이 글에 대한 AI '클로드'의 평가
(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)
(2026 수능 미적분 27번 풀이)를 이해하기 위한 문제입니다.
문제1)
곡선 $y=x^2-2x+4$ 와 직선 $y=3x-2$ 가 만나는 점을 P, Q라 할 때,
곡선 위의 점 P, Q에서의 접선의 기울기는?
풀이)
곡선과 직선이 만나는 점 P, Q의 x좌표를 구하면
$x^2-2x+4=3x-2$
$x^2-5x+6=0$
$(x-2)(x-3)=0$
$x=2$ 또는 $x=3$
$y=x^2-2x+4$
$y^{\prime}=2x-2$ 이므로
$x=2$ 에서 접선의 기울기는 2
$x=3$ 에서 접선의 기울기는 4
문제없죠..?! ;;
문제2)
매개변수 t로 나타내어진 곡선
$x=t+1, \;y=t^2+3$
을 C라 하자. 곡선 C가 직선 $y=3x-2$ 와 만나는 점을 P, Q라 할 때,
곡선 C 위의 점 P, Q에서의 접선의 기울기는?
풀이1)
$x=t+1 \;\;\rightarrow\;\; t=x-1$ 이므로
$y=t^2+3$ 에 대입하면
$\begin{aligned} y & =(x-1)^2+3 \\ & =x^2-2 x+4\end{aligned}$
문제1과 똑같은 문제입니다.
그래서 문제1과 똑같이 풀어도 되지만
이렇게 매개변수 t로 주어진 문제는
보통은(?) 아래 풀이2로 풉니다.
풀이2)
곡선 $x=t+1, \;y=t^2+3$ 과
직선 $y=3x-2$ 를 연립해서 풀면 (그냥 대입하면 됩니다.)
$t^2+3=3(t+1)-2$
$t^2-3t+2=0$
$(t-1)(t-2)=0$
$t=1$ 또는 $t=2$
$t=1$ 또는 $t=2$ 일 때,
곡선 C와 직선이 만난다는 의미입니다.
곡선 C 위의 임의의 점에서의 접선의 기울기
$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}=\frac{2 t}{1}=2 t \end{aligned} $
$t=1$ 또는 $t=2$ 일 때,
곡선과 직선이 만나므로
$t=1$ 과 $t=2$ 를 대입하면
접선의 기울기 2와 4가 나옵니다.
27번 문제풀이는 식이 복잡할 뿐
위의 문제2의 풀이2와 풀이가 똑같습니다.
풀이1로는 풀 수 없거든요. ;;
풀이)
곡선과 직선을 연립해서 풀면
$\begin{aligned} & e^{4 t}\left(1-3 \cos ^2 \pi t\right)=3 e^{4 t}\left(1+\sin ^2 \pi t\right)-5 e \\ & e^{4 t}-3 e^{4 t} \cos ^2 \pi t=3 e^{4 t}+3 e^{4 t} \sin ^2 \pi t-5 e \\ & 2 e^{4 t}+3 e^{4 t}\left(\sin ^2 \pi t+\cos ^2 \pi t\right)=5 e \\ & 2 e^{4 t}+3 e^{4 t}=5 e \\ & e^{4 t}=e \\ & t=\frac{1}{4}\end{aligned}$
$t=\frac{1}{4}$ 일 때,
곡선 C와 직선이 만납니다.
곡선 C 위의 임의의 점에서의 접선의 기울기
$\begin{aligned} \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} & =\frac{4 e^{4 t}\left(1-3 \cos ^2 \pi t\right)+e^{4 t} \cdot(-6 \cos \pi t) \cdot(-\sin \pi t) \cdot \pi}{4 e^{4 t}\left(1+\sin ^2 \pi t\right)+e^{4 t} \cdot 2 \sin \pi t \cdot \cos \pi t \cdot \pi} \\ & =\frac{4\left(1-3 \cos ^2 \pi t\right)+6 \cos \pi t \cdot \sin \pi t \cdot \pi}{4\left(1+\sin ^2 \pi t\right)+2 \sin \pi t \cdot \cos \pi t \cdot \pi}\end{aligned}$
$t=\frac{1}{4}$ 일 때,
곡선과 직선이 만나므로
$t=\frac{1}{4}$을 대입하면
$\begin{aligned} & \frac{4\left(1-3 \cos ^2 \frac{\pi}{4}\right)+6 \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin \frac{\pi}{4} \cdot \pi}{4\left(1+\sin ^2 \frac{\pi}{4}\right)+2 \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos \frac{\pi}{4} \cdot \pi} \\ & =\frac{4\left(1-\frac{3}{2}\right)+6 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \pi}{4\left(1+\frac{1}{2}\right)+2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \pi} \\ & =\frac{-2+3 \pi}{6+\pi}\end{aligned}$
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