항등식 (4)

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

문제1)

실수 x의 값에 관계없이 $\frac{2x^2+bx+1}{ax^2+3x-1}$의 값이 항상 일정할 때

상수 a, b의 값은? ($ax^2+3x-1\neq0$)

 

풀이1)

일정한 값을 k라고 하면

 

$\begin{aligned}&\frac{2x^2+bx+1}{ax^2+3x-1}=k\\&2x^2+bx+1=k(ax^2+3x-1)\\&(2-ak)x^2+(b-3k)x+1+k=0\\\end{aligned}$

 

x에 대한 항등식이므로 (x의 값에 관계없다고 했으니까)

2-ak=0, b-3k=0, 1+k=0 → k=-1, a=-2, b=-3

 

풀이2)

x의 값에 관계없이 항상 일정한 값을 가진다고 했으므로

x에 아무 값이나 대입해도 모두 값이 같아야 합니다.

 

x=0, x=2, x=-1을 대입해보면

 

$\frac{1}{-1}=\frac{2b+9}{4a+5}=\frac{-b+3}{a-4}\quad\rightarrow\quad a=-2,\;\;b=-3$

 

풀이3)

항상 일정한 값을 가지려면

 

$\frac{2}{a}=\frac{b}{3}=\frac{1}{-1}\quad\rightarrow\quad a=-2,\;\;b=-3$

 

 

 

문제2)

실수 x, y의 값에 관계없이 $\frac{ax+by-3}{3x+2y-1}$의 값이 항상 일정할 때

상수 a, b의 값은? ($3x+2y-1\neq0$)

 

풀이1)

일정한 값을 k라고 하면

 

$\begin{aligned}&\frac{ax+by-3}{3x+2y-1}=k\\&ax+by-3=k(3x+2y-1)\\&(a-3k)x+(b-2k)y-3+k=0\\\end{aligned}$

 

x, y에 대한 항등식이므로 (x, y의 값에 관계없다고 했으니까)

a-3k=0, b-2k=0, -3+k=0 → k=3, a=9, b=6

 

풀이2)

x, y의 값에 관계없이 항상 일정한 값을 가진다고 했으므로

x, y에 아무 값이나 대입해도 모두 값이 같아야 합니다.

 

(x, y)=(0, 0), (1, 0), (0, 1)을 대입해보면

 

$\frac{-3}{-1}=\frac{a-3}{2}=\frac{b-3}{1}\quad\rightarrow\quad a=9,\;\;b=6$

 

풀이집을 보면 대부분 풀이1로 풀었는데

풀이2가 좀 더 편하지 않나요..?! ;;

 

풀이3)

항상 일정한 값을 가지려면

 

$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}=\frac{-3}{-1}\quad\rightarrow\quad a=9,\;\;b=6$

 

 

 

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