급수 (3)

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

급수의 합을 구하는 과정

 

① $ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} a_n \neq 0 \end{aligned} $ 이면 무조건 발산

② $ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} a_n = 0 \end{aligned} $ 이면 부분합 $S_n$을 구하고

③ $ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} S_n \end{aligned} $ 의 값을 구한다.

 

이해가 안 되면

'급수 (1)'을 한 번 읽고 오세요~

 

 

 

문제1)

 

$2-2+2-2+2-2+2-2+\cdots=?$

 

풀이)

일반항을 확인해보면

 

$\begin{aligned} & a_1=2 \\ & a_2=-2 \\ & a_3=2 \\ & a_4=-2 \\ & \cdots\end{aligned}$

 

홀수 번째 항

$ \begin{aligned} a_{2 n-1}=2 \;\;\rightarrow\;\; \lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} 2=2 \end{aligned} $

 

짝수 번째 항

$ \begin{aligned} a_{2 n}=-2 \;\;\rightarrow\;\; \lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty}(-2)=-2 \end{aligned} $

 

수열 자체가 발산하고 있습니다. 즉

 

$ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} a_n \neq 0 \end{aligned} $

 

일반항의 극한값이 0이 아니므로

급수는 볼 것도 없이 발산입니다.

 

발산하므로 풀이를 여기서 끝내도 되지만

그래도 확인은 해 볼께요.

 

$\begin{aligned} & S_1=2 \\ & S_2=2-2=0 \\ & S_3=2-2+2=2 \\ & S_4=2-2+2-2=0 \\ & \cdots\end{aligned}$

 

홀수 번째 항까지의 합

$ \begin{aligned} S_{2 n-1}=2 \;\;\rightarrow\;\; \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} 2=2 \end{aligned} $

 

짝수 번째 항까지의 합

$ \begin{aligned} S_{2 n}=0 \;\;\rightarrow\;\; \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} 0=0 \end{aligned} $

 

 

$ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n-1} \neq \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n} \end{aligned} $

 

따라서 주어진 급수는 발산합니다.

 

그래프로 그려보면

 

 

 

문제2)

 

$(2-2)+(2-2)+(2-2)+(2-2)+\cdots=?$

 

풀이)

일반항을 확인해보면

 

$\begin{aligned} & a_1=2-2=0 \\ & a_2=2-2=0 \\ & a_3=2-2=0 \\ & a_4=2-2=0 \\ & \cdots\end{aligned}$

 

$ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=\lim _{n \rightarrow \infty} 0=0 \end{aligned} $

 

일반항의 극한값이 0이므로

급수의 수렴 여부를 확인해 봐야겠네요.

 

$\begin{aligned} & S_1=(2-2)=0 \\ & S_2=(2-2)+(2-2)=0 \\ & S_3=(2-2)+(2-2)+(2-2)=0 \\ & S_4=(2-2)+(2-2)+(2-2)+(2-2)=0 \\ & \cdots\end{aligned}$

 

$ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} S_n=\lim _{n \rightarrow \infty} 0=0 \end{aligned} $

 

따라서 주어진 급수는 0으로 수렴합니다.

 

 

 

문제3)

 

$ \begin{aligned} \frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{3}{4}-\frac{4}{5}+\cdots=? \end{aligned} $

 

풀이)

일반항을 확인해보면

 

$\begin{aligned} & a_1=\frac{1}{2} \\ & a_2=-\frac{2}{3} \\ & a_3=\frac{2}{3} \\ & a_4=-\frac{3}{4} \\ & a_5=\frac{3}{4} \\ & a_6=-\frac{4}{5} \\ & \cdots \end{aligned}$

 

홀수 번째 항

$ \begin{aligned} a_{2 n-1}=\frac{n}{n+1} \;\;\rightarrow\;\; \lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1}=1 \end{aligned} $

 

짝수 번째 항

$ \begin{aligned} a_{2 n}=-\frac{n+1}{n+2} \;\;\rightarrow\;\; \lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(-\frac{n+1}{n+2}\right)=-1 \end{aligned} $

 

수열 자체가 발산하고 있습니다. 즉

 

$ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} a_n \neq 0 \end{aligned} $

 

일반항의 극한값이 0이 아니므로

급수는 볼 것도 없이 발산입니다.

 

역시 발산하므로 풀이를 여기서 끝내도 되지만

그래도 확인은 해 볼께요.

 

$\begin{aligned} & S_1=\frac{1}{2} \\ & S_2=\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\right) \\ & S_3=\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{1}{2} \\ & S_4=\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4}=\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\right) \\ & S_5=\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{1}{2} \\ & S_6=\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{3}{4}-\frac{4}{5}=\left(\frac{1}{2}-\frac{4}{5}\right) \\ & \cdots\end{aligned}$

 

홀수 번째 항까지의 합

$ \begin{aligned} S_{2 n-1}=\frac{1}{2} \;\;\rightarrow\;\; \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \end{aligned} $

 

짝수 번째 항까지의 합

$ \begin{aligned} S_{2 n}=\frac{1}{2}-\frac{n+1}{n+2} \;\;\rightarrow\;\; \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{n+1}{n+2}\right)=-\frac{1}{2} \end{aligned} $

 

 

$ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n-1} \neq \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n} \end{aligned} $

 

따라서 주어진 급수는 발산합니다.

