반원의 방정식

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

 

 

 

수학문제집을 보다 보면

가끔 한번씩 반원의 방정식이 등장합니다.

 

별 거 아닌데

딱히 설명해 주는 곳도 없고

많은 학생들이 어려워 하는 거 같아 잠깐 정리하겠습니다.

 

 

 

원의 방정식이야 잘 알죠.

 

$x^2+y^2=9$

 

그리라고 하면

뭐... 이렇게 그리면 되죠. 간단합니다.

 

 

 

원의 방정식을 살짝 바꿔보겠습니다.

 

$\begin{aligned}&x^2+y^2=9\\&y^2=9-x^2\\&y=\pm\sqrt{9-x^2}\\\end{aligned}$

 

따로 써 볼까요.

 

$y=\sqrt{9-x^2}\;\;또는\;\;y=-\sqrt{9-x^2}$

 

얘들이 바로 반원의 방정식입니다.

 

$y=\sqrt{9-x^2}$

원에서 y≥0인 부분

$y=-\sqrt{9-x^2}$

원에서 y≤0인 부분

위에서 얘기했듯이

뭐... 별거 아닙니다.

 

$y=\sqrt{9-x^2}$

 

이 식을 보면

 

중심: 원점(0, 0)

반지름: 3

 

이 보이죠..?

물론 원의 윗쪽으로 반원입니다.

 

 

 

x로 식을 바꾸는 건

문제집에서 본 적이 없는데

 

그래도 기왕에 나온 김에

딱 한번만 할께요.

 

$\begin{aligned}&x^2+y^2=9\\&x^2=9-y^2\\&x=\pm\sqrt{9-y^2}\\\end{aligned}$

 

역시 따로 써보면

 

$x=\sqrt{9-y^2}\;\;또는\;\;x=-\sqrt{9-y^2}$

 

뭔가 머리 속에 떠오르는 그림이 있나요?

 

$x=\sqrt{9-y^2}$

원에서 x≥0인 부분

$x=-\sqrt{9-y^2}$

원에서 x≤0인 부분

 

 

 

연습해 볼까요.

 

$(x-3)^{2}+y^{2}=4$

중심 (3, 0), 반지름 2인 원

$y=\sqrt{4-(x-3)^2}$

중심 (3, 0), 반지름 2인 위쪽 반원

$y=-\sqrt{4-(x-3)^2}$

중심 (3, 0), 반지름 2인 아래쪽 반원

눈에 팍팍 들어오죠? 믿습니다. ;;

 

 

 

아직 안 끝났습니다.

 

그럼 얘의 중심과 반지름은요?

 

$y=\sqrt{-x^2+6x-5}$

 

얘는 완전히 다르다구요?

음... 그럼 완전제곱식으로 바꿔볼께요.

 

$\begin{aligned}y&=\sqrt{-x^2+6x-5}\\&=\sqrt{-(x^2-6x+9-9)-5}\\&=\sqrt{-(x-3)^{2}+4}\\\end{aligned}$

 

이래도 안 보이나요?

그럼 4를 앞으로 옮길께요.

 

$\;\;\;=\sqrt{4-(x-3)^{2}}$

 

앞에 나온 식과 똑같은 식입니다. ㅎ

 

못 보던 식이 나왔다고 당황하지 말고

식을 이렇게저렇게 바꿔보세요~

 

그럼 뭔가 실마리가 보인답니다.

말은 쉽죠. 뭐... ;;

 

 

 

마지막으로 하나 더

 

$(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=1$

중심 (3, 2), 반지름 1인 원

$y=\sqrt{1-(x-3)^2}+2$

중심 (3, 2), 반지름 1인 위쪽 반원

$y=-\sqrt{1-(x-3)^2}+2$

중심 (3, 2), 반지름 1인 아래쪽 반원

뒤에 +2는 뭐야? 하고

고민하고 있는 분은 안 계시죠..?!

 

식을 직접 바꿔보세요.

바로 이해가 될 거예용~

 

$y=\sqrt{-x^2+6x-8}+2$

이 식도 완전제곱식으로 바꿔보면

 

$y=\sqrt{1-(x-3)^2}+2$

와 같은 식입니다.

 

역시 여러분이 직접 바꿔보세요~

저는 여기서 끄읏~~ ^-^//

 

 

 

 

 

 

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