조합과 순열 (5)

 

 

 

문제1)

방정식 x+y+z=8 을 만족시키는

음이 아닌 정수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는?

 

예를 들어

 

x=2, y=1, z=5 라고 하면 xxyzzzzz

x=3, y=5, z=0 라고 하면 xxxyyyyy

x=0, y=0, z=8 라고 하면 zzzzzzzz

 

이런 식으로 생각하면

 

세 개의 문자 x, y, z 에서

중복을 허락하여 8개를 뽑는 경우의 수가 됩니다..!!

 

따라서, 답은

 

이해되죠..?!

 

 

 

문제2)

방정식 x+y+z=8 을 만족시키는

자연수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는?

 

x, y, z 가

자연수라고 했으니까

 

X=x-1, Y=y-1, Z=z-1 로 놓으면

 

X, Y, Z 는

음이 아닌 정수가 되고

 

이걸 주어진 식에 대입하면

 

(X+1)+(Y+1)+(Z+1)=8

X+Y+Z=5

 

따라서

문제가 이렇게 바뀝니다.

 

방정식 X+Y+Z=5 를 만족시키는

음이 아닌 정수 X, Y, Z의 순서쌍 (X, Y, Z)의 개수는?

 

문제1과 똑같습니다..!!

 

그럼... 뭐... 답은

 

감이 잡히는 거죠..?!

 

 

 

문제3)

방정식 x+y+z=13 을 만족시키는

x≥2, y≥2, z≥2 인 정수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는?

 

x, y, z 가

x≥2, y≥2, z≥2 인 정수라고 했으니까

 

X=x-2, Y=y-2, Z=z-2 로 놓으면

 

X, Y, Z 는

음이 아닌 정수가 되고

 

이걸 주어진 식에 대입하면

 

(X+2)+(Y+2)+(Z+2)=13

X+Y+Z=7

 

따라서

문제가 이렇게 바뀝니다.

 

방정식 X+Y+Z=7 을 만족시키는

음이 아닌 정수 X, Y, Z의 순서쌍 (X, Y, Z)의 개수는?

 

역시 문제1과 똑같고..!!

 

답은

 

 

 

똑같은(?) 문제 몇 개 더 풀어볼께요~

대신 풀이는 약식으로... ;;;;;

 

 

 

문제4)

방정식 x+y+z=13 을 만족시키는

x≥2, y≥3, z≥4 인 정수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는?

 

X=x-2, Y=y-3, Z=z-4 로 놓으면

 

X, Y, Z 는

음이 아닌 정수가 되고

 

이걸 주어진 식에 대입하면

 

(X+2)+(Y+3)+(Z+4)=13

X+Y+Z=4

 

따라서, 답은

 

 

 

문제5)

방정식 x+y+z=13 을 만족시키는

홀수인 자연수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는?

 

홀수에서 1을 빼주고 2로 나눠주면

음이 아닌 정수가 됩니다.

 

1 → (1-1)/2=0

3 → (3-1)/2=1

5 → (5-1)/2=2

7 → (7-1)/2=3

9 → (9-1)/2=4

 

그럼

X=(x-1)/2, Y=(y-1)/2, Z=(z-1)/2 로 놓으면

 

X, Y, Z 는

음이 아닌 정수가 되고

 

이걸 주어진 식에 대입하면

 

(2X+1)+(2Y+1)+(2Z+1)=13

X+Y+Z=5

 

따라서, 답은

 

 

 

문제6)

방정식 x+y+z=18 을 만족시키는

2이상의 짝수인 자연수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는?

 

짝수에서 2를 빼주고 2로 나눠주면

음이 아닌 정수가 됩니다.

 

2 → (2-2)/2=0

4 → (4-2)/2=1

6 → (6-2)/2=2

8 → (8-2)/2=3

 

그럼

X=(x-2)/2, Y=(y-2)/2, Z=(z-2)/2 로 놓으면

 

X, Y, Z 는

음이 아닌 정수가 되고

 

이걸 주어진 식에 대입하면

 

(2X+2)+(2Y+2)+(2Z+2)=18

X+Y+Z=6

 

따라서, 답은

 

 

 

문제7)

부등식 x+y+z≤3 을 만족시키는

음이 아닌 정수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는?

 

 

 

문제8)

방정식 a+b+c+d=10 을 만족시키는

음이 아닌 정수 a, b, c, d의 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수는?

 

 

 

문제9)

방정식 a+b+c+d+e=10 을 만족시키는

음이 아닌 정수 a, b, c, d, e의 순서쌍 (a, b, c, d, e)의 개수는?

 

 

 

이렇게까지 했는데

다른 유형의 문제가 더 있을지 모르겠네요... ^-^//

 

 

 

요기로 가면 → www.gajok.co.kr/math.html

다른 글들도 편리하게 볼 수 있습니다.