조합과 순열 (3)

 

 

 

A, B, C, D, E 에서 3개를 뽑는 방법은?

A, B, C, D, E 에서 3개를 뽑는 방법은? 중복을 허용해서

A, B, C, D, E 에서 3개를 뽑아 나열하는 방법은?

A, B, C, D, E 에서 3개를 뽑아 나열하는 방법은? 중복을 허용해서

중복조합, 중복순열... 개념은 간단한데(?)

문제를 풀려면 살짝살짝 헷갈립니다.

 

 

 

문제1)

같은 종류(똑같이 생긴, 구별이 되지 않는)의 농구공 7개를

서로 다른 바구니 4개에 담는 경우의 수는? (빈 바구니가 있을 수도 있다.)

 

7개에서 4개를 뽑는 건가?

4개에서 7개를 뽑는 건가?

어느 것 같나요?

 

이런 중복조합 문제는

농구공을 바구니에 담는 방법으로 생각하면 헷갈립니다.

(농구공 7개를 바구니 4개에 어케 담지?)

 

그러지말고

 

바구니에 농구공을 다 담았다치고

바구니에서 농구공을 뽑는 방법으로 생각하면 이해가 쉽습니다.

(바구니 4개에서 농구공 7개를 어케 뽑지?)

 

예를 들어

 

A바구니 2개, B바구니 1개, C바구니 1개, D바구니 3개 → AABCDDD

A바구니 3개, B바구니 2개, C바구니 2개, D바구니 0개 → AAABBCC

A바구니 1개, B바구니 0개, C바구니 0개, D바구니 6개 → ADDDDDD

 

그럼 결국은

이런 문제가 돼버립니다.

 

4개의 문자 A, B, C, D 에서 중복을 허용해서

7개의 문자를 뽑는 경우의 수..!!

 

따라서, 답은

이해가 안 된다구요?

그건 제 책임이 아니고... 여러분 책임입니다..!! ;;;;;

더이상 어케 설명할 수가 없습니다. ㅠ

 

하나 더 연습해보면

 

똑같은 옆서 5통을

서로 다른 우체통 8개에 넣는 경우의 수는?

 

우체통에 엽서를 다 넣었다치고

우체통에서 엽서를 뽑는다고 생각하면

 

 

문제2)

숫자 1, 2, 3 으로 중복을 허용해서

만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수는?

 

3개에서 4개를 뽑는 건가?

4개에서 3개를 뽑는 건가?

어느 것 같나요?

 

이런 중복순열 문제는

4개에서 3개? 3개에서 4개? 고민하지 말고

중학생 마인드(?)로 접근하면 간단하게 풀립니다.

 

네 자리 자연수에서

 

첫째 자리에 올 수 있는 경우는 3가지 (1, 2, 3 중 아무거나)

둘째 자리에 올 수 있는 경우도 3가지 (중복을 허용하니까 1, 2, 3 중 아무거나)

셋째 자리에 올 수 있는 경우도 3가지 (중복을 허용하니까 1, 2, 3 중 아무거나)

넷째 자리에 올 수 있는 경우도 3가지 (중복을 허용하니까 1, 2, 3 중 아무거나)

 

중학교 도식(?)으로 그려보면

따라서, 답은

굳이 중복순열로 표시해보면

이렇게 생각하면 어떨 거 같나요?

 

숫자 1이 갈 수 있는 자리는 4가지 (첫째 자리, 둘째 자리, 셋째 자리, 넷째 자리 중 아무데나)

숫자 2가 갈 수 있는 자리도 4가지 (첫째 자리, 둘째 자리, 셋째 자리, 넷째 자리 중 아무데나)

숫자 3이 갈 수 있는 자리도 4가지 (첫째 자리, 둘째 자리, 셋째 자리, 넷째 자리 중 아무데나)

 

따라서, 4x4x4 = 64

 

이렇게 생각하면 안 돼요..!!

 

왜냐면, 이렇게 되면

하나의 바구니에 공이 몇 개라도 들어갈 수 있는 것처럼

하나의 자리에 숫자가 몇 개라도 들어갈 수 있습니다.

 

하나의 자리에 숫자가 하나만 들어가야지

2개 이상 들어가면 안 되잖아요..?! 말이 어렵죠..?! ㅠ

 

그런데 문제는..!!

숫자배열 문제를 제외하면

대부분의 중복순열 문제들은 이런 식으로 생각해야 한다는 거..!!

 

감을 잡기 위해서

몇 문제 더 연습해 볼께요

 

세 사람 A, B, C 가

네 개의 방 101호, 102호, 103호, 104호에 들어가는 경우의 수는?

 

A가 들어갈 수 있는 방은 4가지 (101호, 102호, 103호, 104호 중 아무데나)

B가 들어갈 수 있는 방도 4가지 (101호, 102호, 103호, 104호 중 아무데나)

C가 들어갈 수 있는 방도 4가지 (101호, 102호, 103호, 104호 중 아무데나)

 

따라서, 답은

굳이 중복순열로 표시해보면

이걸 숫자배열과 같이 생각해서

 

101호에 들어갈 수 있는 경우는 3가지 (A, B, C 중 아무나)

102호에 들어갈 수 있는 경우도 3가지 (중복을 허용하니까 A, B, C 중 아무나)

103호에 들어갈 수 있는 경우도 3가지 (중복을 허용하니까 A, B, C 중 아무나)

104호에 들어갈 수 있는 경우도 3가지 (중복을 허용하니까 A, B, C 중 아무나)

 

따라서, 3x3x3x3 = 81

 

이렇게 생각하면 안 돼요..!!

 

왜냐면, 이렇게 되면

방 하나에 여러 명이 들어가도 되는데

한 명만 들어가게 되고... 또한

 

한 명이 하나의 방에 들어가면

다른 방에는 들어갈 수 없는데 (숫자라면 가능..!!)

다른 방에도 들어갈 수 있게 됩니다. 역시 어렵죠..?! ㅠ

 

이해는 여러분 몫으로 남겨둘께요~

저의 역할은 여기까지... ;;;;;

 

끝난 건 아니구요

아래 문제도 여러분이 한 번 잘 생각해 보세요~

 

서로 다른 농구공 7개를

서로 다른 바구니 4개에 담는 경우의 수는? (빈 바구니가 있을 수도 있다.)

(문제1에서는 서로 같은 농구공, 지금은 서로 다른 농구공)

 

공 하나가 들어갈 수 있는 경우의 수는 4가지

 

따라서, 답은

중복순열로 표시하면

서로 다른 엽서 5통을

서로 다른 우체통 8개에 넣는 경우의 수는?

(문제1에서는 서로 같은 엽서, 지금은 서로 다른 엽서)

 

엽서 하나가 들어갈 수 있는 경우의 수는 8가지

 

따라서, 답은

중복순열로 표시하면

결국은

다 똑같은 문제라는 거..!! 보이죠..?! ^-^//

 

 

 

요기로 가면 → www.gajok.co.kr/math.html

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