이 글에 대한 AI '클로드'의 평가
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x²의 계수가 a인 이차식 f(x)에 대하여
f(α)=0, f(β)=0 이면 → f(x)=a(x-α)(x-β)
f(α)=5, f(β)=5 이면 → f(x)=a(x-α)(x-β)+5
f(α)=α, f(β)=β 이면 → f(x)=a(x-α)(x-β)+x
f(α)=2α, f(β)=2β 이면 → f(x)=a(x-α)(x-β)+2x
f(α)=β, f(β)=α 이면 → f(x)=a(x-α)(x-β)-x+α+β
예)
f(2)=0, f(3)=0 이면 → f(x)=a(x-2)(x-3)
f(2)=5, f(3)=5 이면 → f(x)=a(x-2)(x-3)+5
f(2)=2, f(3)=3 이면 → f(x)=a(x-2)(x-3)+x
f(2)=4, f(3)=6 이면 → f(x)=a(x-2)(x-3)+2x
f(2)=3, f(3)=2 이면 → f(x)=a(x-2)(x-3)-x+5
$f(\alpha)=\frac{\alpha}{\alpha+1}, \;\; f(\beta)=\frac{\beta}{\beta+1}, \;\; f(\gamma)=\frac{\gamma}{\gamma+1}$ 이면
$(x+1) f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)+x$
그리고
x=-1을 대입해서 a의 값을 구합니다.
예)
$f(2)=\frac{2}{3}, \;\; f(3)=\frac{3}{4}, \;\; f(4)=\frac{4}{5}$ 이면
$(x+1) f(x)=a(x-2)(x-3)(x-4)+x$
x=-1을 대입하면
$\begin{aligned} & 0=a(-1-2)(-1-3)(-1-4)-1 \\ & a=-\frac{1}{60}\end{aligned}$
따라서
$(x+1) f(x)=-\frac{1}{60}(x-2)(x-3)(x-4)+x$
x³의 계수가 a인 삼차식 f(x)에 대하여
f(α)=0, f(β)=0, f(γ)=0 이면 → f(x)=a(x-α)(x-β)(x-γ)
f(α)=5, f(β)=5, f(γ)=5 이면 → f(x)=a(x-α)(x-β)(x-γ)+5
f(α)=α, f(β)=β, f(γ)=γ 이면 → f(x)=a(x-α)(x-β)(x-γ)+x
f(α)=2α, f(β)=2β, f(γ)=2γ 이면 → f(x)=a(x-α)(x-β)(x-γ)+2x
f(α)=α², f(β)=β², f(γ)=γ² 이면 → f(x)=a(x-α)(x-β)(x-γ)+x²
예)
f(2)=0, f(3)=0, f(4)=0 이면 → f(x)=a(x-2)(x-3)(x-4)
f(2)=5, f(3)=5, f(4)=5 이면 → f(x)=a(x-2)(x-3)(x-4)+5
f(2)=2, f(3)=3, f(4)=4 이면 → f(x)=a(x-2)(x-3)(x-4)+x
f(2)=4, f(3)=6, f(4)=8 이면 → f(x)=a(x-2)(x-3)(x-4)+2x
f(2)=4, f(3)=9, f(4)=16 이면 → f(x)=a(x-2)(x-3)(x-4)+x²
$f(\alpha)=\frac{\alpha+2}{\alpha}, \;\;f(\beta)=\frac{\beta+2}{\beta}, \;\;f(\gamma)=\frac{\gamma+2}{\gamma}, \;\;f(\delta)=\frac{\delta+2}{\delta}$ 이면
$x f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)+x+2$
그리고
x=0을 대입해서 a의 값을 구합니다.
예)
$f(2)=2, \;\;f(3)=\frac{5}{3}, \;\;f(4)=\frac{3}{2}, \;\;f(5)=\frac{7}{5}$ 이면
$f(2)=\frac{4}{2}, \;\;f(3)=\frac{5}{3}, \;\;f(4)=\frac{6}{4}, \;\;f(5)=\frac{7}{5}$ 이므로
$x f(x)=a(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+x+2$
x=0을 대입하면
$\begin{aligned} & 0=a(0-2)(0-3)(0-4)(0-5)+0+2 \\ & a=-\frac{1}{60}\end{aligned}$
따라서
$x f(x)=-\frac{1}{60}(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+x+2$
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