이 글에 대한 AI '클로드'의 평가
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문제)
두 함수 $f(x),\;g(x)$에 대하여
$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty, \;\; \lim _{x \rightarrow \infty}\{f(x)-g(x)\}=3 \end{aligned} $ 일 때,
$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 f(x)-3 g(x)}{3 f(x)+2 g(x)} \end{aligned} $ 의 값은?
풀이1)
$f(x)-g(x)=h(x)$ 로 놓으면
$g(x)=f(x)-h(x)$ 이고
$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} h(x)=3 \end{aligned} $
$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 f(x)-3 g(x)}{3 f(x)+2 g(x)} & =\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 f(x)-3\{f(x)-h(x)\}}{3 f(x)+2\{f(x)-h(x)\}} \\ & =\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-f(x)+3 h(x)}{5 f(x)-2 h(x)} \\ & =\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-1+3 \cdot \frac{h(x)}{f(x)}}{5-2 \cdot \frac{h(x)}{f(x)}} \\ & =-\frac{1}{5}\left(\because \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{h(x)}{f(x)}=0\right)\end{aligned}$
풀이2)
사전 준비 잠깐 하면
$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty \\ & \lim _{x \rightarrow \infty} f(x) g(x)=2\end{aligned}$
x가 무한대로 갈 때,
$f(x)$가 무한대로 가는데 $f(x)g(x)$는 극한값을 가진다..?!
그럼 $g(x)$는 0으로 가야 합니다.
$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} g(x)=0 \end{aligned} $
이제 문제를 풀어보면
$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty}\{f(x)-g(x)\}=3 \end{aligned} $ 에서
$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)\left\{1-\frac{g(x)}{f(x)}\right\}=3 \end{aligned} $
$f(x)$가 무한대로 가기 때문에
$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty}\left\{1-\frac{g(x)}{f(x)}\right\}=0 \end{aligned} $
따라서
$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{g(x)}{f(x)}=1 \end{aligned} $
$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 f(x)-3 g(x)}{3 f(x)+2 g(x)} & =\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2-3 \frac{g(x)}{f(x)}}{3+2 \frac{g(x)}{f(x)}} \\ & =\frac{2-3 \cdot 1}{3+2 \cdot 1} \\ & =-\frac{1}{5}\end{aligned}$
개인적으로 풀이2를 선호합니다. ;;
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