이 글에 대한 AI '클로드'의 평가
(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)
두 개의 문장이 있습니다.
이차부등식 f(x)<0의 해는 2<x<5이다.
2<x<5에서 이차부등식 f(x)<0이다.
같은 말인가요..? 다른 말인가요..?
물론 다르니까 물어보는 거겠죠..?! ;;
'이차부등식 f(x)<0의 해는 2<x<5이다.'
이 말은
2<x<5에서'만' 0보다 작고
다른 범위에서는 0보다 크다는 의미고
2<x<5에서 이차부등식 f(x)<0이다.
이 말은
2<x<5에서는 물론 0보다 작고
다른 범위에서는 0보다 크던지 작던지 관심없다는 의미입니다..!!
따라서
2<x<5에서 이차부등식 f(x)<0이 성립하려면
f(2)≤0, f(5)≤0
이것만 만족하면 됩니다.
좀 더 디테일(?)하게 이야기 해보면
2<x<5에서 이차부등식 f(x)<0이 성립하려면 → f(2)≤0, f(5)≤0
2<x<5에서 이차부등식 f(x)≤0이 성립하려면 → f(2)≤0, f(5)≤0
2≤x≤5에서 이차부등식 f(x)<0이 성립하려면 → f(2)<0, f(5)<0
2≤x≤5에서 이차부등식 f(x)≤0이 성립하려면 → f(2)≤0, f(5)≤0
부등식 문제에서
등호가 들어가냐... 안 들어가냐...는 항상 머리가 아픕니다. ㅠ
도움이 될란지는 모르겠지만
'일차부등식의 해 (4)'를 참고해 주세요~
문제1)
3≤x≤4에서 이차부등식 x²-2x+k≤0이 성립할 때
k의 값의 범위는?
f(x)=x²-2x+k로 놓으면
f(3)=3+k≤0 → k≤-3
f(4)=8+k≤0 → k≤-8
두 조건을 모두 만족하는 k의 값의 범위는
k≤-8
그런데
풀이집을 보면 조금 다르게 풀어놓았습니다.
f(x)=x²-2x+k
=(x-1)²+k-1
꼭지점의 x좌표가 1이므로
f(4)=8+k≤0 → k≤-8
이것만 만족하면 됩니다.
f(4)≤0이기만 하면 당연히
f(3)≤0이니까요.
∴ k≤-8
굳이 이렇게
꼭지점까지 확인해가면서 풀 필요가 있을까 싶네요.
그냥 꼭지점 신경 안 쓰고
조건 두 개로 푸는 것을 갠적으로는 더 선호합니다. ;;
문제2)
$f(x)=\frac{1}{3} x^3-x^2+k x+5$ 가
3≤x≤4에서 감소하도록 하는 실수 k의 값의 범위는?
3≤x≤4에서 f(x)가 감소하려면
3≤x≤4에서 f '(x)=x²-2x+k≤0이여야 합니다.
즉, 문제1과 같은 문제라는 거..!!
문제3)
1<x<2에서 3x²+2ax-2≤0,
x>3에서 3x²+2ax-2≥0이기 위한 a의 값의 범위는?
f(x)=3x²+2ax-2로 놓으면
$f(1)=2 a+1 \leq 0 \;\;\rightarrow \;\; a \leq-\frac{1}{2}$
$f(2)=4 a+10 \leq 0 \;\;\rightarrow \;\; a \leq-\frac{5}{2}$
$f(3)=6 a+25 \geq 0 \;\;\rightarrow \;\; a \geq-\frac{25}{6}$
$\therefore\;-\frac{25}{6} \leq a \leq-\frac{5}{2}$
문제4)
f(x)=x³+ax²-2x+3이
1<x<2에서 감소하고, x>3에서 증가하도록 하는 a의 값의 범위는?
1<x<2에서 f(x)가 감소하려면
1<x<2에서 f '(x)=3x²+2ax-2≤0이여야 하고
x>3에서 f(x)가 증가하려면
x>3에서 f '(x)=3x²+2ax-2≥0이여야 합니다.
즉, 문제3과 같은 문제라는 거..!!
이차부등식 문제에
미분까지 끌어들여서 죄송여~ ^-^// ;;
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풀이를 질문하는 학생들이 있어서 정리 좀 할께요.
아래에 여섯문제가 있습니다.
