이차부등식의 해 (1)

 

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

 

 

 

x²-4x+3<0을 풀라고 하면

(x-1)(x-3)<0

1<x<3

 

x²-4x+3>0을 풀라고 하면

(x-1)(x-3)>0

x<1 또는 x>3

 

이차부등식 끄읏~~ 했으면 좋겠는데

이차부등식이 그케 간단치가 않습니다. ㅠ

 

이제부터

하나하나 차근차근 풀어볼께요~

 

 

 

여러분은 

이차부등식을 어케 푸시는지...

 

위에서 푼 것처럼

일단 인수분해하고

 

0보다 작으면  →  두 근 사이

 

(x-1)(x-3)<0

1<x<3

 

0보다 크면  →  (작은 근보다 작거나) 또는 (큰 근보다 크거나)

 

(x-1)(x-3)>0

x<1 또는 x>3

 

가장 무난한 방법이고

대부분의 학생들이 이렇게 푸는 것 같습니다.

 

그런데 이차부등식이

근은 존재하는데 인수분해가 안 되면?

 

또, 이차부등식이 아예

근이 존재하지 않으면?

 

이 지점에서 갑자기

이차부등식이 머리 아파집니다.

 

이런 문제들을 푸는 방법이

몇 가지 있지만

 

다 생략하고

그래프를 이용해서 풀어보겠습니다.

 

 

 

다시 처음 문제로 돌아가서

 

x²-4x+3<0

 

좌변의 이차식을 이차함수로 생각하고

 

y=x²-4x+3

 

x절편을 일단 구합니다.

꼭지점, y절편은 관심없습니다. 여기서 필요한 건 x절편 뿐..!!

 

x절편

어케 구하는지 알죠..?!

 

y에 0을 대입하고 풀면

 

x²-4x+3=0

(x-1)(x-3)=0

x=1 또는 x=3

 

이제 그래프를 그립니다. 요렇게

이제 문제를 풀어보면

 

x²-4x+3<0  →  1<x<3

x²-4x+3>0  →  x<1 또는 x>3

 

그래프를 보면 답이 딱 보이죠..?!

('그래프 읽기 (1)'을 참고해 주세요~)

 

이해는 여러분 몫이구요.

저는 계속 고고합니다~ ;;

 

 

 

이번에는

 

근은 존재하는데

인수분해가 되지 않는 이차부등식

 

x²-4x+1<0

 

한번 풀어볼까요.

 

x절편을 구해보면

 

x²-4x+1=0

x=2+√3 또는 x=2-√3

 

그래프를 그려보면

x²-4x+1<0  →  2-√3<x<2+√3

x²-4x+1>0  →  x<2-√3 또는 x>2+√3

 

쉽죠..?!

 

이걸 이렇게 안 풀고

완전제곱식으로 고쳐서 풀기도 하는데

 

x²-4x+1<0

(x-2)²<3

-√3<x-2<√3

2-√3<x<2+√3

 

별로 권하지는 않습니다.

 

 

 

이번에는 아예

근이 존재하지 않는 이차부등식

 

x²-4x+5<0

 

한번 풀어보겠습니다.

 

음... 판별식이 0보다 작네요.

 

D/4 = (-2)²-5 = -1<0

 

그럼 근이 없다는 소리고

다시 말해... x축과 만나지 않는다는 거..!!

 

그럼 그래프는 이렇게 그려지겠죠.

굳이 불안하면(?)

꼭지점을 구해서 그려도 됩니다.

 

y=x²-4x+5

=(x-2)²+1

 

꼭지점의 좌표는 (2, 1)

암튼, 중요한 건

x축과 만나지 않는다는 거..!!

 

문제를 풀어 보면

 

x²-4x+5<0의 해는 없다.

x²-4x+5>0의 해는 모든 실수

 

 

 

정리해 보면

 

x²-4x+1<0 과 x²-4x+5<0

 

두 부등식 모두

인수분해가 되지 않지만

 

x²-4x+1<0 얘는 해가 존재하고 (2-√3<x<2+√3)

x²-4x+5<0 얘는 해가 존재하지 않습니다.

 

어케 구분하죠?

 

이차방정식으로 생각하면

 

x²-4x+1=0 얘는 판별식이 0보다 크고 (즉, 근이 존재하고)

D/4 = (-2)²-1 = 3>0

 

x²-4x+5=0 얘는 판별식이 0보다 작고 (즉, 근이 존재하지 않고)

D/4 = (-2)²-5 = -1<0

 

 

 

아래의 경우는

여러분이 생각해 보세요~

 

x²=0  →  x=0

x²>0  →  x≠0인 모든 실수

x²≥0  →  모든 실수

x²<0  →  해가 없다

x²≤0  →  x=0

 

(x-2)²=0  →  x=2

(x-2)²>0  →  x≠2인 모든 실수

(x-2)²≥0  →  모든 실수

(x-2)²<0  →  해가 없다

(x-2)²≤0  →  x=2

 

x²=3  →  x=√3 또는 x=-√3

x²<3  →  -√3<x<√3

x²>3  →  x<-√3 또는 x>√3

 

x²<3를 이렇게 풀기도 하는데... 굳이...

x²-3<0

(x+√3)(x-√3)<0

-√3<x<√3

 

(x-2)²=3  →  x-2=√3 또는 x-2=-√3  →  x=2+√3 또는 x=2-√3

(x-2)²<3  →  -√3<x-2<√3                  →  2-√3<x<2+√3

(x-2)²>3  →  x-2<-√3 또는 x-2>√3  →  x<2-√3 또는 x>2+√3

 

 

 

PS.

이차부등식과는 관계가 없지만

비스무리한 절댓값 풀이..!!

 

|x|=3  →  x=3 또는 x=-3

|x|<3  →  -3<x<3

|x|>3  →  x<-3 또는 x>3

 

|x-2|=3  →  x-2=3 또는 x-2=-3  →  x=5 또는 x=-1

|x-2|<3  →  -3<x-2<3                  →  -1<x<5

|x-2|>3  →  x-2<-3 또는 x-2>3  →  x<-1 또는 x>5

 

이걸 양변 제곱해서

푸는 학생들이 많이 있습니다.

 

|x-2|<3

x²-4x+4<9

x²-4x-5<0

(x+1)(x-5)<0

-1<x<5

 

이케 푸는 건 이제 그만~ !!

 

 

 

여기까지요~ ^-^//

 

 

 

 

 

 

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