행렬 (2)

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이차 정사각행렬 A에 대하여

 

$ \begin{aligned} A\binom{a}{b}=\binom{p}{q}, \;\; A\binom{c}{d}=\binom{r}{s} \end{aligned} $

 

위 2개의 행렬식을

좌변끼리, 우변끼리 더하면

 

$\begin{aligned} & A\binom{a}{b}+A\binom{c}{d}=\binom{p}{q}+\binom{r}{s} \\ & A\left\{\binom{a}{b}+\binom{c}{d}\right\}=\binom{p+r}{q+s} \\ & A\binom{a+c}{b+d}=\binom{p+r}{q+s}\end{aligned}$

 

 

 

문제1)

이차 정사각행렬 A에 대하여

 

$ \begin{aligned} A\binom{1}{2}=\binom{4}{3}, \;\;A\binom{-2}{3}=\binom{5}{1}, \;\;A\binom{-1}{5}=\binom{a}{b} \end{aligned} $

 

가 성립할 때, 상수 a, b의 값을 구하시오.

 

$ \begin{aligned} \binom{-1}{5}=\binom{1}{2}+\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 이므로

 

$\begin{aligned} A\binom{-1}{5} & =A\binom{1}{2}+A\binom{-2}{3} \\ & =\binom{4}{3}+\binom{5}{1} \\ & =\binom{9}{4}\end{aligned}$

 

$\therefore \;a=9, \;b=4$

 

$ \begin{aligned} \binom{-1}{5}=\binom{1}{2}+\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 을 찾는 방법

 

$ \begin{aligned} \binom{-1}{5}=x\binom{1}{2}+y\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 이 성립하려면

 

$\begin{aligned} & x-2 y=-1 \\ & 2 x+3 y=5\end{aligned}$

 

연립해서 풀면

$x=1, \;y=1$

 

따라서

 

$ \begin{aligned} \binom{-1}{5}=\binom{1}{2}+\binom{-2}{3} \end{aligned} $

 

 

 

문제2)

이차 정사각행렬 A에 대하여

 

$ \begin{aligned} A\binom{1}{2}=\binom{4}{3}, \;\;A\binom{-2}{3}=\binom{5}{1}, \;\;A\binom{0}{7}=\binom{a}{b} \end{aligned} $

 

가 성립할 때, 상수 a, b의 값을 구하시오.

 

$ \begin{aligned} \binom{0}{7}=2\binom{1}{2}+\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 이므로

 

$\begin{aligned} A\binom{0}{7} & =2 A\binom{1}{2}+A\binom{-2}{3} \\ & =2\binom{4}{3}+\binom{5}{1} \\ & =\binom{8}{6}+\binom{5}{1} \\ & =\binom{13}{7}\end{aligned}$

 

$\therefore \;a=13, \;b=7$

 

$ \begin{aligned} \binom{0}{7}=2\binom{1}{2}+\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 을 찾는 방법

 

$ \begin{aligned} \binom{0}{7}=x\binom{1}{2}+y\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 이 성립하려면

 

$\begin{aligned} & x-2 y=0 \\ & 2 x+3 y=7\end{aligned}$

 

연립해서 풀면

$x=2, \;y=1$

 

따라서

 

$ \begin{aligned} \binom{0}{7}=2\binom{1}{2}+\binom{-2}{3} \end{aligned} $

 

 

 

문제3)

이차 정사각행렬 A에 대하여

 

$ \begin{aligned} A\binom{1}{2}=\binom{4}{3}, \;\;A\binom{-2}{3}=\binom{5}{1}, \;\;A\binom{-3}{8}=\binom{a}{b} \end{aligned} $

 

가 성립할 때, 상수 a, b의 값을 구하시오.

