식, 함수, 방정식

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

좌변과 우변이 없는

그냥 단순한 식에서는 특정한 수를 곱하거나 나누면 안 돼요~

 

$\begin{array}{ll}2x^2+4x-6\;을\;인수분해\;하시오.\qquad\quad&\frac{1}{2}x^2-3x+4\;를\;인수분해\;하시오.\\\;&\;\\(잘못된\;풀이)&(잘못된\;풀이)\\2x^2+4x-6&\frac{1}{2}x^2-3x+4\\=x^2+2x-3&=x^2-6x+8\\=(x+3)(x-1)&=(x-2)(x-4)\\\;&\;\\(바른\;풀이)&(바른\;풀이)\\2x^2+4x-6&\frac{1}{2}x^2-3x+4\\=2(x^2+2x-3)&=\frac{1}{2}(x^2-6x+8)\\=2(x+3)(x-1)&=\frac{1}{2}(x-2)(x-4)\end{array}$

 

 

 

함수는 좌변과 우변이 있지만

지금은 좌변 y는 가만히 놔두고 우변만 바꾸는 거니까

우변에만 특정한 수를 곱하거나 나누면 안 돼요~

 

$\begin{array}{ll}y=2x^2+4x-6\;을\;완전제곱식으로\qquad&y=\frac{1}{2}x^2-3x+4\;를\;완전제곱식으로\\\;&\;\\(잘못된\;풀이)&(잘못된\;풀이)\\y=2x^2+4x-6&y=\frac{1}{2}x^2-3x+4\\\;\;\;=x^2+2x-3&\;\;\;=x^2-6x+8\\\;\;\;=(x^2+2x+1-1)-3&\;\;\;=(x^2-6x+9-9)+8\\\;\;\;=(x+1)^{2}-4&\;\;\;=(x-3)^{2}-1\\\;&\;\\(바른\;풀이)&(바른\;풀이)\\y=2x^2+4x-6&y=\frac{1}{2}x^2-3x+4\\\;\;\;=2(x^2+2x)-6&\;\;\;=\frac{1}{2}(x^2-6x)+4\\\;\;\;=2(x^2+2x+1-1)-6&\;\;\;=\frac{1}{2}(x^2-6x+9-9)+4\\\;\;\;=2(x+1)^{2}-8&\;\;\;=\frac{1}{2}(x-3)^{2}-\frac{1}{2}\end{array}$

 

 

 

방정식의 양변에 같은 수를 곱하거나 나누는 것은 상관없습니다.

 

$\begin{array}{ll}2x^2+4x-6=0\;의\;해를\;구하시오.\qquad\quad&\frac{1}{2}x^2-3x+4=0\;의\;해를\;구하시오.\\\;&\;\\2x^2+4x-6=0&\frac{1}{2}x^2-3x+4=0\\\frac{1}{2}(2x^2+4x-6)=\frac{1}{2}\times0&2(\frac{1}{2}x^2-3x+4)=2\times0\\x^2+2x-3=0&x^2-6x+8=0\\(x+3)(x-1)=0&(x-2)(x-4)=0\\\therefore\;x=-3\;\;또는\;\;x=1&\therefore\;x=2\;\;또는\;\;x=4\end{array}$

 

물론 아래와 같이 걍 풀어도 되지만... 굳이...

 

$\begin{array}{ll}2x^2+4x-6=0\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\;\;&\frac{1}{2}x^2-3x+4=0\\2(x^2+2x-3)=0&\frac{1}{2}(x^2-6x+8)=0\\2(x+3)(x-1)=0&\frac{1}{2}(x-2)(x-4)=0\\\therefore\;x=-3\;\;또는\;\;x=1&\therefore\;x=2\;\;또는\;\;x=4\end{array}$

 

 

 

수학공부를 하다보면

가끔 한번씩 등장하는 식이 있습니다.

 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca$

 

인수분해 공식에도 등장하죠.

 

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$

 

이 식을 한번 바꿔볼께요. 요렇게

 

$\begin{aligned}&a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca\\&=2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ca\end{aligned}$

 

이러면 안 되는 거 알죠..?!

멀쩡한 식에 2를 곱해주면 안 된다고 위에서 말씀드렸슴다..!!

 

2를 곱해줘야 한다면 이렇게 해야 합니다.

그래야 식에 변함이 없으니까요.

 

$\begin{aligned}&a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca\\&=\frac{1}{2}(2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ca)\end{aligned}$

 

계속해서 정리하면

 

$\begin{aligned}&a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca\\&=\frac{1}{2}(2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ca)\\&=\frac{1}{2}\{(a^{2}-2ab+b^{2})+(b^{2}-2bc+c^{2})+(c^{2}-2ca+a^{2})\}\\&=\frac{1}{2}\{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\}\end{aligned}$

 

아래와 같이 정리하면 안 돼요~

 

$\begin{aligned}&a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca\\&=2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ca\\&=(a^{2}-2ab+b^{2})+(b^{2}-2bc+c^{2})+(c^{2}-2ca+a^{2})\\&=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\end{aligned}$

 

 

 

이번엔 그냥 단순식이 아니라

좌변과 우변이 있는 방정식입니다.

 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=0$

 

이 때는 좌변과 우변에 2를 곱해줘서

이렇게 쓸 수 있죠. (우변은 2를 곱해줘도 0입니다.)

 

$2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ca=0$

 

계속해서 정리하면

 

$\begin{aligned}&a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=0\\&2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ca=0\\&(a^{2}-2ab+b^{2})+(b^{2}-2bc+c^{2})+(c^{2}-2ca+a^{2})=0\\&(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0\end{aligned}$

 

 

 

하나 더 할께요~

 

$a^{2}+b^{2}+1-ab-b-a$

 

아래 식에서

c에 1을 대입한 것 뿐인데 많이 달라 보이죠..?!

 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca$

 

순서까지 바꿔서 써놓으면

더 이상하게 보입니다. ㅠ

 

$a^{2}+b^{2}-ab-a-b+1$

 

암튼 정리해 볼까요.

 

$\begin{aligned}&a^{2}+b^{2}-ab-a-b+1\\&=\frac{1}{2}(2a^{2}+2b^{2}-2ab-2a-2b+2)\\&=\frac{1}{2}\{(a^{2}-2ab+b^{2})+(b^{2}-2b+1)+(1-2a+a^{2})\}\\&=\frac{1}{2}\{(a-b)^{2}+(b-1)^{2}+(a-1)^{2}\}\end{aligned}$

 

이러면↓ 안 돼요~

 

$\begin{aligned}&a^{2}+b^{2}-ab-a-b+1\\&=2a^{2}+2b^{2}-2ab-2a-2b+2\\&=(a^{2}-2ab+b^{2})+(b^{2}-2b+1)+(1-2a+a^{2})\\&=(a-b)^{2}+(b-1)^{2}+(a-1)^{2}\end{aligned}$

 

뭐... 방정식이라면 이렇게↓

 

$\begin{aligned}&a^{2}+b^{2}-ab-a-b+1=0\\&2a^{2}+2b^{2}-2ab-2a-2b+2=0\\&(a^{2}-2ab+b^{2})+(b^{2}-2b+1)+(1-2a+a^{2})=0\\&(a-b)^{2}+(b-1)^{2}+(a-1)^{2}=0\end{aligned}$

 

 

 

여기까지요오~ ^-^//

 

 

 

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