이 글에 대한 AI '클로드'의 평가
(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)
방정식 x³=1의 한 허근을 ω라 할 때
이 문장 하나로 식이 최소 5개가 나옵니다.
ω가
x³=1 이 방정식의 근이므로
대입하면 성립합니다.
ω³=1
이 방정식을 인수분해하면
x³-1=0
(x-1)(x²+x+1)=0
ω는 허근이라고 했으니까 (ω≠1)
ω는 x²+x+1=0의 한 허근입니다.
ω²+ω+1=0
$\omega$가 $x^{2}+x+1=0$의 한 허근이면
$\overline{\omega}$도 $x^{2}+x+1=0$의 한 허근입니다.
$\overline{\omega}^{2}+\overline{\omega}+1=0$
$x^{2}+x+1=0$의 두 근이 $\omega,\;\overline{\omega}$이므로
$\omega+\overline{\omega}=-1$
$\omega\overline{\omega}=1$
식 5개가 모두 나왔습니다.
정리해보면
$\begin{aligned}&\omega^{3}=1\\&{\omega}^{2}+{\omega}+1=0\\&\overline{\omega}^{2}+\overline{\omega}+1=0\\&\omega+\overline{\omega}=-1\\&\omega\overline{\omega}=1\\\end{aligned}$
하나 더 있죠..?!
방정식 x³=-1의 한 허근을 ω라 할 때
역시 이 문장 하나로 식이 최소 5개가 나옵니다.
똑같은 과정을 밟아보면
ω가
x³=-1 이 방정식의 근이므로
대입하면 성립합니다.
ω³=-1
이 방정식을 인수분해하면
x³+1=0
(x+1)(x²-x+1)=0
ω는 허근이라고 했으니까 (ω≠-1)
ω는 x²-x+1=0의 한 허근입니다.
ω²-ω+1=0
$\omega$가 $x^{2}-x+1=0$의 한 허근이면
$\overline{\omega}$도 $x^{2}-x+1=0$의 한 허근입니다.
$\overline{\omega}^{2}-\overline{\omega}+1=0$
$x^{2}-x+1=0$의 두 근이 $\omega,\;\overline{\omega}$이므로
$\omega+\overline{\omega}=1$
$\omega\overline{\omega}=1$
식 5개가 모두 나왔습니다.
정리해보면
$\begin{aligned}&\omega^{3}=-1\\&{\omega}^{2}-{\omega}+1=0\\&\overline{\omega}^{2}-\overline{\omega}+1=0\\&\omega+\overline{\omega}=1\\&\omega\overline{\omega}=1\\\end{aligned}$
같은 조건을 다르게 주기도 합니다.
아래 두 조건은 같은 말입니다.
① 방정식 x³=1의 한 허근을 ω라 할 때
② $\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$일 때
식을 변형해 볼께요.
$\begin{aligned}&\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\\&2\omega=-1+\sqrt{3}i\\&2\omega+1=\sqrt{3}i\\&4{\omega}^{2}+4{\omega}+1=-3\\&4{\omega}^{2}+4{\omega}+4=0\\&{\omega}^{2}+{\omega}+1=0\\&(\omega-1)({\omega}^{2}+{\omega}+1)=0\\&\omega^{3}-1=0\\&\omega^{3}=1\\\end{aligned}$
마찬가지로
아래 두 조건도 같은 말입니다.
① 방정식 x³=-1의 한 허근을 ω라 할 때
② $\omega=\frac{1-\sqrt{3}i}{2}$일 때
역시 식을 변형해보면
$\begin{aligned}&\omega=\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\\&2\omega=1-\sqrt{3}i\\&2\omega-1=-\sqrt{3}i\\&4{\omega}^{2}-4{\omega}+1=-3\\&4{\omega}^{2}-4{\omega}+4=0\\&{\omega}^{2}-{\omega}+1=0\\&(\omega+1)({\omega}^{2}-{\omega}+1)=0\\&\omega^{3}+1=0\\&\omega^{3}=-1\\\end{aligned}$
이제 교과서와 문제집에 나오는
이런저런 문제들을 풀면서 감을 잡아 보겠습니다.
문제)
방정식 x³=1의 한 허근을 ω라 할 때, 다음 값을 구하시오.
문제 풀이의 원칙은 딱 한가지입니다.
3차 이상의 항은 ω³=1을 이용해서 2차 이하로 모두 낮춥니다.
그리고 나서 나머지 4개의 식을 이용해서 풀면
거의 모든 문제가 해결됩니다.
식 5개를 미리 써놓고 시작하면 편합니다.