 

그래프로 그려보면

 

 

 

문제4)

 

$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{4}\right)+\left(\frac{3}{4}-\frac{4}{5}\right)+\cdots=? \end{aligned} $

 

풀이)

일반항을 풀이해보면

 

$\begin{aligned} & a_1=\frac{1}{2}-\frac{2}{3} \\ & a_2=\frac{2}{3}-\frac{3}{4} \\ & a_3=\frac{3}{4}-\frac{4}{5}\\& \cdots\end{aligned}$

 

$ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n+2}\right)=1-1=0 \end{aligned} $

 

일반항의 극한값이 0이므로

급수의 수렴 여부를 확인해 봐야겠네요.

 

$\begin{aligned} & S_1=\frac{1}{2}-\frac{2}{3} \\ & S_2=\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{2}-\frac{3}{4} \\ & S_3=\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{4}\right)+\left(\frac{3}{4}-\frac{4}{5}\right)=\frac{1}{2}-\frac{4}{5}\\& \cdots\end{aligned}$

 

$ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} S_n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{n+1}{n+2}\right)=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2} \end{aligned} $

 

따라서 주어진 급수는 $-\frac{1}{2}$에 수렴합니다.

 

 

 

문제5)

 

$ \begin{aligned} -1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{7}+\cdots=? \end{aligned} $

 

풀이)

일반항을 확인해보면

 

$\begin{aligned} & a_1=-1 \\ & a_2=\frac{1}{3} \\ & a_3=-\frac{1}{3} \\ & a_4=\frac{1}{5} \\ & a_5=-\frac{1}{5} \\ & a_6=\frac{1}{7} \\ & a_7=-\frac{1}{7} \\ & \cdots \end{aligned}$

 

홀수 번째 항

$ \begin{aligned} a_{2 n-1}=-\frac{1}{2 n-1} \;\;\rightarrow\;\; \lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(-\frac{1}{2 n-1}\right)=0 \end{aligned} $

 

짝수 번째 항

$ \begin{aligned} a_{2 n}=\frac{1}{2 n+1} \;\;\rightarrow\;\; \lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2 n+1}=0 \end{aligned} $

 

 

$ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n}=0 \;\;\rightarrow\;\; \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0 \end{aligned} $

 

일반항의 극한값이 0이므로

급수의 수렴 여부를 확인해 봐야겠네요.

 

$\begin{aligned} & S_1=-1 \\ & S_2=\left(-1+\frac{1}{3}\right) \\ & S_3=-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=-1 \\ & S_4=-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\left(-1+\frac{1}{5}\right) \\ & S_5=-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{5}=-1 \\ & S_6=-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}=\left(-1+\frac{1}{7}\right)\\ & \cdots \end{aligned}$

 

홀수 번째 항까지의 합

$ \begin{aligned} S_{2 n-1}=-1 \;\;\rightarrow\;\; \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty}-1=-1 \end{aligned} $

 

짝수 번째 항까지의 합

$ \begin{aligned} S_{2 n}=-1+\frac{1}{2 n+1} \;\;\rightarrow\;\; \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(-1+\frac{1}{2 n+1}\right)=-1 \end{aligned} $

 

 

$ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n}=-1 \end{aligned} $

 

따라서 주어진 급수는 -1에 수렴합니다.

 

그래프로 그려보면

 

 

 

문제6)

 

$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{3}-1\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{7}\right)+\cdots=? \end{aligned} $

 

풀이)

일반항을 확인해보면

 

$\begin{aligned} & a_1=\frac{1}{3}-1 \\ & a_2=\frac{1}{5}-\frac{1}{3} \\ & a_3=\frac{1}{7}-\frac{1}{5} \\ & a_4=\frac{1}{9}-\frac{1}{7} \\ & \cdots \end{aligned}$

 

$ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2 n+1}-\frac{1}{2 n-1}\right)=0-0=0 \end{aligned} $

 

일반항의 극한값이 0이므로

급수의 수렴 여부를 확인해 봐야겠네요.

 

$\begin{aligned} & S_1=\frac{1}{3}-1 \\ & S_2=\left(\frac{1}{3}-1\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{5}-1 \\ & S_3=\left(\frac{1}{3}-1\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{7}-1 \\ & S_4=\left(\frac{1}{3}-1\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{7}\right)=\frac{1}{9}-1 \\ & \cdots \end{aligned}$

 

$ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} S_n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2 n+1}-1\right)=0-1=-1 \end{aligned} $

 

따라서 주어진 급수는 -1에 수렴합니다.

 

 

 

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