이 글에 대한 AI '클로드'의 평가
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문제1)
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가
$f^{\prime}(x)=2x+1$ 을 만족시킨다.
$f(0)=1$ 일 때, $f(x)$는?
풀이)
$\begin{aligned} & \int f^{\prime}(x) d x=\int(2 x+1) d x \\ & f(x)=x^2+x+C \\ &\\ & f(0)=C=1 \\ & f(x)=x^2+x+1\end{aligned}$
문제2부터는
'실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수'
'양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수'
이런 말들은 뺄께요~
문제2)
$ \begin{aligned} \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=2 x+1, \; f(0)=1 \end{aligned} $ 일 때, $f(x)$는?
풀이)
$\begin{aligned} & \int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} d x=\int(2 x+1) d x \\ & \ln f(x)=x^2+x+C \\ & f(x)=e^{x^2+x+C} \\ &\\ & f(0)=e^C=1 \;\; \rightarrow \;\; C=0 \\ & f(x)=e^{x^2+x}\end{aligned}$
문제3)
$f(x)+x f^{\prime}(x)=2 x+1, \; f(1)=2$ 일 때, $f(x)$는?
풀이)
$\begin{aligned} & \int\left\{f(x)+x f^{\prime}(x)\right\} d x=\int(2 x+1) d x \\ & x f(x)=x^2+x+C \\ & f(x)=x+1+\frac{C}{x} \\ &\\ & f(1)=2+C=2 \;\;\rightarrow\;\; C=0 \\ & f(x)=x+1\end{aligned}$
문제4)
$2 x f(x)+x^2 f^{\prime}(x)=2 x+1, \; f(1)=2$ 일 때, $f(x)$는?
풀이)
$\begin{aligned} & \int\left\{2 x f(x)+x^2 f^{\prime}(x)\right\} d x=\int(2 x+1) d x \\ & x^2 f(x)=x^2+x+C \\ & f(x)=1+\frac{1}{x}+\frac{C}{x^2} \\ &\\ & f(1)=2+C=2 \;\;\rightarrow\;\; C=0 \\ & f(x)=1+\frac{1}{x}\end{aligned}$
문제5)
$\left\{f(x)+f^{\prime}(x)\right\} e^x=2 x+1, \; f(0)=1$ 일 때, $f(x)$는?
풀이)
$\begin{aligned} & \int\left\{f(x)+f^{\prime}(x)\right\} e^x d x=\int(2 x+1) d x \\ & e^x f(x)=x^2+x+C \\ & f(x)=\frac{x^2+x+C}{e^x} \\ &\\ & f(0)=C=1 \\ & f(x)=\frac{x^2+x+1}{e^x}\end{aligned}$
문제6)
$\left\{f^{\prime}(x)-f(x)\right\} e^{-x}=2 x+1, \; f(0)=1$ 일 때, $f(x)$는?
풀이)
$\begin{aligned} & \int\left\{f^{\prime}(x)-f(x)\right\} e^{-x} d x=\int(2 x+1) d x \\ & e^{-x} f(x)=x^2+x+C \\ & f(x)=\frac{x^2+x+C}{e^{-x}}=\left(x^2+x+C\right) e^x \\ &\\ & f(0)=C=1 \\ & f(x)=\left(x^2+x+1\right) e^x\end{aligned}$
문제7)
$ \begin{aligned} \frac{f^{\prime}(x)}{\{f(x)\}^2}=2 x+1, \; f(0)=1 \end{aligned} $ 일 때, $f(x)$는?
풀이)
$\begin{aligned} & \int \frac{f^{\prime}(x)}{\{f(x)\}^2} d x=\int(2 x+1) d x \\ & -\frac{1}{f(x)}=x^2+x+C \\ & f(x)=-\frac{1}{x^2+x+C} \\ &\\ & f(0)=-\frac{1}{C}=1 \;\;\rightarrow\;\; C=-1 \\ & f(x)=-\frac{1}{x^2+x-1}\end{aligned}$
문제8)
$ \begin{aligned} \frac{x f^{\prime}(x)-f(x)}{x^2}=2 x+1, \; f(1)=2 \end{aligned} $ 일 때, $f(x)$는?
풀이)
$\begin{aligned} & \int \frac{x f^{\prime}(x)-f(x)}{x^2} d x=\int(2 x+1) d x \\ & \frac{f(x)}{x}=x^2+x+C \\ & f(x)=x^3+x^2+C x \\ &\\ & f(1)=2+C=2 \;\;\rightarrow\;\; C=0 \\ & f(x)=x^3+x^2\end{aligned}$
문제9)
$x f^{\prime}(x)-f(x)=2 x^3+x^2, \;f(1)=2$ 일 때, $f(x)$는?
풀이)
$\begin{aligned} x f^{\prime}(x)-f(x) & =2 x^3+x^2 \\ & =x^2(2 x+1)\end{aligned}$
$ \begin{aligned} \frac{x f^{\prime}(x)-f(x)}{x^2}=2 x+1 \end{aligned} $
문제8과 같은 문제입니다.
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