식의 전개와 인수분해 (3)

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

문제1)

$x^{2}+5x+6$을 인수분해 하면?

 

$=(x+2)(x+3)$

 

 

 

문제2)

$x^{2}+5ax+6a^{2}$을 인수분해 하면?

 

$=(x+2a)(x+3a)$

 

 

 

문제3)

$x^{2}+5xy+6y^{2}$을 인수분해 하면?

 

$=(x+2y)(x+3y)$

 

 

 

문제4)

$x^{2}+5(a+2)x+6(a+2)^{2}$을 인수분해 하면?

 

치환해서 풀어도 되지만

 

$\begin{aligned}&x^{2}+5(a+2)x+6(a+2)^{2}\\&=x^{2}+5tx+6t^{2}\\\end{aligned}$

 

$\begin{aligned}&=(x+2t)(x+3t)\\&=(x+2a+4)(x+3a+6)\\\end{aligned}$

 

웬만하면 바로 인수분해 하는 것이...

 

$=(x+2a+4)(x+3a+6)$

 

 

 

문제5)

$x^{2}+5(y+1)x+6(y+1)^{2}$을 인수분해 하면?

 

$=(x+2y+2)(x+3y+3)$

 

 

 

문제6)

$x^{2}+5xy+6y^{2}+5x+12y+6$을 인수분해 하면?

 

x의 내림차순으로 정리하면

 

$\begin{aligned}&x^{2}+5xy+6y^{2}+5x+12y+6\\&=x^{2}+5yx+5x+6y^{2}+12y+6\\&=x^{2}+5(y+1)x+6(y+1)^{2}\\\end{aligned}$

 

문제5와 같은 문제입니다.

 

내림차순으로 정리하지 않고... 이렇게 해놓고

 

$\begin{aligned}&x^{2}+5xy+6y^{2}+5x+12y+6\\&=(x+2y)(x+3y)+5x+12y+6\\\end{aligned}$

 

다음에 뭐 하지? 고민하는 학생들이 있습니다.

공부를 안 한 겁니다..!! ;;

 

공부하는 셈치고

y의 내림차순으로 정리해서 인수분해 함 해볼까요.

 

$\begin{aligned}&x^{2}+5xy+6y^{2}+5x+12y+6\\&=6y^{2}+5xy+12y+x^{2}+5x+6\\&=6y^{2}+(5x+12)y+(x+2)(x+3)\\\end{aligned}$

 

$\begin{aligned}&=(2y+x+2)(3y+x+3)\\&=(x+2y+2)(x+3y+3)\\\end{aligned}$

 

당연히 결과는 같습니다.

 

 

 

문제7)

$x^{2}+2(y+1)x+(y+3)(y-1)$을 인수분해 하면?

 

$=(x+y+3)(x+y-1)$

 

 

 

문제8)

$x^{2}+2xy+y^{2}+2x+2y-3$을 인수분해 하면?

 

x의 내림차순으로 정리하면

 

$\begin{aligned}&x^{2}+2xy+y^{2}+2x+2y-3\\&=x^{2}+2yx+2x+y^{2}+2y-3\\&=x^{2}+2(y+1)x+(y+3)(y-1)\\\end{aligned}$

 

문제7과 같은 문제입니다.

 

y의 내림차순으로 정리해서 인수분해 해보면

 

$\begin{aligned}&x^{2}+2xy+y^{2}+2x+2y-3\\&=y^{2}+2xy+2y+x^{2}+2x-3\\&=y^{2}+2(x+1)y+(x+3)(x-1)\\\end{aligned}$

 

$\begin{aligned}&=(y+x+3)(y+x-1)\\&=(x+y+3)(x+y-1)\\\end{aligned}$

 

역시 결과는 같습니다.

 

 

 

문제9)

$x^{2}+2xy+(y+1)(y-1)$을 인수분해 하면?

 

$=(x+y+1)(x+y-1)$

 

 

 

문제10)

$x^{2}+2xy+y^{2}-1$을 인수분해 하면?

 

x의 내림차순으로 정리해서 인수분해 하든 (문제 자체가 x의 내림차순으로 되어 있네요.)

 

$\begin{aligned}&x^{2}+2xy+y^{2}-1\\&=x^{2}+2yx+(y+1)(y-1)\\\end{aligned}$

(문제9와 같은 문제입니다.)

 

y의 내림차순으로 정리해서 인수분해 하든 (굳이 그럴 필요가 있는지는 모르겠지만요.)

 

$\begin{aligned}&x^{2}+2xy+y^{2}-1\\&=y^{2}+2xy+x^{2}-1\\&=y^{2}+2xy+(x+1)(x-1)\\\end{aligned}$

 

$\begin{aligned}&=(y+x+1)(y+x-1)\\&=(x+y+1)(x+y-1)\\\end{aligned}$

 

선택은 여러분 몫이지만

요정도(?)의 인수분해는 바로 할 수도 있죠..?! 요렇게요.

 

$\begin{aligned}&x^{2}+2xy+y^{2}-1\\&=(x+y)^{2}-1\\&=(x+y+1)(x+y-1)\\\end{aligned}$

 

x, y 이차식의 인수분해

이정도 했으면 된 거죠..?! ;;

 

 

 

PS.

식은 비슷한데 (똑같은데)

인수분해가 아닌 최솟값을 구하라는 문제가 있습니다.

 

문제11)

x, y가 실수일 때,

$x^{2}+y^{2}-2x-4y+10$의 최솟값은?

 

이런 문제는 인수분해를 하는 게 아니라 (인수분해가 되지도 않습니다.)

완전제곱식 형태로 바꿔야 합니다.

 

$\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}-2x-4y+10\\&=(x^{2}-2x+1)+(y^{2}-4y+4)+5\\&=(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+5\\\end{aligned}$

 

따라서, 주어진 식은 (x, y가 실수이므로)

$x=1,\;y=2$일 때

최솟값 5를 갖습니다.

 

 

 

문제12)

x, y가 실수일 때,

$2x^{2}-4xy+5y^{2}+4x+2y+8$의 최솟값은?

 

이 식을 완전제곱식 형태로 바꿀 수 있겠어요?

이렇게 바꾸면 되는데...

 

$\begin{aligned}&2x^{2}-4xy+5y^{2}+4x+2y+8\\&=(x^{2}-4xy+4y^{2})+(x^{2}+4x+4)+(y^{2}+2y+1)+3\\&=(x-2y)^{2}+(x+2)^{2}+(y+1)^{2}+3\\\end{aligned}$

 

따라서, 주어진 식은 (x, y가 실수이므로)

$x=-2,\;y=-1$일 때

최솟값 3을 갖습니다.

 

식을 어케 이케 바꾸냐구요..?!

뭐... 잔머리 열심히 굴려야죠. ^-^// ;;

 

 

 

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