지수 (2)

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

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문제1)

 

$3^{x}=2^{y}=6$ 일 때, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$의 값은?

 

풀이1)

 

$3^{x}=6\quad\rightarrow\quad3=6^{\frac{1}{x}}$

$2^{y}=6\quad\rightarrow\quad2=6^{\frac{1}{y}}$

 

두 식을 곱하면

 

$6=6^{\frac{1}{x}}\cdot6^{\frac{1}{y}}=6^{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$

 

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$

 

풀이2)

 

$3^{x}=6\quad\rightarrow\quad x=\log_{3}{6}$

$2^{y}=6\quad\rightarrow\quad y=\log_{2}{6}$

 

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{\log_{3}{6}}+\frac{1}{\log_{2}{6}}=\log_{6}{3}+\log_{6}{2}=\log_{6}{6}=1$

 

 

 

 

문제2)

 

$3^{x}=2^{y}=6$ 일 때, $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$의 값은?

 

풀이1)

 

$3^{x}=6\quad\rightarrow\quad3=6^{\frac{1}{x}}$

$2^{y}=6\quad\rightarrow\quad2=6^{\frac{1}{y}}$

 

두 식을 나누면

 

$\frac{3}{2}=6^{\frac{1}{x}}\div6^{\frac{1}{y}}=6^{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}$

 

$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\log_{6}{\frac{3}{2}}$

 

풀이2)

 

$3^{x}=6\quad\rightarrow\quad x=\log_{3}{6}$

$2^{y}=6\quad\rightarrow\quad y=\log_{2}{6}$

 

$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{\log_{3}{6}}-\frac{1}{\log_{2}{6}}=\log_{6}{3}-\log_{6}{2}=\log_{6}{\frac{3}{2}}$

 

 

 

 

문제3)

 

$3^{x}=2^{y}=6$ 일 때, $\frac{2}{x}+\frac{3}{y}$의 값은?

 

풀이1)

 

$3^{x}=6\quad\rightarrow\quad3=6^{\frac{1}{x}}\quad\rightarrow\quad9=6^{\frac{2}{x}}$

$2^{y}=6\quad\rightarrow\quad2=6^{\frac{1}{y}}\quad\rightarrow\quad8=6^{\frac{3}{y}}$

 

두 식을 곱하면

 

$72=6^{\frac{2}{x}}\cdot6^{\frac{3}{y}}=6^{\frac{2}{x}+\frac{3}{y}}$

 

$\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=\log_{6}{72}=2+\log_{6}{2}$

 

풀이2)

 

$3^{x}=6\quad\rightarrow\quad x=\log_{3}{6}$

$2^{y}=6\quad\rightarrow\quad y=\log_{2}{6}$

 

$\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=\frac{2}{\log_{3}{6}}+\frac{3}{\log_{2}{6}}=2\log_{6}{3}+3\log_{6}{2}=\log_{6}{72}=2+\log_{6}{2}$

 

 

 

 

문제4)

 

$3^{x}=2^{y}=6$ 일 때, $\frac{2}{x}-\frac{3}{y}$의 값은?

 

풀이1)

 

$3^{x}=6\quad\rightarrow\quad3=6^{\frac{1}{x}}\quad\rightarrow\quad9=6^{\frac{2}{x}}$

$2^{y}=6\quad\rightarrow\quad2=6^{\frac{1}{y}}\quad\rightarrow\quad8=6^{\frac{3}{y}}$

 

두 식을 나누면

 

$\frac{9}{8}=6^{\frac{2}{x}}\div6^{\frac{3}{y}}=6^{\frac{2}{x}-\frac{3}{y}}$

 

$\frac{2}{x}-\frac{3}{y}=\log_{6}{\frac{9}{8}}$

 

풀이2)

 

$3^{x}=6\quad\rightarrow\quad x=\log_{3}{6}$

$2^{y}=6\quad\rightarrow\quad y=\log_{2}{6}$

 

$\frac{2}{x}-\frac{3}{y}=\frac{2}{\log_{3}{6}}-\frac{3}{\log_{2}{6}}=2\log_{6}{3}-3\log_{6}{2}=\log_{6}{\frac{9}{8}}$

 

 

 

 

문제가 아무리 복잡해도

이런 지수 문제는 위의 4문제의 범위를 거의 벗어나지 않습니다.

 

일단 지수를 맞추고

더하기는 곱하고, 빼기는 나누고

 

지수가 편하면 풀이1로

로그가 편하면 풀이2로... 간단하죠..?!

 

좀 다르게(?) 보이는 문제

몇 개만 더 풀어볼께요~

 

 

 

 

문제5)

 

$3^{x}=2^{y}=5^{z}=10$ 일 때, $\frac{2}{x}+\frac{3}{y}-\frac{1}{z}$의 값은?

 

풀이1)

문자가 3개여도 풀이는 변함이 없습니다.

 

$3^{x}=10\quad\rightarrow\quad3=10^{\frac{1}{x}}\quad\rightarrow\quad9=10^{\frac{2}{x}}$

$2^{y}=10\quad\rightarrow\quad2=10^{\frac{1}{y}}\quad\rightarrow\quad8=10^{\frac{3}{y}}$

$5^{z}=10\quad\rightarrow\quad5=10^{\frac{1}{z}}$

 

세 식을 적당히(?) 곱하고 나누면

 

$\frac{9\cdot8}{5}=10^{\frac{2}{x}}\times10^{\frac{3}{y}}\div10^{\frac{1}{z}}=10^{\frac{2}{x}+\frac{3}{y}-\frac{1}{z}}$

 

$\frac{2}{x}+\frac{3}{y}-\frac{1}{z}=\log_{}{\frac{72}{5}}$

 

풀이2)

 

$3^{x}=10\quad\rightarrow\quad x=\log_{3}{10}$

$2^{y}=10\quad\rightarrow\quad y=\log_{2}{10}$

$5^{z}=10\quad\rightarrow\quad z=\log_{5}{10}$

 

$\frac{2}{x}+\frac{3}{y}-\frac{1}{z}=\frac{2}{\log_{3}{10}}+\frac{3}{\log_{2}{10}}-\frac{1}{\log_{5}{10}}=2\log 3+3\log 2-\log 5=\log \frac{72}{5}$

 

 

 

 

문제6)

 

$5^{x}=3,\;5^{y}=2$ 일 때, $2x+3y$의 값은?

 

풀이1)

 

$5^{x}=3\quad\rightarrow\quad5^{2x}=9$

$5^{y}=2\quad\rightarrow\quad5^{3y}=8$

 

두 식을 곱하면

 

$72=5^{2x}\times5^{3y}=5^{2x+3y}$

$2x+3y=\log_{5}{72}$

 

풀이2)

 

$5^{x}=3\quad\rightarrow\quad x=\log_{5}{3}$

$5^{y}=2\quad\rightarrow\quad y=\log_{5}{2}$

 

$2x+3y=2\log_{5}{3}+3\log_{5}{2}=\log_{5}{72}$

 

 

 

 

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