이 글에 대한 AI '클로드'의 평가
(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)
$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$
중학교 수학에서는
루트 안에 있는 숫자는 양수이기 때문에
무조건 맞는 공식이지만
고등학교 수학에서는
루트 안에 음수도 올 수 있기 때문에
성립하지 않는 경우도 있습니다.
어떤 경우에 성립하지 않는지
확인해 보겠습니다.
식 4개가 있습니다.
$\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}$
$\sqrt{-2}\sqrt{3}=\sqrt{2}i\times\sqrt{3}=\sqrt{6}i$
$\sqrt{2}\sqrt{-3}=\sqrt{2}\times\sqrt{3}i=\sqrt{6}i$
$\sqrt{-2}\sqrt{-3}=\sqrt{2}i\times\sqrt{3}i=\sqrt{6}i^{2}=-\sqrt{6}$
위의 4개의 식을
$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$
이 공식으로 한번 풀어볼까요
$\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{2\times3}=\sqrt{6}$
$\sqrt{-2}\sqrt{3}=\sqrt{-2\times3}=\sqrt{-6}=\sqrt{6}i$
$\sqrt{2}\sqrt{-3}=\sqrt{2\times(-3)}=\sqrt{-6}=\sqrt{6}i$
$\sqrt{-2}\sqrt{-3}=\sqrt{-2\times(-3)}=\sqrt{6}$
그럼, 루트 안에 있는 숫자가 모두 음수인 네번째 경우는
결과가 달라집니다.
다시 말해
루트 안에 있는 숫자가 모두 음수인 경우는
이 공식이 성립하지 않고
$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$
이 공식이 성립하는 것입니다.
$\sqrt{a}\sqrt{b}=-\sqrt{ab}$
정리해 볼까요
$\sqrt{2}\sqrt{3}$
$\sqrt{-2}\sqrt{3}$
$\sqrt{2}\sqrt{-3}$
$\sqrt{-2}\sqrt{-3}$
위의 4개의 식을 계산하라고 하면
그냥 처음처럼 i로 바꿔서 풀면 됩니다.
$\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}$
$\sqrt{-2}\sqrt{3}=\sqrt{2}i\times\sqrt{3}=\sqrt{6}i$
$\sqrt{2}\sqrt{-3}=\sqrt{2}\times\sqrt{3}i=\sqrt{6}i$
$\sqrt{-2}\sqrt{-3}=\sqrt{2}i\times\sqrt{3}i=\sqrt{6}i^{2}=-\sqrt{6}$
그럼, 마이너스가 붙니 안 붙니
머리 아프게 생각하지 않아도 됩니다.
그런데 나는
i로 바뀌지 않고 바로 계산하고 싶다..!! 그러면
부호 신경쓰지 말고
일단 두 수를 걍 곱합니다.
$\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}$
$\sqrt{-2}\sqrt{3}=\sqrt{-6}$
$\sqrt{2}\sqrt{-3}=\sqrt{-6}$
$\sqrt{-2}\sqrt{-3}=\sqrt{6}$
여기에서
두 수가 모두 음수인 경우에만
마이너스를 붙여줍니다. 요렇게
$\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}$
$\sqrt{-2}\sqrt{3}=\sqrt{-6}$
$\sqrt{2}\sqrt{-3}=\sqrt{-6}$
$\sqrt{-2}\sqrt{-3}=-\sqrt{6}$
이것이 답입니다..!!
답안지에 적을 때는 이케 쓰면 안 되고
정리는 해줘야겠죠..?!
$\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}$
$\sqrt{-2}\sqrt{3}=\sqrt{-6}=\sqrt{6}i$
$\sqrt{2}\sqrt{-3}=\sqrt{-6} =\sqrt{6}i$
$\sqrt{-2}\sqrt{-3}=-\sqrt{6}$
정리한다고 했는데
어째 설명이 더 기네요. ;;
이번에는
분수를 한번 생각해 보겠습니다.
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$
역시, 중학교 수학에서는
루트 안에 있는 숫자는 양수이기 때문에
무조건 맞는 공식이지만
고등학교 수학에서는
루트 안에 음수도 올 수 있기 때문에
성립하지 않는 경우도 있습니다.