 

$ \begin{aligned} \binom{-3}{8}=\binom{1}{2}+2\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 이므로

 

$\begin{aligned} A\binom{-3}{8} & = A\binom{1}{2}+2A\binom{-2}{3} \\ & =\binom{4}{3}+2\binom{5}{1} \\ & =\binom{4}{3}+\binom{10}{2} \\ & =\binom{14}{5}\end{aligned}$

 

$\therefore \;a=14, \;b=5$

 

$ \begin{aligned} \binom{-3}{8}=\binom{1}{2}+2\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 을 찾는 방법

 

$ \begin{aligned} \binom{-3}{8}=x\binom{1}{2}+y\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 이 성립하려면

 

$\begin{aligned} & x-2 y=-3 \\ & 2 x+3 y=8\end{aligned}$

 

연립해서 풀면

$x=1, \;y=2$

 

따라서

 

$ \begin{aligned} \binom{-3}{8}=\binom{1}{2}+2\binom{-2}{3} \end{aligned} $

 

 

 

문제4)

이차 정사각행렬 A에 대하여

 

$ \begin{aligned} A\binom{1}{2}=\binom{4}{3}, \;\;A\binom{-2}{3}=\binom{5}{1}, \;\;A\binom{3}{-1}=\binom{a}{b} \end{aligned} $

 

가 성립할 때, 상수 a, b의 값을 구하시오.

 

$ \begin{aligned} \binom{3}{-1}=\binom{1}{2}-\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 이므로

 

$\begin{aligned} A\binom{3}{-1} & =A\binom{1}{2}-A\binom{-2}{3} \\ & =\binom{4}{3}-\binom{5}{1} \\ & =\binom{-1}{2}\end{aligned}$

 

$\therefore \;a=-1, \;b=2$

 

$ \begin{aligned} \binom{3}{-1}=\binom{1}{2}-\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 을 찾는 방법

 

$ \begin{aligned} \binom{3}{-1}=x\binom{1}{2}+y\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 이 성립하려면

 

$\begin{aligned} & x-2 y=3 \\ & 2 x+3 y=-1\end{aligned}$

 

연립해서 풀면

$x=1, \;y=-1$

 

따라서

 

$ \begin{aligned} \binom{3}{-1}=\binom{1}{2}-\binom{-2}{3} \end{aligned} $

 

 

 

문제5)

이차 정사각행렬 A에 대하여

 

$ \begin{aligned} A\binom{1}{2}=\binom{4}{3}, \;\;A\binom{-2}{3}=\binom{5}{1}, \;\;A\binom{-4}{13}=\binom{a}{b} \end{aligned} $

 

가 성립할 때, 상수 a, b의 값을 구하시오.

 

$ \begin{aligned} \binom{-4}{13}=2\binom{1}{2}+3\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 이므로

 

$\begin{aligned} A\binom{-4}{13} & =2 A\binom{1}{2}+3A\binom{-2}{3} \\ & =2\binom{4}{3}+3\binom{5}{1} \\ & =\binom{8}{6}+\binom{15}{3} \\ & =\binom{23}{9}\end{aligned}$

 

$\therefore \;a=23, \;b=9$

 

$ \begin{aligned} \binom{-4}{13}=2\binom{1}{2}+3\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 을 찾는 방법

 

$ \begin{aligned} \binom{-4}{13}=x\binom{1}{2}+y\binom{-2}{3} \end{aligned} $ 이 성립하려면

 

$\begin{aligned} & x-2 y=-4 \\ & 2 x+3 y=13\end{aligned}$

 

연립해서 풀면

$x=2, \;y=3$

 

따라서

 

$ \begin{aligned} \binom{-4}{13}=2\binom{1}{2}+3\binom{-2}{3} \end{aligned} $

 

 

 

PS1.

이차 정사각행렬 A에 대하여

 

$ \begin{aligned} A\binom{a}{b}=\binom{p}{q}, \;\; A\binom{c}{d}=\binom{r}{s} \end{aligned} $

 

위 2개의 행렬식을 하나의 행렬식으로 나타내면

 

$A\left(\begin{array}{ll}a & c \\ b & d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}p & r \\ q & s\end{array}\right)$

 

 

 

PS2.

연립방정식을 행렬로 나타내기

 

$ \begin{aligned} \left\{\begin{array}{l}a x+b y=p \\ c x+d y=q\end{array} \quad\Leftrightarrow \quad \left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)\binom{x}{y}=\binom{p}{q}\right. \end{aligned} $

 

또는

 

$\left\{\begin{array}{l}a x+b y=p \\ c x+d y=q\end{array} \quad \Leftrightarrow\quad\left(\begin{array}{ll}x & y\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}a & c \\ b & d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}p & q\end{array}\right)\right.$

 

 

 

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