f(1)=3, f(2)=-2
f(x)=(x²-3x+2)Q(x)+ax+b
=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b
x=1 대입 → f(1)=a+b=3
x=2 대입 → f(2)=2a+b=-2
두 식을 연립해서 풀면
a=-5, b=8
따라서, 나머지는 -5x+8
문제7)
f(x)를 (x-1)로 나누었을 때의 나머지가 3이고
(x-2)로 나누었을 때의 나머지가 -2일 때
(x²+1)f(x)를 (x²-3x+2)로 나누었을 때의 나머지는?
풀이)
f(1)=3, f(2)=-2
(x²+1) f(x)=(x²-3x+2)Q(x)+ax+b
=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b
x=1 대입 → 2f(1)=a+b=6
x=2 대입 → 5f(2)=2a+b=-10
두 식을 연립해서 풀면
a=-16, b=22
따라서, 나머지는 -16x+22
요정도만 할께요~ ^-^//
PS1.
7을 2로 나누면 몫이 3이고, 나머지는 1입니다.
이것을 식으로 쓰면 이렇게 됩니다.
7=2·3+1
마찬가지로
f(x)를 (x+3)으로 나누었을 때
몫이 Q(x), 나머지는 R이라고 하면 이렇게 쓰면 됩니다.
f(x)=(x+3)Q(x)+R
PS2.
7은 여러가지 방법으로 표현할 수 있습니다.
7=2·1+5
7=2·2+3
7=2·4-1
7=2·5-3
7=2·6-5
이 때마다 몫과 나머지가 달라지면 안되겠죠..?!
5는 2로 더 나눠집니다. 두 번이나
7 = 2·1+5 = 2·1+(2·2+1) = 2(1+2)+1 = 2·3+1
3도 2로 더 나눠집니다. 한 번
7 = 2·2+3 = 2·2+(2·1+1) = 2(2+1)+1 = 2·3+1
음수는 나머지가 될 수 없습니다. 2를 한 번 더하고 빼줘야 합니다.
7 = 2·4-1 = 2·4-2+2-1 = 2(4-1)+(2-1) = 2·3+1
이 때는 2를 두 번 더하고 빼줘야 합니다. 그래야 나머지가 양수가 되거든요.
7 = 2·5-3 = 2·5-2·2+2·2-3 = 2(5-2)+(2·2-3) = 2·3+1
이 때는 세 번
7 = 2·6-5 = 2·6-2·3+2·3-5 = 2(6-3)+(2·3-5) = 2·3+1
감이 잡히죠..?! ;;
▶ 수학 전체 목록 바로가기 → www.gajok.co.kr/math.html