절댓값 그래프 (2)

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

 

 

 

 

y=|x-1|

y=|x-1|+|x-2|

y=|x-1|+|x-2|+|x-3|

 

절댓값이 1개, 2개, 3개인 함수

차례대로 한번 그려보겠습니다.

 

 

 

① 절댓값이 1개인 함수

 

y=|x-1|

 

ⅰ) x≥1

y=x-1

ⅱ) x<1

y=-x+1

두 그래프를 합치면

 

다른 방식으로 그려보면

 

일단 절댓값을 없애고 그린 다음

 

y=x-1

y값이 음수인 부분은

위로 올려줍니다. (x축에 대하여 대칭이동)

 

그리고 y값이 음수인 부분을 지워주면

우리가 그리고자 하는 그래프가 나옵니다.

 

조금 더 자세한 내용은

'절댓값 그래프 (1)'을 참고하세요~

 

 

이렇게 그리든 저렇게 그리든

그래프를 그릴 수는 있는데

 

문제는 셤 볼 때

이럴 시간이 없다는 거..!!

 

이런 그래프가 나올 때마다

일일이 이런 식으로 그리다보면 시간 다 갑니다. ㅠ

 

그래서 앞으로는

바로 한번에 그릴 거예요~

 

 

y=|x-1|

 

1에서 꺽이고

하나는 양수로 나와서 → y=x-1

하나는 음수로 나와서 → y=-x+1

 

 

 

연습1)

y=|x+2|

 

-2에서 꺽이고

하나는 양수로 나와서 → y=x+2

하나는 음수로 나와서 → y=-x-2

 

 

 

연습2)

y=|2x-3|

 

3/2에서 꺽이고

하나는 양수로 나와서 → y=2x-3

하나는 음수로 나와서 → y=-2x+3

 

 

 

 

 

② 절댓값이 2개인 함수

y=|x-1|과 같이

절댓값이 1개인 함수에서는

기준점이 1, 하나여서

 

1보다 크다, 1보다 작다

두 가지 경우만 조사하면 됐지만

 

y=|x-1|+|x-2|와 같이

절댓값이 2개인 함수에서는

기준점이 1과 2, 두 개여서

 

1보다 작다, 1과 2사이, 2보다 크다

세 가지 경우를 조사해야 합니다.

 

 

한번 해볼까요

 

 

유형1)

y=|x-1|+|x-2|

 

ⅰ) x>2

y=(x-1)+(x-2)

  =2x-3

ⅱ) 1≤x≤2

y=(x-1)-(x-2)

  =1

ⅲ) x<1

y=-(x-1)-(x-2)

  =-2x+3

세 그래프를 합치면

 

이 역시 셤에 나올 때마다

일일이 그리기에는 시간이 많이 걸립니다. ㅠ

 

물론 평소에 많이 그려보면

금방 그럴 수도 있겠죠..?! ;;

 

암튼 앞으로는

바로 한번에 그릴 거예요~

 

y=|x-1|+|x-2|

f(x)=|x-1|+|x-2|로 놓으면 f(1)=1, f(2)=1

 

즉, 이 그래프는 (1, 1)과 (2, 1)을 지납니다.

좌표평면에 두 점을 찍고 그냥 연결합니다. (하늘 향해 팔 벌린 모양으로 ;;)

 

둘 다 양수로 나와서 → y=(x-1)+(x-2)=2x-3

둘 다 음수로 나와서 → y=-(x-1)-(x-2)=-2x+3

하나는 양수, 하나는 음수로 나와서 → y=(x-1)-(x-2)=1

 

 

연습)

y=|x-1|+|x+2|

f(x)=|x-1|+|x+2|로 놓으면 f(1)=3, f(-2)=3

 

즉, 이 그래프는 (1, 3)과 (-2, 3)을 지납니다.

좌표평면에 두 점을 찍고 그냥 연결합니다. (하늘 향해 팔 벌린 모양으로 ;;)

 

둘 다 양수로 나와서 → y=(x-1)+(x+2)=2x+1

둘 다 음수로 나와서 → y=-(x-1)-(x+2)=-2x-1

하나는 양수, 하나는 음수로 나와서 → y=-(x-1)+(x+2)=3

 

 

 

유형2)

y=|x-1|-|x-2|

 

ⅰ) x>2

y=(x-1)-(x-2)

  =1

ⅱ) 1≤x≤2

y=(x-1)+(x-2)

  =2x-3

ⅲ) x<1

y=-(x-1)+(x-2)

=-1

세 그래프를 합치면

 

바로 그려보면

 

y=|x-1|-|x-2|

f(x)=|x-1|-|x-2|로 놓으면 f(1)=-1, f(2)=1

 

즉, 이 그래프는 (1, -1)과 (2, 1)을 지납니다.

좌표평면에 두 점을 찍고 그냥 연결합니다. (양쪽은 x축과 평행하게)

 

둘 다 양수로 나와서 → y=(x-1)-(x-2)=1

둘 다 음수로 나와서 → y=-(x-1)+(x-2)=-1

하나는 양수, 하나는 음수로 나와서 → y=(x-1)+(x-2)=2x-3

 

 

연습)

y=|x+2|-|x-1|

f(x)=|x+2|-|x-1|로 놓으면 f(-2)=-3, f(1)=3

 

즉, 이 그래프는 (-2, -3)과 (1, 3)을 지납니다.

