무연근

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

$\sqrt{x}=x-2$

 

이거 어케 풀죠?

양변 제곱..!!

 

$\begin{aligned}&\sqrt{x}=x-2\\&x=x^{2}-4x+4\\&x^{2}-5x+4=0\\&(x-1)(x-4)=0\\&\therefore\;x=1\;또는\;x=4\\\end{aligned}$

 

이렇게 끝났으면 좋겠는데

문제가 발생합니다.

 

처음 방정식에

 

$\sqrt{x}=x-2$

 

x=4를 대입하면 → 2=2

방정식이 성립하지만

 

x=1을 대입하면 → 1≠-1

방정식이 성립하지 않습니다.

 

따라서, 답안지에는

x=1과 x=4를 모두 쓰면 안 되고

x=4만 써야 합니다..!!

 

 

문제를 열심히 풀어서 답이 나왔는데

이와 같이 엉터리답(가짜답)이 나오는 경우가 있습니다.

 

이 가짜답을

무연근이라고 부릅니다.

 

무연근이 생기는 이유는 몇 가지가 있지만

여기서는 양변을 제곱했기 때문입니다.

 

A=B를 풀어야 하는데

 

제곱해서

 

$\begin{aligned}&A^{2}=B^{2}\\&A^{2}-B^{2}=0\\&(A-B)(A+B)=0\\&\therefore\;A=B\;또는\;A=-B\\\end{aligned}$

 

이렇게 풀면

 

처음에 풀려던

A=B 뿐만 아니라

 

의도치 않았던

A=-B가 따라 나옵니다.

 

따라서, 답을 쓸 때는

A=-B는 버리고

A=B만 써야하는 것입니다.

 

 

잠깐 옆으로 새서

 

$y=x^{2},\;\;y=3x-2$

두 그래프가 만나는 교점의 좌표는?

 

$\begin{aligned}&x^{2}=3x-2\\&x^{2}-3x+2=0\\&(x-1)(x-2)=0\\&\therefore\;x=1\;또는\;x=2\\\end{aligned}$

 

따라서, 교점의 좌표는

(1, 1)과 (2, 4)

 

 

그럼 이 문제는요.

 

$y=\sqrt{x},\;\;y=x-2$

두 그래프가 만나는 교점의 좌표는?

 

$\begin{aligned}&\sqrt{x}=x-2\\&x=x^{2}-4x+4\\&x^{2}-5x+4=0\\&(x-1)(x-4)=0\\&\therefore\;x=1\;또는\;x=4\\\end{aligned}$

 

x=1은 성립하지 않으니까 (무연근이니까) 버리고

x=4

 

따라서, 교점의 좌표는

(4, 2)

 

이렇게 풀면 되는데... 문제는

 

현 교육과정에서는

무연근이란 용어 자체가 등장하지 않기 때문에

이런 풀이를 문제집에서 볼 수가 없다는 것입니다.

 

그래서 풀이집을 보면

식은 똑같이 풀어놓고

 

$\begin{aligned}&\sqrt{x}=x-2\\&x=x^{2}-4x+4\\&x^{2}-5x+4=0\\&(x-1)(x-4)=0\\&\therefore\;x=1\;또는\;x=4\\\end{aligned}$

 

무연근은

그림(그래프)으로 설명합니다.

 

그래프를 그려보면

x=1은 성립하지 않는다.

 

따라서, 교점의 좌표는

(4, 2)이다. 라고

 

이런 풀이가

안 좋다거나 잘못됐다는 의미가 아닙니다.

 

이런 무연근의 문제가 발생하므로

그래프를 그려서 확인하는 것도 좋은 방법입니다.

 

저는 다만

그래프를 그리지 않고도 간단히(?) 풀 수 있다

라는 말하고 싶을 뿐... ;;

 

암튼

방정식을 제곱해서 풀 때는

무연근을 항상 조심하세요~

 

그리고

제곱해서 풀었다고해서

무연근이 반드시 나오는 건 아닙니다.

나올 수도 있고

안 나올 수도 있고

 

 

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무연근은

유리방정식(분수방정식)에서도 등장합니다.

 

$\frac{x}{x-1}+\frac{1}{x-2}=\frac{1}{(x-1)(x-2)}$

 

양변에 (x-1)(x-2)를 곱하면

 

$\begin{aligned}&x(x-2)+(x-1)=0\\&x^{2}-x-2=0\\&(x-2)(x+1)=0\\&\therefore\;x=2\;또는\;x=-1\\\end{aligned}$

 

그런데 x=2는

분모를 0으로 만들기 때문에 무연근입니다.