어떤 경우에 성립하지 않는지
확인해 보겠습니다.
식 4개가 있습니다.
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$
$\frac{\sqrt{-2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}i}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}i$
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}i}=\frac{\sqrt{2}\times i}{\sqrt{3}i\times i}=\frac{\sqrt{2}i}{-\sqrt{3}}=-\sqrt{\frac{2}{3}}i$
$\frac{\sqrt{-2}}{\sqrt{-3}}=\frac{\sqrt{2}i}{\sqrt{3}i}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$
위의 4개의 식을
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$
이 공식으로 한번 풀어볼까요
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$
$\frac{\sqrt{-2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{-2}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}i$
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-3}}=\sqrt{\frac{2}{-3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}i$
$\frac{\sqrt{-2}}{\sqrt{-3}}=\sqrt{\frac{-2}{-3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$
그럼, 분모가 음수고, 분자가 양수인 세번째 경우는
결과가 달라집니다.
다시 말해
분모가 음수고, 분자가 양수인 경우는
이 공식이 성립하지 않고
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$
이 공식이 성립하는 것입니다.
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=-\sqrt{\frac{a}{b}}$
정리해 볼까요
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
$\frac{\sqrt{-2}}{\sqrt{3}}$
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-3}}$
$\frac{\sqrt{-2}}{\sqrt{-3}}$
위의 4개의 식을 계산하라고 하면
그냥 처음처럼 i로 바꿔서 풀면 됩니다.
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$
$\frac{\sqrt{-2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}i}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}i$
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}i}=\frac{\sqrt{2}\times i}{\sqrt{3}i\times i}=\frac{\sqrt{2}i}{-\sqrt{3}}=-\sqrt{\frac{2}{3}}i$
$\frac{\sqrt{-2}}{\sqrt{-3}}=\frac{\sqrt{2}i}{\sqrt{3}i}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$
그럼, 마이너스가 붙니 안 붙니
머리 아프게 생각하지 않아도 됩니다.
그런데 나는
i로 바꾸지 않고 바로 계산하고 싶다..!! 그러면
부호 신경쓰지 말고
일단 두 수를 걍 나눕니다.
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$
$\frac{\sqrt{-2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{-2}{3}}$
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-3}}=\sqrt{\frac{2}{-3}}$
$\frac{\sqrt{-2}}{\sqrt{-3}}=\sqrt{\frac{-2}{-3}}$
여기에서
분모가 음수, 분자가 양수인 경우에만
마이너스를 붙여줍니다. 요렇게
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$
$\frac{\sqrt{-2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{-2}{3}}$
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-3}}=-\sqrt{\frac{2}{-3}}$
$\frac{\sqrt{-2}}{\sqrt{-3}}=\sqrt{\frac{-2}{-3}}$
이것이 답입니다..!!
답안지에 적을 때는 이케 쓰면 안 되고
정리는 해줘야겠죠..?!
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\frac{\sqrt{-2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{-2}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}i=\frac{\sqrt{6}}{3}i$
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-3}}=-\sqrt{\frac{2}{-3}}=-\sqrt{\frac{2}{3}}i=-\frac{\sqrt{6}}{3}i$
$\frac{\sqrt{-2}}{\sqrt{-3}}=\sqrt{\frac{-2}{-3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
PS1.
문제를 보면 매번 제곱근이 껴서 나옵니다. ㅠ
$\sqrt{a^{2}b}=|a|\sqrt{b}=\begin{cases}a\sqrt{b} & (a\geq0)\\-a\sqrt{b} & (a<0)\end{cases}$
참고로
$\sqrt[n]{a^{n}}=\begin{cases}|a| & (n이\;짝수)\\a & (n이\;홀수)\end{cases}$
a≥0 이면 (예를 들어 4)
$\sqrt[2]{4^{2}}=|4|=4$
$\sqrt[3]{4^{3}}=4$
$\sqrt[4]{4^{4}}=|4|=4$
$\sqrt[5]{4^{5}}=4$
$\sqrt[6]{4^{6}}=|4|=4$
$\sqrt[7]{4^{7}}=4$
a<0 이면 (예를 들어 -4)
$\sqrt[2]{(-4)^{2}}=|-4|=4$
$\sqrt[3]{(-4)^{3}}=-4$
$\sqrt[4]{(-4)^{4}}=|-4|=4$
$\sqrt[5]{(-4)^{5}}=-4$
$\sqrt[6]{(-4)^{6}}=|-4|=4$
$\sqrt[7]{(-4)^{7}}=-4$
PS2.
