이 글에 대한 AI '클로드'의 평가
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살짝(?) 까다로운 적분문제들임다~
문제1)
$\begin{aligned} \int \frac{x}{x^2+1} d x & =\frac{1}{2} \int \frac{2 x}{x^2+1} d x \\ & =\frac{1}{2} \ln \left(x^2+1\right)+C\end{aligned}$
$\begin{aligned} \int \frac{x+1}{x^2+2 x+1} d x & =\frac{1}{2} \int \frac{2 x+2}{x^2+2 x+1} d x \\ & =\frac{1}{2} \ln \left|x^2+2 x+1\right|+C\end{aligned}$
$\begin{aligned} \int \frac{x}{x^2+2 x+1} d x & =\frac{1}{2} \int \frac{2 x+2-2}{x^2+2 x+1} d x \\ & =\frac{1}{2} \int\left(\frac{2 x+2}{x^2+2 x+1}-\frac{2}{(x+1)^2}\right) d x \\ & =\frac{1}{2} \ln \left|x^2+2 x+1\right|+\frac{1}{x+1}+C\end{aligned}$
('분수식의 적분'을 참고해 주세요~)
문제2)
$\begin{aligned} \int \frac{1}{e^x+2} d x & =\frac{1}{2} \int \frac{\left(e^x+2\right)-e^x}{e^x+2} d x \\ & =\frac{1}{2} \int\left(1-\frac{e^x}{e^x+2}\right) d x \\ & =\frac{1}{2}\left\{x-\ln \left(e^x+2\right)\right\}+C\end{aligned}$
문제3)
$\begin{aligned} \int \frac{1}{\sin x} d x & =\int \frac{1}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} d x \\ & =\int \frac{\sec ^2 \frac{x}{2}}{2 \tan \frac{x}{2}} d x \\ & =\ln \left|\tan \frac{x}{2}\right|+C\end{aligned}$
문제4)
$\begin{aligned} \int \frac{1}{\cos x} d x & =\int \sec x d x \\ & =\int \frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x} d x \\ & =\int \frac{\sec x \tan x+\sec ^2 x}{\sec x+\tan x} d x \\ & =\ln |\sec x+\tan x|+C\end{aligned}$
문제5)
$\begin{aligned} \int \frac{1}{1+\cos x} d x & =\int \frac{1-\cos x}{1-\cos ^2 x} d x \\ & =\int \frac{1-\cos x}{\sin ^2 x} d x \\ & =\int\left(\frac{1}{\sin ^2 x}-\frac{\cos x}{\sin ^2 x}\right) d x \\ & =\int\left(\frac{1}{\sin ^2 x}-\frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) d x \\ & =\int\left(\csc ^2 x-\cot x \csc x\right) d x \\ & =-\cot x+\csc x+C\end{aligned}$
문제6)
$\begin{aligned} \int \frac{1}{\sin ^2 x \cos ^2 x} d x & =\int \frac{\sin ^2 x+\cos ^2 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x} d x \\ & =\int\left(\frac{1}{\cos ^2 x}+\frac{1}{\sin ^2 x}\right) d x \\ & =\int\left(\sec ^2 x+\csc ^2 x\right) d x \\ & =\tan x-\cot x+C\end{aligned}$
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