이 글에 대한 AI '클로드'의 평가
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문제1)
(x⁴+ax+b)가 (x-1)²으로 나누어 떨어질 때
a, b의 값은?
풀이1)
x⁴+ax+b=(x-1)²Q(x)
x=1을 대입하면
1+a+b=0 → b=-a-1
x⁴+ax+b
=x⁴+ax-a-1
=(x-1)(x+1)(x²+1)+a(x-1)
=(x-1){(x+1)(x²+1)+a}
(x-1){(x+1)(x²+1)+a}=(x-1)²Q(x)
양변을 (x-1)로 나눠주고
(x+1)(x²+1)+a=(x-1)Q(x)
x=1을 다시 대입하면
4+a=0 → a=-4, b=3
풀이2)
x⁴+ax+b=(x-1)²Q(x)
x=1을 대입하면
1+a+b=0 → b=-a-1
양변을 x로 미분하고
4x³+a=2(x-1)Q(x)+(x-1)²Q'(x)
x=1을 다시 대입하면
4+a=0 → a=-4, b=3
문제2)
$(x^{10}-1)$을 $(x-1)^{2}$으로
나누었을 때의 나머지를 R(x)라 할 때, R(10)의 값은?
풀이1)
$x^{10}-1=(x-1)^{2}Q(x)+ax+b$
x=1을 대입하면
0=a+b → b=-a
$\begin{aligned}x^{10}-1&=(x-1)^{2}Q(x)+ax+b\\&=(x-1)^{2}Q(x)+ax-a\\&=(x-1)^{2}Q(x)+a(x-1)\\&=(x-1)\{(x-1)Q(x)+a\}\\\end{aligned}$
$x^{10}-1=(x-1)(x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)$이므로
$(x-1)\{(x-1)Q(x)+a\}=(x-1)(x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)$
양변을 (x-1)로 나눠주고
$(x-1)Q(x)+a=x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$
x=1을 다시 대입하면
a=10, b=-10
따라서 나머지
R(x)=10x-10
R(10)=90
('식의 전개와 인수분해 (9)'를 참고해 주세요~)
풀이2)
$x^{10}-1=(x-1)^{2}Q(x)+ax+b$
x=1을 대입하면
0=a+b → b=-a
양변을 x로 미분하고
$10x^{9}=2(x-1)Q(x)+(x-1)^{2}Q'(x)+a$
x=1을 다시 대입하면
a=10, b=-10
따라서 나머지
R(x)=10x-10
R(10)=90
문제3)
$(x^{10}-1)$을 $(x+1)^{2}$으로
나누었을 때의 나머지를 R(x)라 할 때, R(10)의 값은?
풀이1)
$x^{10}-1=(x+1)^{2}Q(x)+ax+b$
x=-1을 대입하면
0=-a+b → b=a
$\begin{aligned}x^{10}-1&=(x+1)^{2}Q(x)+ax+b\\&=(x+1)^{2}Q(x)+ax+a\\&=(x+1)^{2}Q(x)+a(x+1)\\&=(x+1)\{(x+1)Q(x)+a\}\\\end{aligned}$
$x^{10}-1=(x+1)(x^{9}-x^{8}+x^{7}-x^{6}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x^{2}+x-1)$이므로
$(x+1)\{(x+1)Q(x)+a\}=(x+1)(x^{9}-x^{8}+x^{7}-x^{6}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x^{2}+x-1)$
양변을 (x+1)로 나눠주고
$(x+1)Q(x)+a=x^{9}-x^{8}+x^{7}-x^{6}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x^{2}+x-1$
x=-1을 다시 대입하면
a=-10, b=-10
따라서 나머지
R(x)=-10x-10
R(10)=-110
풀이2)
$x^{10}-1=(x+1)^{2}Q(x)+ax+b$
x=-1을 대입하면
0=-a+b → b=a
양변을 x로 미분하고
$10x^{9}=2(x+1)Q(x)+(x+1)^{2}Q'(x)+a$
x=-1을 다시 대입하면
a=-10, b=-10
따라서 나머지
R(x)=-10x-10
R(10)=-110
문제4)
$(x^{15}+1)$을 $(x+1)^{2}$으로
나누었을 때의 나머지를 R(x)라 할 때, R(10)의 값은?
풀이1)
$x^{15}+1=(x+1)^{2}Q(x)+ax+b$
x=-1을 대입하면
0=-a+b → b=a
$\begin{aligned}x^{15}+1&=(x+1)^{2}Q(x)+ax+b\\&=(x+1)^{2}Q(x)+ax+a\\&=(x+1)^{2}Q(x)+a(x+1)\\&=(x+1)\{(x+1)Q(x)+a\}\\\end{aligned}$
$x^{15}+1=(x+1)(x^{14}-x^{13}+x^{12}-x^{11}+\cdot\cdot\cdot+x^{2}-x+1)$이므로
$(x+1)\{(x+1)Q(x)+a\}= (x+1)(x^{14}-x^{13}+x^{12}-x^{11}+\cdot\cdot\cdot+x^{2}-x+1) $
양변을 (x+1)로 나눠주고
$(x+1)Q(x)+a=x^{14}-x^{13}+x^{12}-x^{11}+\cdot\cdot\cdot+x^{2}-x+1$
x=-1을 다시 대입하면
a=15, b=15
따라서 나머지
R(x)=15x+15
R(10)=165
풀이2)
$x^{15}+1=(x+1)^{2}Q(x)+ax+b$
x=-1을 대입하면
0=-a+b → b=a
양변을 x로 미분하고
$15x^{14}=2(x+1)Q(x)+(x+1)^{2}Q'(x)+a$
x=-1을 다시 대입하면
a=15, b=15
따라서 나머지
R(x)=15x+15
R(10)=165
문제5)
$(x^{30}+1)$을 $(x+1)^{2}$으로
나누었을 때의 나머지를 R(x)라 할 때, R(10)의 값은?
풀이1)
$x^{30}+1=(x+1)^{2}Q(x)+ax+b$
x=-1을 대입하면
2=-a+b → b=a+2
$\begin{aligned}x^{30}+1&=(x+1)^{2}Q(x)+ax+b\\&=(x+1)^{2}Q(x)+ax+a+2\\x^{30}-1&=(x+1)^{2}Q(x)+ax+a\\&=(x+1)^{2}Q(x)+a(x+1)\\&=(x+1)\{(x+1)Q(x)+a\}\\\end{aligned}$
$x^{30}-1=(x+1)(x^{29}-x^{28}+x^{27}-x^{26}+\cdot\cdot\cdot-x^{2}+x-1)$이므로
$(x+1)\{(x+1)Q(x)+a\}=(x+1)(x^{29}-x^{28}+x^{27}-x^{26}+\cdot\cdot\cdot-x^{2}+x-1)$
양변을 (x+1)로 나눠주고
$(x+1)Q(x)+a=x^{29}-x^{28}+x^{27}-x^{26}+\cdot\cdot\cdot-x^{2}+x-1$
x=-1을 다시 대입하면
a=-30, b=-28
따라서 나머지
R(x)=-30x-28
R(10)=-328
풀이2)
$x^{30}+1=(x+1)^{2}Q(x)+ax+b$
x=-1을 대입하면
2=-a+b → b=a+2
양변을 x로 미분하고
$30x^{29}=2(x+1)Q(x)+(x+1)^{2}Q'(x)+a$
x=-1을 다시 대입하면
a=-30, b=-28
따라서 나머지
R(x)=-30x-28
R(10)=-328
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