문제1)
1≤x≤3에서
이차부등식 x²-8x+k≥0이 항상 성립할 때
실수 k의 값의 범위는?
f(x)=x²-8x+k로 놓으면
f(3)=9-24+k≥0 → k≥15
문제2)
2≤x≤5에서
이차부등식 x²-8x+k≥0이 항상 성립할 때
실수 k의 값의 범위는?
f(x)=x²-8x+k로 놓으면
f(4)=16-32+k≥0 → k≥16
문제3)
6≤x≤8에서
이차부등식 x²-8x+k≥0이 항상 성립할 때
실수 k의 값의 범위는?
f(x)=x²-8x+k로 놓으면
f(6)=36-48+k≥0 → k≥12
문제4)
1≤x≤3에서
이차부등식 x²-8x+k≤0이 항상 성립할 때
실수 k의 값의 범위는?
f(x)=x²-8x+k로 놓으면
f(1)=1-8+k≤0 → k≤7
문제5)
2≤x≤5에서
이차부등식 x²-8x+k≤0이 항상 성립할 때
실수 k의 값의 범위는?
f(x)=x²-8x+k로 놓으면
f(2)=4-16+k≤0 → k≤12
f(5)=25-40+k≤0 → k≤15
∴ k≤12
꼭지점의 x좌표가
5에 더 가깝기 때문에
f(2)≤0
이 조건만 만족(확인)해도 됩니다.
f(2)=4-16+k≤0 → k≤12
문제6)
6≤x≤8에서
이차부등식 x²-8x+k≤0이 항상 성립할 때
실수 k의 값의 범위는?
f(x)=x²-8x+k로 놓으면
f(8)=64-64+k≤0 → k≤0
사실 이렇게 차카게(?) 풀었지만
문제2를 제외한 다른 문제들은
꼭지점의 x좌표를 신경쓰지 않고
그냥 구간의 양 끝점에서의 값만 확인해도 됩니다.
문제1)
f(1)=1-8+k≥0 → k≥7
f(3)=9-24+k≥0 → k≥15
∴ k≥15
문제2) 제외
문제3)
f(6)=36-48+k≥0 → k≥12
f(8)=64-64+k≥0 → k≥0
∴ k≥12
문제4)
f(1)=1-8+k≤0 → k≤7
f(3)=9-24+k≤0 → k≤15
∴ k≤7
문제5)
f(2)=4-16+k≤0 → k≤12
f(5)=25-40+k≤0 → k≤15
∴ k≤12
문제6)
f(6)=36-48+k≤0 → k≤12
f(8)=64-64+k≤0 → k≤0
∴ k≤0
문제7)
-3≤x≤1에서
이차부등식 x²-2ax+3≥0이 항상 성립할 때
실수 a의 값의 범위는?
f(x)=x²-2ax+3으로 놓으면
f(x)=(x-a)²-a²+3
꼭지점의 x좌표는 a
a<-3일 때,
f(-3)=9+6a+3≥0 → a≥-2
조건에 맞는 a의 값이 없습니다.
-3≤a<1일 때,
f(a)=a²-2a²+3≥0 → -√3≤a≤√3
-√3≤a<1
a≥1일 때,
f(1)=1-2a+3≥0 → a≤2
1≤a≤2
∴ -√3≤a≤2
조금 다르게 풀어보면
(a<-3 또는 a≥1)일 때,
$\left\{\begin{array}{l}f(-3)=9+6 a+3 \geq 0 \;\;\rightarrow \;\;a \geq-2 \\ f(1)=1-2 a+3 \geq 0\quad \;\rightarrow \;\;a \leq 2\end{array} \quad \Rightarrow\;\;-2 \leq a \leq 2\right.$
1≤a≤2
-3≤a<1일 때,
f(a)=a²-2a²+3≥0 → -√3≤a≤√3
-√3≤a<1
∴ -√3≤a≤2
문제8)
0≤x≤2에서
이차부등식 x²-2ax+a²-4≤0이 항상 성립할 때
실수 a의 값의 범위는?
f(x)=x²-2ax+a²-4로 놓으면
f(x)=(x-a)²-4
꼭지점의 x좌표는 a
a<0일 때,
f(2)=4-4a+a²-4≤0 → 0≤a≤4
조건에 맞는 a의 값이 없습니다.
0≤a<2일 때,
$\left\{\begin{array}{ll}f(0)=a^2-4 \leq 0 & \rightarrow\;\;-2 \leq a \leq 2 \\ f(2)=4-4 a+a^2-4 \leq 0 & \rightarrow \;\;0 \leq a \leq 4\end{array} \;\;\Rightarrow\;\; 0 \leq a \leq 2\right.$
0≤a<2
a≥2일 때,
f(0)=a²-4≤0 → -2≤a≤2
a=2
∴ 0≤a≤2
조금 다르게 풀어보면
꼭지점의 x좌표에 관계없이
구간의 양 끝점에서
함수값이 0보다 작거나 같으면 됩니다.
f(0)=a²-4≤0 → -2≤a≤2
f(2)=4-4a+a²-4≤0 → 0≤a≤4
∴ 0≤a≤2
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