$\begin{aligned}&\omega^{3}=1\\&{\omega}^{2}+{\omega}+1=0\\&\overline{\omega}^{2}+\overline{\omega}+1=0\\&\omega+\overline{\omega}=-1\\&\omega\overline{\omega}=1\\\end{aligned}$
$\begin{aligned}\omega^{8}+\omega^{4}+1&=(\omega^{3})^{2}\cdot\omega^{2}+\omega^{3}\cdot\omega+1\\&={\omega}^{2}+{\omega}+1\\&=0\\\end{aligned}$
$\begin{aligned}\omega^{101}+\omega^{49}&=(\omega^{3})^{33}\cdot\omega^{2}+(\omega^{3})^{16}\cdot\omega\\&={\omega}^{2}+{\omega}\\&=-1\\\end{aligned}$
$\begin{aligned}\omega+\frac{1}{\omega}&=\frac{\omega^{2}+1}{\omega}\\&=\frac{-\omega}{\omega}\\&=-1\\\end{aligned}$
$\begin{aligned}\frac{\overline{\omega}}{\omega^{2}}&=\frac{\overline{\omega}\times\omega}{\omega^{2}\times\omega}\\&=\frac{\omega\overline{\omega}}{\omega^{3}}\\&=\frac{1}{1}\\&=1\\\end{aligned}$
$\omega^{2023}=(\omega^{3})^{674}\cdot\omega=\omega$ 이므로
$\begin{aligned}\omega^{2023}+\frac{1}{\omega^{2023}}&=\omega+\frac{1}{\omega}\\&=\frac{\omega^{2}+1}{\omega}\\&=\frac{-\omega}{\omega}\\&=-1\\\end{aligned}$
$\omega^{100}=(\omega^{3})^{33}\cdot\omega=\omega$
$\omega^{101}=(\omega^{3})^{33}\cdot\omega^{2}=\omega^{2}$ 이므로
$\begin{aligned}\frac{\omega^{100}+1}{\omega^{101}}+\frac{\omega^{101}}{\omega^{100}+1}&=\frac{\omega+1}{\omega^{2}}+\frac{\omega^{2}}{\omega+1}\\&=\frac{-\omega^{2}}{\omega^{2}}+\frac{\omega^{2}}{-\omega^{2}}\\&=-2\\\end{aligned}$
$\begin{aligned}\frac{1}{\omega+3}+\frac{1}{\overline{\omega}+3}&=\frac{(\overline{\omega}+3)+(\omega+3)}{(\omega+3)(\overline{\omega}+3)}\\&=\frac{\omega+\overline{\omega}+6}{\omega\overline{\omega}+3(\omega+\overline{\omega})+9}\\&=\frac{-1+6}{1+3\cdot(-1)+9}\\&=\frac{5}{7}\\\end{aligned}$
$\begin{aligned}&1+\omega+\omega^{2}+\omega^{3}+\omega^{4}+\omega^{5}+\cdot\cdot\cdot+\omega^{99}+\omega^{100}+\omega^{101}\\&=(1+\omega+\omega^{2})+(\omega^{3}+\omega^{3}\cdot\omega+\omega^{3}\cdot\omega^{2})+\cdot\cdot\cdot+\{(\omega^{3})^{33}+(\omega^{3})^{33}\cdot\omega+(\omega^{3})^{33}\cdot\omega^{2}\}\\&=(1+\omega+\omega^{2})+(1+\omega+\omega^{2})+\cdot\cdot\cdot+(1+\omega+\omega^{2})\\&=0\\\end{aligned}$
$\begin{aligned}&(1+\omega)(1+\omega^{2})(1+\omega^{3})(1+\omega^{4})(1+\omega^{5})(1+\omega^{6})\\&=(1+\omega)(1+\omega^{2})(1+1)(1+\omega)(1+\omega^{2})(1+1)\\&=4(1+\omega)^{2}(1+\omega^{2})^{2}\\&=4(-\omega^{2})^{2}(-\omega)^{2}\\&=4\omega^{6}\\&=4\\\end{aligned}$
요정도로만 할께요~
위에서는
방정식 x³=1의 한 허근을 ω라 할 때만 풀었지만
① 방정식 x³=1의 한 허근을 ω라 할 때
② 방정식 x³=-1의 한 허근을 ω라 할 때
③ $\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$일 때
④ $\omega=\frac{1-\sqrt{3}i}{2}$일 때
위의 4가지 조건 중 어떤 조건을 주든지
풀이방법은 똑같습니다~ ^-^//
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