이 글에 대한 AI '클로드'의 평가
(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)
(2026 수능 미적분 28번 풀이)를 이해하기 위한 글입니다.
빗금친 부분의 넓이를 구하라고 하면
풀이1)
주어진 함수는
역함수를 구할 수 있으므로
역함수를 구하고
$\begin{aligned} & y=\sqrt{x-4}+1 \\ & \sqrt{x-4}=y-1 \\ & x-4=(y-1)^2 \\ & x=y^2-2 y+5\end{aligned}$
따라서 역함수는
$y=x^2-2x+5$
적분해서 구해도 되지만
$\begin{aligned} \int_1^2 x d y & =\int_1^2\left(y^2-2 y+5\right) d y \\ & =\left[\frac{1}{3} y^3-y^2+5 y\right]_1^2 \\ & =\left(\frac{8}{3}-4+10\right)-\left(\frac{1}{3}-1+5\right) \\ & =\frac{13}{3}\end{aligned}$
중간에 식을 하나 더 쓰면
$\begin{aligned} \int_1^2 x d y & =\int_1^2 f^{-1}(y) d y \\ & =\int_1^2\left(y^2-2 y+5\right) d y \\ & =\left[\frac{1}{3} y^3-y^2+5 y\right]_1^2 \\ & =\left(\frac{8}{3}-4+10\right)-\left(\frac{1}{3}-1+5\right) \\ & =\frac{13}{3}\end{aligned}$
풀이2)
굳이 역함수를 구하지 않고
전체 넓이에서 넓이①과 넓이②를 빼주면 됩니다.
$\begin{aligned} \int_1^2 x d y & =\int_1^2 f^{-1}(y) d y \\ & =10-(\text { 넓이① }+ \text { 넓이② }) \\ & =10-\left(4+\int_4^5(\sqrt{x-4}+1) d x\right) \\ & =10-\left(4+\left[\frac{2}{3}(x-4)^{\frac{3}{2}}+x\right] \begin{array}{l}5 \\ 4\end{array}\right) \\ & =10-\left(4+\left(\frac{2}{3}+5\right)-(0+4)\right) \\ & =\frac{13}{3}\end{aligned}$
28번 문제는
주어진 함수의 역함수를 구할 수 없기 때문에
풀이2로 풀 수 밖에 없지만
사실 역함수를 구할 수 있든 없든
풀이2가 편합니다. ;; 암튼
(2026 수능 미적분 28번) 풀이 중에서
$\begin{aligned} \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{27}{4}} g(t) d t & =\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{27}{4}} h^{-1}(t) d t \;\;\leftarrow\;\; \text {넓이②} \\ & =\left(\frac{27}{4} \times 3\right)-\left\{\left(\frac{1}{2} \times 1\right)+\text { 넓이① }\right\} \\ & =\frac{81}{4}-\left(\frac{1}{2}+\int_1^3 t d s\right) \\ & =\frac{79}{4}-\int_1^3 h(s) d s \\ & =\frac{79}{4}-\int_1^3 \frac{s^3}{s+1} d s \\ & =\frac{79}{4}-\int_1^3 \frac{\left(s^3+1\right)-1}{s+1} d s \\ & =\frac{79}{4}-\int_1^3\left(s^2-s+1-\frac{1}{s+1}\right) d s \\ & =\frac{79}{4}-\left[\frac{1}{3} s^3-\frac{1}{2} s^2+s-\ln (s+1)\right] \frac{3}{1} \\ & =\frac{79}{4}-\left\{\left(9-\frac{9}{2}+3-\ln 4\right)-\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+1-\ln 2\right)\right\} \\ & =\frac{79}{4}-\left\{\left(\frac{15}{2}-2 \ln 2\right)-\left(\frac{5}{6}-\ln 2\right)\right\} \\ & =\frac{79}{4}-\left(\frac{20}{3}-\ln 2\right) \\ & =\frac{157}{12}+\ln 2\end{aligned}$
첫째줄과 둘째줄
$\begin{aligned} \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{27}{4}} g(t) d t & =\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{27}{4}} h^{-1}(t) d t \;\;\leftarrow\;\; \text {넓이②} \\ & =\left(\frac{27}{4} \times 3\right)-\left\{\left(\frac{1}{2} \times 1\right)+\text { 넓이① }\right\}\end{aligned}$
이 두 개의 식은
결과적으로 값만 같을 뿐
수식으로는 아무런 관련이 없습니다.
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