이차부등식의 해 (2)

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

 

 

 

이차함수의 그래프는 6가지가 전부입니다.

a>0  D=b²-4ac<0	a>0  D=b²-4ac=0	a>0  D=b²-4ac>0
a<0  D=b²-4ac<0	a<0  D=b²-4ac=0	a<0  D=b²-4ac>0

 

 

 

ax²+bx+c>0 -------------------------------------------------

 

① 해가 모든 실수가 되려면

 

a>0

D=b²-4ac<0

 

② 해가 존재하지 않으려면

 

a<0

D=b²-4ac≤0

 

③ 해가 오직 한 개만 존재할 수는 없다.

 

④ 해가 존재하려면

 

a>0

 

a<0

D=b²-4ac>0

 

 

 

ax²+bx+c≥0 -------------------------------------------------

 

① 해가 모든 실수가 되려면

 

a>0

D=b²-4ac≤0

 

② 해가 존재하지 않으려면

 

a<0

D=b²-4ac<0

 

③ 해가 오직 한 개만 존재하려면

 

a<0

D=b²-4ac=0

 

④ 해가 존재하려면

 

a>0

 

a<0

D=b²-4ac≥0

 

 

 

ax²+bx+c<0 -------------------------------------------------

 

① 해가 모든 실수가 되려면

 

a<0

D=b²-4ac<0

 

② 해가 존재하지 않으려면

 

a>0

D=b²-4ac≤0

 

③ 해가 오직 한 개만 존재할 수는 없다.

 

④ 해가 존재하려면

 

a<0

 

a>0

D=b²-4ac>0

 

 

 

ax²+bx+c≤0 -------------------------------------------------

 

① 해가 모든 실수가 되려면

 

a<0

D=b²-4ac≤0

 

② 해가 존재하지 않으려면

 

a>0

D=b²-4ac<0

 

③ 해가 오직 한 개만 존재하려면

 

a>0

D=b²-4ac=0

 

④ 해가 존재하려면

 

a<0

 

a>0

D=b²-4ac≥0

 

 

 

위의 모든 경우는

이차항의 계수 a가 0이 아니라는 조건에서 이야기한 것입니다.

 

이차항의 계수 a가 0인 경우에는

문제마다 상황을 보고 풀어야 합니다.

 

 

 

문제1)

이차부등식 (a-1)x²+2(a-1)x-3<0이

모든 실수 x에 대하여 성립할 때, 실수 a의 값의 범위는?

 

a-1<0  →  a<1

 

D/4=(a-1)²+3(a-1)<0

(a+2)(a-1)<0  →  -2<a<1

 

따라서, 답은

-2<a<1

 

 

 

문제2)

부등식 (a-1)x²+2(a-1)x-3<0이

모든 실수 x에 대하여 성립할 때, 실수 a의 값의 범위는?

 

문제1과 같다구요?

아니요, 다릅니다..!!

 

문제1에서는 '이차부등식'이라고 했기 때문에

이차항의 계수 (a-1)이 0이 아니라는 조건이 있는 것입니다.

 

다시 말해

 

a는 1이 아니기 때문에

a가 1인 경우는 확인할 필요가 없었습니다.

 

하지만

 

문제2는 그냥 '부등식'이라고만 했기 때문에

a=1인 경우도 확인해 봐야 합니다.

 

a=1 이면

0·x²+0·x-3<0

 

부등식이

모든 실수 x에 대하여 성립합니다..!!

 

따라서, 답은

-2<a≤1

 

 

 

문제의 경우가 너무 많습니다.

저는 요기까지요~ ^-^//

 

 

 

 

 

 

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