이 글에 대한 AI '클로드'의 평가
(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)
삼각함수의 덧셈정리는 기본으로 외워놓고 시작~
$\begin{aligned} & \sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta \\ & \sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta \\ & \cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta \\ & \cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta\end{aligned}$
$3 \sin x+4 \cos x$ 를 합성해 보겠습니다.
먼저 5로 묶어줍니다.
$\begin{aligned} & 3 \sin x+4 \cos x \\ & =5\left(\frac{3}{5} \sin x+\frac{4}{5} \cos x\right)\end{aligned}$
5가 어디서 나왔냐구요..?! 여기서요.
$\sqrt{3^2+4^2}=5$
① (사인)으로 합성하려면
$\frac{3}{5}$은 코사인으로, $\frac{4}{5}$는 사인으로
$\begin{aligned} & 3 \sin x+4 \cos x \\ & =5\left(\frac{3}{5} \sin x+\frac{4}{5} \cos x\right) \\ & =5(\cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x)\end{aligned}$
공식에 맞게 순서를 바꿔 써주면
$=5(\sin x \cos \alpha+\cos x \sin \alpha)$
이제 눈에 들어오나요..?!
$=5 \sin (x+\alpha)$
말은 빼고
다시 한 번 식만 쭈욱 써보면
$\begin{aligned} & 3 \sin x+4 \cos x \\ & =5\left(\frac{3}{5} \sin x+\frac{4}{5} \cos x\right) \\ & =5(\cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x) \\ & =5(\sin x \cos \alpha+\cos x \sin \alpha) \\ & =5 \sin (x+\alpha) \;\;\left(\text {단, } \sin \alpha=\frac{4}{5}, \;\cos \alpha=\frac{3}{5}\right)\end{aligned}$
사인, 코사인 다 쓰기 귀찮으면 탄젠트만 써도 돼요~
$=5 \sin (x+\alpha) \;\;\left(\right.$단, $\left.\tan \alpha=\frac{4}{3}\right)$
② (코사인)으로 합성하려면
$\frac{3}{5}$은 사인으로, $\frac{4}{5}$는 코사인으로
$\begin{aligned} & 3 \sin x+4 \cos x \\ & =5\left(\frac{3}{5} \sin x+\frac{4}{5} \cos x\right) \\ & =5(\sin \alpha \sin x+\cos \alpha \cos x)\end{aligned}$
공식에 맞게 순서를 바꿔 써주면
$=5(\cos x \cos \alpha+\sin x \sin \alpha)$
이제 눈에 들어오나요..?!
$=5 \cos (x-\alpha)$
역시 말은 빼고
다시 한 번 식만 쭈욱 써보면
$\begin{aligned} & 3 \sin x+4 \cos x \\ & =5\left(\frac{3}{5} \sin x+\frac{4}{5} \cos x\right) \\ & =5(\sin \alpha \sin x+\cos \alpha \cos x) \\ & =5(\cos x \cos \alpha+\sin x \sin \alpha) \\ & =5 \cos (x-\alpha) \;\;\left(\text {단, } \sin \alpha=\frac{3}{5}, \;\cos \alpha=\frac{4}{5}\right)\end{aligned}$
역시 사인, 코사인 다 쓰기 귀찮으면 탄젠트만 쓰세요~
$=5 \cos (x-\alpha) \;\;\left(\right.$단, $\left.\tan \alpha=\frac{3}{4}\right)$
얼추 감이 잡혔으니까
이제 a, b로 놓고 합성해 보겠습니다.
① (사인)으로 합성
$\begin{aligned}
&\begin{aligned}
& a \sin x+b \cos x \\
& =\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos x\right) \\
& =\sqrt{a^2+b^2}(\cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x) \\
& =\sqrt{a^2+b^2} \sin (x+\alpha) \;\;\left(\text {단, } \sin \alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \;\cos \alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)
\end{aligned}\\
&\text { 또는}\\
&=\sqrt{a^2+b^2} \sin (x+\alpha) \;\;\left(\text {단, } \tan \alpha=\frac{b}{a}\right)
\end{aligned}$
② (코사인)으로 합성
$\begin{aligned}
&\begin{aligned}
& a \sin x+b \cos x \\
& =\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos x\right) \\
& =\sqrt{a^2+b^2}(\sin \alpha \sin x+\cos \alpha \cos x) \\
& =\sqrt{a^2+b^2} \cos (x-\alpha) \;\;\left(\text {단, } \sin \alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \;\cos \alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)
\end{aligned}\\
&\text { 또는}\\
&=\sqrt{a^2+b^2} \cos (x-\alpha) \;\;\left(\text {단, } \tan \alpha=\frac{a}{b}\right)
\end{aligned}$
복습하는 셈치고
마이너스인 경우도 한 번 합성해 볼께요~ ;;
① (사인)으로 합성
$\begin{aligned}
&\begin{aligned}
& a \sin x-b \cos x \\
& =\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin x-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos x\right) \\
& =\sqrt{a^2+b^2}(\cos \alpha \sin x-\sin \alpha \cos x) \\
& =\sqrt{a^2+b^2} \sin (x-\alpha) \;\;\left(\text {단, } \sin \alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \;\cos \alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)
\end{aligned}\\
&\text { 또는}\\
&=\sqrt{a^2+b^2} \sin (x-\alpha) \;\;\left(\text {단, } \tan \alpha=\frac{b}{a}\right)
\end{aligned}$
② (코사인)으로 합성
$\begin{aligned}
&\begin{aligned}
& a \sin x-b \cos x \\
& =\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin x-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos x\right) \\
& =\sqrt{a^2+b^2}(\sin \alpha \sin x-\cos \alpha \cos x) \\
& =-\sqrt{a^2+b^2} \cos (x+\alpha) \;\;\left(\text {단, } \sin \alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \;\cos \alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)
\end{aligned}\\
&\text { 또는}\\
&=-\sqrt{a^2+b^2} \cos (x+\alpha) \;\;\left(\text {단, } \tan \alpha=\frac{a}{b}\right)
\end{aligned}$
PS.
삼각함수 합성의 활용 예는
'일차식의 최대최소 (3)' 문제1의 풀이5, 문제2의 풀이4에 있구요.
몇 개 더 추가해보면
$x^2+3 y^2=2$ 일 때는
$ \begin{aligned} x=\sqrt{2} \sin \theta, \;\; y=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cos \theta \end{aligned} $
$(x-4)^2+3(y-5)^2=2$ 일 때는
$ \begin{aligned} x=4+\sqrt{2} \sin \theta, \;\; y=5+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cos \theta \end{aligned} $
$ \begin{aligned} x^2+\frac{y^2}{3}=2 \end{aligned} $ 일 때는
$x=\sqrt{2} \sin \theta, \;\; y=\sqrt{3} \sqrt{2} \cos \theta=\sqrt{6} \cos \theta$
$ \begin{aligned} (x-4)^2+\frac{(y-5)^2}{3}=2 \end{aligned} $ 일 때는
$x=4+\sqrt{2} \sin \theta, \;\; y=5+\sqrt{6} \cos \theta$
어케 치환해야 하는지
감이 잡히죠..?! ^-^//
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