좌표평면에 두 점을 찍고 그냥 연결합니다. (양쪽은 x축과 평행하게)

 

둘 다 양수로 나와서 → y=(x+2)-(x-1)=3

둘 다 음수로 나와서 → y=-(x+2)+(x-1)=-3

하나는 양수, 하나는 음수로 나와서 → y=(x+2)+(x-1)=2x+1

 

 

 

유형3)

y=|x-2|-|x-1|

 

ⅰ) x>2

y=(x-2)-(x-1)

  =-1

ⅱ) 1≤x≤2

y=-(x-2)-(x-1)

  =-2x+3

ⅲ) x<1

y=-(x-2)+(x-1)

  =1

세 그래프를 합치면

 

바로 그려보면

 

y=|x-2|-|x-1|

f(x)=|x-2|-|x-1|로 놓으면 f(1)=1, f(2)=-1

 

즉, 이 그래프는 (1, 1)과 (2, -1)을 지납니다.

좌표평면에 두 점을 찍고 그냥 연결합니다. (양쪽은 x축과 평행하게)

 

둘 다 양수로 나와서 → y=(x-2)-(x-1)=-1

둘 다 음수로 나와서 → y=-(x-2)+(x-1)=1

하나는 양수, 하나는 음수로 나와서 → y=-(x-2)-(x-1)=-2x+3

 

 

연습)

y=|x-1|-|x+2|

f(x)=|x-1|-|x+2|로 놓으면 f(-2)=3, f(1)=-3

 

즉, 이 그래프는 (-2, 3)과 (1, -3)을 지납니다.

좌표평면에 두 점을 찍고 그냥 연결합니다. (양쪽은 x축과 평행하게)

 

둘 다 양수로 나와서 → y=(x-1)-(x+2)=-3

둘 다 음수로 나와서 → y=-(x-1)+(x+2)=3

하나는 양수, 하나는 음수로 나와서 → y=-(x-1)-(x+2)=-2x-1

 

 

 

 

 

③ 절댓값이 3개인 함수

 

y=|x-1|+|x-2|+|x-3|

 

이번에는 기준점이 3개 (1, 2, 3)

따라서, 구간을 네 개로 나눠야 합니다.

 

ⅰ) x>3

y=(x-1)+(x-2)+(x-3)

  =3x-6

ⅱ) 2<x≤3

y=(x-1)+(x-2)-(x-3)

  =x

ⅲ) 1<x≤2

y=(x-1)-(x-2)-(x-3)

  =-x+4

ⅳ) x≤1

y=-(x-1)-(x-2)-(x-3)

  =-3x+6

네 그래프를 합치면

 

바로 그려보면

 

y=|x-1|+|x-2|+|x-3|

f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|으로 놓으면 f(1)=3, f(2)=2, f(3)=3

 

즉, 이 그래프는 (1, 3)과 (2, 2)와 (3, 3)을 지납니다.

좌표평면에 세 점을 찍고 그냥 연결합니다. (양쪽 두 직선은 기울기가 ±3, 가운데 두 직선은 기울기가 ±1)

 

셋 다 양수로 나와서 → y=(x-1)+(x-2)+(x-3)=3x-6

셋 다 음수로 나와서 → y=-(x-1)-(x-2)-(x-3)=-3x+6

둘은 양수, 하나는 음수로 나와서 → y=(x-1)+(x-2)-(x-3)=x

둘은 음수, 하나는 양수로 나와서 → y=(x-1)-(x-2)-(x-3)=-x+4

 

 

연습)

y=|x+1|+|x-2|+|x-3|

f(x)=|x+1|+|x-2|+|x-3|으로 놓으면 f(-1)=7, f(2)=4, f(3)=5

 

즉, 이 그래프는 (-1, 7)과 (2, 4)와 (3, 5)를 지납니다.

좌표평면에 세 점을 찍고 그냥 연결합니다. (양쪽 두 직선은 기울기가 ±3, 가운데 두 직선은 기울기가 ±1)

 

셋 다 양수로 나와서 → y=(x+1)+(x-2)+(x-3)=3x-4

셋 다 음수로 나와서 → y=-(x+1)-(x-2)-(x-3)=-3x+4

둘은 양수, 하나는 음수로 나와서 → y=(x+1)+(x-2)-(x-3)=x+2

둘은 음수, 하나는 양수로 나와서 → y=(x+1)-(x-2)-(x-3)=-x+6

 

 

 

가끔 이런 문제가 등장합니다.

 

f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|의 최솟값은?

 

그래프를 정확히 그려서 최솟값을 찾아야 하겠지만

그려보면 결론은 다음과 같습니다.

 

기준점 3개 중 가운데 값일 때 (1, 2, 3 중 가운데 값은 2)

최솟값을 가진다. 즉

 

최솟값은 f(2)=2입니다.

 

위에서 그린 그래프에서 확인해 보세요~

 

 

연습)

f(x)=|x+1|+|x-2|+|x-3|의 최솟값은?

 

기준점 3개 (-1, 2, 3) 중에

가운데 값은 2

 

따라서

최솟값은 f(2)=4입니다.

 

역시 위에서 그린 그래프에서 확인해 보세요~

 

 

 

PS.

같은 원리로(?)

 

f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|는

x=3 에서 최솟값을 갖고

 

f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|은

x=4 에서 최솟값을 갖습니다.

 

 

 

 

 

 

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