이 글에 대한 AI '클로드'의 평가
(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)
문제1)
함수 $f(x)=x^5$ 에 대하여
$ \begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-h)}{h} \end{aligned} $ 의 값은?
풀이)
$\begin{aligned}&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-h)}{h}=2 f^{\prime}(1)\\&\\&f^{\prime}(x)=5 x^4 \rightarrow 2 f^{\prime}(1)=10\end{aligned}$
이렇게 간단하게 풀면 되는데
이상한(?) 문제가 등장합니다.
문제2)
함수 $f(x)=|\ln x|$ 에 대하여
$ \begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-h)}{h} \end{aligned} $ 의 값은?
풀이)
$ \begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-h)}{h}=2 f^{\prime}(1) \end{aligned} $
$\begin{aligned} & f(x)= \begin{cases}\ln x & (x \geq 1) \\ -\ln x & (0<x<1)\end{cases} \\ & f^{\prime}(x)= \begin{cases}\frac{1}{x} & (x \geq 1) \\ -\frac{1}{x} & (0<x<1)\end{cases} \end{aligned}$
$f^{\prime}(1)$의 값을 구해야 되는데
어라..?!
$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 1+} f^{\prime}(x) & =\lim _{x \rightarrow 1+} \frac{1}{x}=1 \\ \lim _{x \rightarrow 1-} f^{\prime}(x) & =\lim _{x \rightarrow 1-}\left(-\frac{1}{x}\right)=-1\end{aligned}$
$x=1$ 에서의 미분값
$f^{\prime}(1)$이 존재하지 않습니다.
$x=1$ 에서 미분이 불가능하다는 건 (미분값이 존재하지 않는다는 건)
그래프를 통해서도 확인할 수 있습니다.
$x=1$ 에서 뾰족합니다. (뾰족점, 첨점)
(그래프 그리는 방법은 '절댓값 그래프 (1)'을 참고해 주세요~)
결국 그래서 이 문제에서
$ \begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-h)}{h} \end{aligned} $
의 값은 그냥 극한으로 구해야 합니다.
구해보면
$\begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0+} \frac{f(1+h)-f(1-h)}{h} & =\lim _{h \rightarrow 0+} \frac{\ln (1+h)-(-\ln (1-h))}{h} \\ & =\lim _{h \rightarrow 0+} \frac{\ln (1+h)+\ln (1-h)}{h} \\ & =\lim _{h \rightarrow 0+}\left\{\frac{\ln (1+h)}{h}+\frac{\ln (1-h)}{h}\right\} \\ & =1-1 \\ & =0\end{aligned}$
$\begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0-} \frac{f(1+h)-f(1-h)}{h} & =\lim _{h \rightarrow 0-} \frac{-\ln (1+h)-\ln (1-h)}{h} \\ & =\lim _{h \rightarrow 0-}\left\{-\frac{\ln (1+h)}{h}-\frac{\ln (1-h)}{h}\right\} \\ & =-1-(-1) \\ & =0\end{aligned}$
따라서
$ \begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-h)}{h}=0 \end{aligned} $
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