문제1)
4x²-9x-1 = a(x-1)(x-2)+b(x+1)(x-1)+c(x-2)(x+1)
이 x에 대한 항등식일 때, a, b, c의 값은?
풀이1) 수치대입법
x=1 을 대입하면 4-9-1=-2c → c=3
x=2 를 대입하면 16-18-1=3b → b=-1
x=-1 을 대입하면 4+9-1=6a → a=2
풀이2) 계수비교법
4x²-9x-1 = a(x-1)(x-2)+b(x+1)(x-1)+c(x-2)(x+1)
=(a+b+c)x²-(3a+c)x+2a-b-2c
a+b+c=4, 3a+c=9, 2a-b-2c=-1
연립해서 풀면 a=2, b=-1, c=3 ('연립방정식 (1)' 참고요~)
문제2)
(x+2)⁴ = x⁴+ax³+24x²+bx+16
이 x에 대한 항등식일 때, a, b의 값은?
풀이1) 수치대입법
x=1 을 대입하면 81=1+a+24+b+16 → a+b=40
x=-2 를 대입하면 0=16-8a+96-2b+16 → 4a+b=64
연립해서 풀면 a=8, b=32
풀이2) 계수비교법
(x+2)⁴ = (x²+4x+4) (x²+4x+4)
= x⁴+8x³+24x²+32x+16
a=8, b=32
문제3)
(x+1)(x-2)f(x) = x⁴+ax²+bx-2
가 x에 대한 항등식일 때, a, b의 값은?
풀이1) 수치대입법
x=-1 을 대입하면 0=1+a-b-2 → a-b=1
x=2 를 대입하면 0=16+4a+2b-2 → 2a+b=-7
연립해서 풀면 a=-2, b=-3
풀이2) 계수비교법
(x²-x-2) ( ) = x⁴+ax²+bx-2
4차항의 계수가 1, 상수항이 -2이므로
(x²-x-2) ( x²+ +1) = x⁴+ax²+bx-2
3차항의 계수가 0이므로
(x²-x-2) ( x²+x+1) = x⁴+ax²+bx-2
계수비교하면 a=-2, b=-3
이런저런 문제들을 풀다보면
수치대입이 편한지, 계수비교가 편한지
금방 느낌이 올 거예요~ ^-^//;;
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