이 글에 대한 AI '클로드'의 평가
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a≤x≤b일 때
f(x)=(x-p)²+q의 최댓값과 최솟값은
ⅰ) p<a이면
x=a일 때, 최솟값 f(a)
x=b일 때, 최댓값 f(b)
ⅱ) $a \leq p<\frac{a+b}{2}$ 이면
x=p일 때, 최솟값 q
x=b일 때, 최댓값 f(b)
ⅲ) $\frac{a+b}{2} \leq p<b$ 이면
x=p일 때, 최솟값 q
x=a일 때, 최댓값 f(a)
ⅳ) p≥b이면
x=b일 때, 최솟값 f(b)
x=a일 때, 최댓값 f(a)
문제1)
x≥3에서 이차함수 f(x)=x²-2ax+5의 최솟값이 2일 때
실수 a의 값은?
풀이)
f(x)=(x-a)²-a²+5
ⅰ) a<3이면
x=3에서 최솟값을 가집니다.
f(3)=9-6a+5=2 → a=2 (조건에 만족)
ⅱ) a≥3
x=a에서 최솟값을 가집니다.
f(a)=-a²+5=2 → a=±√3 (조건에 만족하지 않습니다.)
따라서, 실수 a의 값은 2
문제2)
1≤x≤2에서 이차함수 f(x)=x²-2ax+3의 값이 양수일 때
실수 a의 값의 범위는?
풀이)
f(x)=(x-a)²-a²+3
ⅰ) a<1
x=1에서 최솟값을 가지므로
f(1)=1-2a+3=4-2a>0 → a<2
∴ a<1
ⅱ) 1≤a<2
x=a에서 최솟값을 가지므로
f(a)=-a²+3>0 → -√3<a<√3
∴ 1≤a<√3
ⅲ) a>2
x=2에서 최솟값을 가지므로
f(2)=4-4a+3=7-4a>0 → $a<\frac{7}{4}$
∴ 조건을 만족하는 a의 값이 존재하지 않습니다.
ⅰ), ⅱ), ⅲ) 에서 a<√3
관련글: 이차부등식의 해 (3)
문제3)
0≤x≤1에서 부등식 $4^x-a \cdot 2^{x+1}+3>0$ 이 성립하도록 하는
실수 a의 값의 범위는?
풀이)
식을 살짝 변형하고
$4^x-2 a \cdot 2^x+3>0$
$2^x=t$ 로 치환하면
$t^2-2 a t+3>0$
이 때, t의 값의 범위는
0≤x≤1이므로 1≤t≤2
결국, 문제가 이렇게 바뀝니다.
1≤t≤2에서 이차함수 f(t)=t²-2at+3의 값이 양수일 때
실수 a의 값의 범위는?
문제2와 똑같은 문제입니다..!!
문제4)
-1≤x≤5에서 이차함수 f(x)=x²-2ax-6의 최댓값이 9가 되는
실수 a의 값을 모두 구하시오.
풀이)
f(x)=(x-a)²-a²-6
ⅰ) a<-1
x=5에서 최댓값을 가지므로
f(5)=25-10a-6=9 → a=1 (조건에 만족하지 않습니다.)
ⅱ) -1≤a<2
x=5에서 최댓값을 가지므로
f(5)=25-10a-6=9 → a=1 (조건에 만족)
ⅲ) 2≤a<5
x=-1에서 최댓값을 가지므로
f(-1)=1+2a-6=9 → a=7 (조건에 만족하지 않습니다.)
ⅳ) a>5
x=-1에서 최댓값을 가지므로
f(-1)=1+2a-6=9 → a=7 (조건에 만족)
ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ) 에서 a=1 또는 a=7
습관적으로(?) 구간을 4개로 나눠서 풀었지만
구간을 2개로만 나눠서 풀어도 될 듯요.
ⅰ) a<2
x=5에서 최댓값을 가지므로
f(5)=25-10a-6=9 → a=1 (조건에 만족)
ⅱ) a>2
x=-1에서 최댓값을 가지므로
f(-1)=1+2a-6=9 → a=7 (조건에 만족)
ⅰ), ⅱ) 에서 a=1 또는 a=7
문제5)
3≤x≤5에서 이차함수 f(x)=x²-2ax+5의 최댓값과 최솟값의 차가 8이 되는
실수 a의 값을 모두 구하시오.
풀이)
f(x)=(x-a)²-a²+5
ⅰ) a<3
x=3에서 최솟값을 가지고
f(3)=9-6a+5=14-6a
x=5에서 최댓값을 가집니다.
f(5)=25-10a+5=30-10a
(30-10a)-(14-6a)=16-4a=8 → a=2 (조건에 만족)
ⅱ) 3≤a<4
x=a에서 최솟값을 가지고
f(a)=-a²+5
x=5에서 최댓값을 가집니다.
f(5)=25-10a+5=30-10a
(30-10a)-(-a²+5)=a²-10a+25=8 → a=5±2√2 (조건에 만족하지 않습니다.)
ⅲ) 4≤a<5
x=a에서 최솟값을 가지고
f(a)=-a²+5
x=3에서 최댓값을 가집니다.
f(3)=9-6a+5=14-6a
(14-6a)-(-a²+5)=a²-6a+9=8 → a=3±2√2 (조건에 만족하지 않습니다.)
ⅳ) a>5
x=5에서 최솟값을 가지고
f(5)=25-10a+5=30-10a
x=3에서 최댓값을 가집니다.
f(3)=9-6a+5=14-6a
(14-6a)-(30-10a)=4a-16=8 → a=6 (조건에 만족)
ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ) 에서 a=2 또는 a=6
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