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문제)
세 직선 2x-y-8=0, x+7y-34=0, 3x+y-2=0 으로 만들어지는
삼각형의 외접원의 방정식을 구하시오.
풀이1)
세 직선의 교점의 좌표를 각각 구하고
(6, 4), (-1, 5), (2, -4)
외접원의 중심의 좌표를 (a, b)로 놓으면
이런 상황입니다.
외접원의 중심 (a, b)에서
각 꼭지점에 이르는 거리가 같으므로
(a-6)²+(b-4)² = (a+1)²+(b-5)² = (a-2)²+(b+4)²
(a-6)²+(b-4)² = (a+1)²+(b-5)² → 7a-b=13
(a-6)²+(b-4)² = (a-2)²+(b+4)² → a+2b=4
연립해서 풀면
a=2, b=1
원의 중심 (2, 1)에서
(2, -4)까지의 거리(반지름)는 5
따라서 외접원의 방정식은
(x-2)²+(y-1)²=25
풀이2)
외접원의 방정식을
(x-a)²+(y-b)²=r²이라고 놓고
(6, 4), (-1, 5), (2, -4)를 각각 대입하면
(6-a)²+(4-b)²=r² → a²+b²-12a-8b+52=r² ··· ①
(-1-a)²+(5-b)²=r² → a²+b²+2a-10b+26=r² ··· ②
(2-a)²+(-4-b)²=r² → a²+b²-4a+8b+20=r² ··· ③
②-①을 하면 7a-b-13=0
②-③을 하면 3a-9b+3=0
연립해서 풀면
a=2, b=1
(x-2)²+(y-1)²=r²
(6, 4)를 대입하면
25=r²
따라서 외접원의 방정식은
(x-2)²+(y-1)²=25
풀이3)
외접원의 방정식을
x²+y²+ax+by+c=0이라고 놓고
(6, 4), (-1, 5), (2, -4)를 각각 대입하면
6a+4b+c=-52
-a+5b+c=-26
2a-4b+c=-20
연립해서 풀면 (연립방정식의 풀이는 '연립방정식 (1)' 참고요~)
a=-4, b=-2, c=-20
따라서 외접원의 방정식은
x²+y²-4x-2y-20=0
(x-2)²+(y-1)²=25
풀이4)
두 점 (-1, 5), (6, 4)를 이은 선분의
수직이등분선의 방정식은 (수직이등분선은 '자취의 방정식 (7)' 참고요~)
7x-y-13=0
두 점 (-1, 5), (2, -4)를 이은 선분의
수직이등분선의 방정식은
x-3y+1=0
두 수직이등분선의 교점 (2, 1)이
외접원의 중심의 좌표이고
(2, 1)에서 (2, -4)까지의 거리 5가
외접원의 반지름입니다.
따라서 외접원의 방정식은
(x-2)²+(y-1)²=25
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