이 글에 대한 AI '클로드'의 평가
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문제)
다항식 P(x)를 (x-2)²으로 나누었을 때의 나머지가 (x+3)이고
(x+1)로 나누었을 때의 나머지가 20이다.
다항식 P(x)를 (x-2)²(x+1)로 나누었을 때의 나머지는?
풀이1)
$P(x)=(x-2)^2(x+1)Q(x)+ax^2+bx+c$
이 P(x)가 (x-2)²으로 나누었을 때, 나머지가 (x+3)이 되려면
식이 이케 되어야 합니다.
$\begin{aligned}P(x)&=(x-2)^2(x+1)Q(x)+ax^2+bx+c\\&=(x-2)^2(x+1)Q(x)+a(x-2)^2+x+3\\\end{aligned}$
그래야 (x-2)²으로 나누었을 때, 나머지가 (x+3)이 되거든요.
$\begin{aligned}P(x)&=(x-2)^2(x+1)Q(x)+ax^2+bx+c\\&=(x-2)^2(x+1)Q(x)+a(x-2)^2+x+3\\&=(x-2)^2\{(x+1)Q(x)+a\}+x+3\\\end{aligned}$
어찌보면 간단하고 당연한(?) 얘기인데
많은 학생들이 이해하는데 어려움을 겪는 것 같습니다. ㅠ
암튼 그래서 이런 문제는 아예 첨부터
이케 놓고 시작하면 됩니다.
$P(x)=(x-2)^2(x+1)Q(x)+a(x-2)^2+x+3$
그리고 x=-1을 대입하면
P(-1)=9a+2=20 → a=2
따라서
P(x)를 (x-2)²(x+1)로 나누었을 때의 나머지는
2(x-2)²+x+3 = 2x²-7x+11
앞으로 여러분은
마지막 6줄로 이 문제를 풀어버리세요~ ;;
풀이2)
$P(x)=(x-2)^2(x+1)Q(x)+ax^2+bx+c$
구하려는 미지수는 a, b, c 3개인데
주어진 조건은 2개입니다.
$\begin{aligned}&P(x)=(x-2)^2Q_{1}(x)+x+3\quad\rightarrow\quad P(2)=5\\&P(x)=(x+1)Q_{2}(x)+20\;\;\,\qquad\rightarrow\quad P(-1)=20\\\end{aligned}$
식이 하나가 부족합니다. ㅠ
그래서 (ax²+bx+c)를 (x-2)²으로 직접 나눠보겠습니다.
그럼 식을 이케 쓸 수 있고
$\begin{aligned}P(x)&=(x-2)^2(x+1)Q(x)+ax^2+bx+c\\&=(x-2)^2(x+1)Q(x)+a(x-2)^2+(4a+b)x-4a+c\\&=(x-2)^2\{(x+1)Q(x)+a\}+(4a+b)x-4a+c\\\end{aligned}$
(x-2)²으로 나누었을 때, 나머지가 (x+3)이 되려면
4a+b=1, -4a+c=3
이 방정식 2개와
앞에서 나왔던 조건 2개를
P(2)=5 → 4a+2b+c=5
P(-1)=20 → a-b+c=20
연립해서 풀면 ('연립방정식 (1)' 참고요~)
a=2, b=-7, c=11
따라서
P(x)를 (x-2)²(x+1)로 나누었을 때의 나머지는
2x²-7x+11
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