직선의 기울기 (3)

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

y=x에 대칭인 두 직선은 서로 역함수 관계이고

그래서 기울기를 곱하면 1입니다.

 

즉, 한 직선의 기울기가 a이면

다른 한 직선(역함수)의 기울기는 $\frac{1}{a}$입니다.

 

굳이 확인해 보면

 

$y=ax+b$ 의 역함수는

$x=a y+b \;\;\rightarrow\;\; y=\frac{1}{a} x-\frac{b}{a}$

 

이 간단한 공식(?)이

무려 미적분에서 아주 중요한 공식으로 등장합니다.

 

교과서에 나와 있는 그대로 써보면

 

미분가능한 함수 f(x)의 역함수 g(x)가 존재하고 미분가능할 때,

 

①

$g^{\prime}(x)=\frac{1}{f^{\prime}(g(x))}\;\left(\right.$ 단, $\left.f^{\prime}(g(x)) \neq 0\right)$  또는

$f^{\prime}(x)=\frac{1}{g^{\prime}(f(x))}\;\left(\right.$ 단, $\left.g^{\prime}(f(x)) \neq 0\right)$

 

②

$f(b)=a$ 이면,  즉 $g(a)=b$ 이면  $g^{\prime}(a)=\frac{1}{f^{\prime}(b)}=\frac{1}{f^{\prime}(g(a))} \;\left(\right.$ 단, $\left.f^{\prime}(b) \neq 0\right)$  또는

$f(b)=a$ 이면,  즉 $g(a)=b$ 이면  $f^{\prime}(b)=\frac{1}{g^{\prime}(a)}=\frac{1}{g^{\prime}(f(b))} \;\left(\right.$ 단, $\left.g^{\prime}(a) \neq 0\right)$

 

어떤가요..?! 이해가 되나요..?!

처음에 얘기했듯이 당연하고 간단한(?) 공식입니다.

아래 그림을 보고 하나하나 따라가면 어렵지 않게 이해할 수 있을 거예요~

 

 

식으로는 이렇게 증명합니다.

 

$f(g(x))=x$ 이므로

양변을 x로 미분하면

$\begin{aligned} & f^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x)=1 \\ & g^{\prime}(x)=\frac{1}{f^{\prime}(g(x))} \\ & g^{\prime}(a)=\frac{1}{f^{\prime}(g(a))}=\frac{1}{f^{\prime}(b)}\end{aligned}$

 

또는

 

$g(f(x))=x$ 이므로

양변을 x로 미분하면

$\begin{aligned} & g^{\prime}(f(x)) f^{\prime}(x)=1 \\ & f^{\prime}(x)=\frac{1}{g^{\prime}(f(x))} \\ & f^{\prime}(b)=\frac{1}{g^{\prime}(f(b))}=\frac{1}{g^{\prime}(a)}\end{aligned}$

 

 

 

문제1)

$f(2)=3, \;f^{\prime}(2)=5$ 를 만족시키는 미분가능한 함수 $f(x)$가

역함수 $g(x)$를 가질 때,  $g^{\prime}(3)$의 값은?

 

풀이)

$f(2)=3 \;\;\rightarrow\;\; g(3)=2$

 

$g^{\prime}(3)=\frac{1}{f^{\prime}(g(3))}=\frac{1}{f^{\prime}(2)}=\frac{1}{5}$

 

 

 

문제2)

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-3}{x-2}=5 \end{aligned} $ 를 만족시키는 미분가능한 함수 $f(x)$가

역함수 $g(x)$를 가질 때,  $g^{\prime}(3)$의 값은?

 

풀이)

$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-3}{x-2}=5 \;\;\rightarrow\;\; f(2)=3, \;f^{\prime}(2)=5 \end{aligned} $

 

문제1과 같은 문제입니다.

('미분계수 (3)'을 참고해 주세요~)

 

 

 

문제3)

함수 $f(x)=x^3+1$ 의 역함수를 $g(x),\;h(x)=f(x)g(x)$ 라 할 때,

$h^{\prime}(2)$의 값은?

 

풀이)

$\begin{aligned} & f(2)=9 \\ & f^{\prime}(x)=3 x^2 \;\;\rightarrow\;\; f^{\prime}(2)=12 \\ & g(2)=a \;\;\rightarrow\;\; f(a)=2 \;\;\rightarrow\;\; a^3+1=2 \;\;\rightarrow\;\; a=1 \\ & g^{\prime}(2)=\frac{1}{f^{\prime}(g(2))}=\frac{1}{f^{\prime}(1)}=\frac{1}{3}\end{aligned}$

 

$h^{\prime}(x)=f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x)$

$\begin{aligned} h^{\prime}(2) & =f^{\prime}(2) g(2)+f(2) g^{\prime}(2) \\ & =12 \cdot 1+9 \cdot \frac{1}{3} \\ & =15\end{aligned}$

 

 

 

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