$a<0,\;b<0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\rightarrow\;\;\sqrt{a}\sqrt{b}=-\sqrt{ab}$
$\sqrt{a}\sqrt{b}=-\sqrt{ab}\;\;\;\;\;\rightarrow\;\;(a<0,\;b<0)$ 또는 $(a=0)$ 또는 $(b=0)$
$a>0,\;b<0\;\;\;\;\;\;\rightarrow\;\;\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=-\sqrt{\frac{a}{b}}$
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=-\sqrt{\frac{a}{b}}\;\;\;\;\;\;\rightarrow\;\;(a>0,\;b<0)$ 또는 $(a=0,\;b\neq0)$
PS3.
$\sqrt{-a}=\begin{cases}\sqrt{a}i & (a\geq0)\\-\sqrt{a}i & (a<0)\end{cases}$
예를 들어
$\sqrt{-3}=\sqrt{-1}\sqrt{3}=\sqrt{3}i$
$\sqrt{-(-3)}=-\sqrt{-1}\sqrt{-3}=-\sqrt{-3}i$
PS4.
a<0, b<0 일 때
$\sqrt{a}\sqrt{a}=-\sqrt{a^{2}}=-|a|=a$
$\sqrt{b}\sqrt{b}=-\sqrt{b^{2}}=-|b|=b$
$\sqrt{a}\sqrt{b}=-\sqrt{ab}$
이므로
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$
$\qquad\qquad\quad\;=\sqrt{a}\sqrt{a}+\sqrt{b}\sqrt{b}+2\sqrt{a}\sqrt{b}$
$\qquad\qquad\quad\;=a+b-2\sqrt{ab}$
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})$
$\qquad\qquad\quad\;=\sqrt{a}\sqrt{a}+\sqrt{b}\sqrt{b}-2\sqrt{a}\sqrt{b}$
$\qquad\qquad\quad\;=a+b+2\sqrt{ab}$
그 외의 경우에는
a>0, b>0
a>0, b<0
a<0, b>0
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$
$\qquad\qquad\quad\;=\sqrt{a}\sqrt{a}+\sqrt{b}\sqrt{b}+2\sqrt{a}\sqrt{b}$
$\qquad\qquad\quad\;=a+b+2\sqrt{ab}$
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})$
$\qquad\qquad\quad\;=\sqrt{a}\sqrt{a}+\sqrt{b}\sqrt{b}-2\sqrt{a}\sqrt{b}$
$\qquad\qquad\quad\;=a+b-2\sqrt{ab}$
'낚시문제 (6)'에 관련 문제가 있습니다.
PS5.
3개의 경우에는
2개를 먼저 계산하면 됩니다.
$a>0,\;b>0,\;c>0$ 이면 (모두 양수)
$\sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{c}=\sqrt{ab}\sqrt{c}=\sqrt{abc}$
$\sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{c}=\sqrt{a}\sqrt{bc}=\sqrt{abc}$
$a>0,\;b>0,\;c<0$ 이면 (2개 양수, 1개 음수)
$\sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{c}=\sqrt{ab}\sqrt{c}=\sqrt{abc}$
$\sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{c}=\sqrt{a}\sqrt{bc}=\sqrt{abc}$
$a>0,\;b<0,\;c<0$ 이면 (1개 양수, 2개 음수)
$\sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{c}=\sqrt{ab}\sqrt{c}=-\sqrt{abc}$
$\sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{c}=\sqrt{a}(-\sqrt{bc})=-\sqrt{abc}$
$a<0,\;b<0,\;c<0$ 이면 (모두 음수)
$\sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{c}=(-\sqrt{ab})\sqrt{c}=-\sqrt{abc}$
$\sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{c}=\sqrt{a}(-\sqrt{bc})=-\sqrt{abc}$
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