따라서, 답안지에는 x=-1만 써야 합니다.

 

여기에서 무연근이 생기는 이유는

$\frac{1}{A}=\frac{1}{B}$을 풀어야 하는데

 

양변에 C를 곱해줘서

 

$\begin{aligned}&\frac{1}{A}=\frac{1}{B}\\&\frac{C}{A}=\frac{C}{B}\\&\frac{C}{A}-\frac{C}{B}=0\\&C(\frac{1}{A}-\frac{1}{B})=0\\&\therefore\;C=0\;또는\;\frac{1}{A}=\frac{1}{B}\\\end{aligned}$

 

이렇게 풀면

 

처음에 풀려던

$\frac{1}{A}=\frac{1}{B}$ 뿐만 아니라

 

의도치 않았던

C=0이 따라 나오기 때문입니다.

 

따라서, 답을 쓸 때는

C=0은 버리고 써야하는 것입니다.

 

 

우리가 방정식에서

양변에 어떤 수를 곱할 때는

곱하는 그 수가 0이 아니라는 가정하에 곱해주는 것입니다.

 

위에서 x=2는

분모를 0으로 만들기 때문에 무연근이라고 했지만

 

개념대로 정확히 말하면 (같은 말이지만)

 

x=2는

곱한 식 (x-1)(x-2)가 0이 되기 때문에 무연근인 것입니다.

 

 

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무연근은 또

로그방정식에서도 등장합니다.

 

$\log(x+3)+\log(x-1)=\log5$를 풀어보면

 

$\begin{aligned}&\log(x+3)(x-1)=\log5\\&(x+3)(x-1)=0\\&x^{2}+2x-8=0\\&(x-2)(x+4)=0\\&\therefore\;x=2\;또는\;x=-4\\\end{aligned}$

 

그런데 x=-4일 때

두 진수 (x+3)과 (x-1)이 모두 음수가 되기 때문에

(물론 둘 중에 하나라도 음수가 되면 안 됩니다.)

 

다시 말해

 

x=-4에서 정의가 되지 않기 때문에

x=-4는 무연근입니다.

 

따라서, 답은 x=2

 

여기서는 딱히 더 이야기할 게 없네요. ;;

 

 

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마지막으로

 

절댓값이 들어있는 방정식에서도

무연근이 등장하는 경우가 있습니다.

 

 

이야기를 시작하기 전에

먼저 사전준비..!!

 

x가 양수이건 음수이건 상관없이

|x|²=x²은 무조건 성립합니다.

 

따라서, |x+1|을 제곱하라고 하면

그냥 이렇게 하면 됩니다.

 

$|x+1|^{2}=(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$

 

 

이제 문제 풀어볼께요.

 

$|x+1|=2x-5$를 풀어보면

 

$\begin{aligned}&|x+1|^{2}=(2x-5)^{2}\\&x^{2}+2x+1=4x^{2}-20x+25\\&3x^{2}-22x+24=0\\&(x-6)(3x-4)=0\\&\therefore\;x=6\;또는\;x=\frac{4}{3}\\\end{aligned}$

 

어김없이(?) 문제가 발생합니다.

 

처음 방정식에

 

$|x+1|=2x-5$

 

x=6을 대입하면 → 7=7

방정식이 성립하지만

 

$x=\frac{4}{3}$를 대입하면 → $ \frac{7}{3}\neq-\frac{7}{3}$

방정식이 성립하지 않습니다.

 

따라서, 답안지에는

$x=\frac{4}{3}$ 는 버리고

x=6만 써야 합니다..!!

 

 

그런데

 

$|x+1|=2x-5$

 

이 문제를 위와 같이

양변을 제곱해서 푸는 문제집은 거의 없습니다.

 

위에서도 말씀드렸다시피

현 교육과정에서는 무연근이란 개념이 없기 때문입니다.

 

그렇기 때문에

여러분은 제곱해서 풀면 안 되고

이렇게 풀어야 합니다. 서술형이라면..!!

 

'절댓값 (1)' 문제3에 풀이가 있습니다.

 

(절댓값에 대한 기본적이고 중요한 내용들이 들어 있습니다.

문제3만 달랑 보지 마시고 글 전체를 읽어보실 것을 강력 권장합니다..!!)

 

하지만

단답형이거나 객관식이라면

여러분 취향에 따라 풀어도 아무런 문제가 없습니다.

 

 

사실 절댓값에 관해서는 할 이야기가 너무 많습니다.

앞으로 찬찬히(?) 하는 걸로 하고

 

이 글은 여기까지 입니다. ^-^//

 

 

 

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