식의 전개와 인수분해 (4)

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

사차식중에

홀수차항(1차항, 3차항)은 없고

짝수차항(2차항, 4차항)과 상수항만 있는 식이 있습니다.

 

 

 

문제1)

$x^{4}-4x^{2}+3$을 인수분해 하면?

 

뭐... 이 정도야

그냥 인수분해 하면 되죠. (치환 안 해도 되는 거죠..?! ;;)

 

$\begin{aligned}x^{4}-4x^{2}+3&=(x^{2}-1)(x^{2}-3)\\&=(x+1)(x-1)(x^{2}-3)\\\end{aligned}$

 

 

 

문제2)

$x^{4}+3x^{2}+4$를 인수분해 하면?

 

이 식은

인수분해가 바로 되지 않습니다.

 

이럴 때는 식을 좀 변형시켜야 하는데

기준은 상수항 4입니다.

 

상수항 4를 생각해서

식을 이렇게 바꿔 인수분해 하면 됩니다.

 

$\begin{aligned}x^{4}+3x^{2}+4&=(x^{4}+4x^{2}+4)-x^{2}\\&=(x^{2}+2)^{2}-x^{2}\\&=(x^{2}+x+2)(x^{2}-x+2)\\\end{aligned}$

 

물론 상수항 4를 생각하면

식을 이렇게도 바꿀 수 있지만

인수분해는 되지 않습니다.

 

$\begin{aligned}x^{4}+3x^{2}+4&=(x^{4}-4x^{2}+4)+7x^{2}\\&=(x^{2}-2)^{2}+7x^{2}\\\end{aligned}$

 

 

 

문제3)

$x^{4}+2x^{2}+9$를 인수분해 하면?

 

상수항 9를 생각해서

식을 이렇게 바꿔 인수분해 하면 됩니다.

 

$\begin{aligned}x^{4}+2x^{2}+9&=(x^{4}+6x^{2}+9)-4x^{2}\\&=(x^{2}+3)^{2}-4x^{2}\\&=(x^{2}+2x+3)(x^{2}-2x+3)\\\end{aligned}$

 

물론 상수항 9를 생각하면

식을 이렇게도 바꿀 수 있지만

인수분해는 되지 않습니다.

 

$\begin{aligned}x^{4}+2x^{2}+9&=(x^{4}-6x^{2}+9)+8x^{2}\\&=(x^{2}-3)^{2}+8x^{2}\\\end{aligned}$

 

 

 

문제4)

$x^{4}-7x^{2}+1$을 인수분해 하면?

 

상수항 1을 생각해서

식을 이렇게 바꿔 인수분해 하면 됩니다.

 

$\begin{aligned}x^{4}-7x^{2}+1&=(x^{4}+2x^{2}+1)-9x^{2}\\&=(x^{2}+1)^{2}-9x^{2}\\&=(x^{2}+3x+1)(x^{2}-3x+1)\\\end{aligned}$

 

물론 상수항 1을 생각하면

식을 이렇게도 바꿀 수 있지만

인수분해는 되지 않습니다.

 

$\begin{aligned}x^{4}-7x^{2}+1&=(x^{4}-2x^{2}+1)-5x^{2}\\&=(x^{2}-1)^{2}-5x^{2}\\\end{aligned}$

 

 

 

문제5)

$x^{4}-3x^{2}+9$를 인수분해 하면?

 

상수항 9를 생각해서

식을 이렇게 바꿔 인수분해 하면 됩니다.

 

$\begin{aligned}x^{4}-3x^{2}+9&=(x^{4}+6x^{2}+9)-9x^{2}\\&=(x^{2}+3)^{2}-9x^{2}\\&=(x^{2}+3x+3)(x^{2}-3x+3)\\\end{aligned}$

 

물론 상수항 9를 생각하면

식을 이렇게도 바꿀 수 있지만

인수분해는 되지 않습니다.

 

$\begin{aligned}x^{4}-3x^{2}+9&=(x^{4}-6x^{2}+9)+3x^{2}\\&=(x^{2}-3)^{2}+3x^{2}\\\end{aligned}$

 

 

 

인수분해 공식 중에 이런 게 있죠.

 

$x^{4}+x^{2}+1=(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)$

$x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-xy+y^{2})$

 

물론 당연히 외우고 있어야 할 공식이지만

사실 간단하게(?) 유도할 수 있습니다. 요렇게요.

 

$\begin{aligned}x^{4}+x^{2}+1&=(x^{4}+2x^{2}+1)-x^{2}\\&=(x^{2}+1)^{2}-x^{2}\\&=(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)\\\end{aligned}$

 

$\begin{aligned}x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}&=(x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4})-x^{2}y^{2}\\&=(x^{2}+y^{2})^{2}-(xy)^{2}\\&=(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-xy+y^{2})\\\end{aligned}$

 

 

 

PS.

공식 3개를

세트(?)로 외우면 편한 거 같아요~

 

$\begin{aligned}&x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)\\&x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1)\\&x^{4}+x^{2}+1=(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)\\\end{aligned}$

 

$\begin{aligned}&x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})\\&x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\\&x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-xy+y^{2})\\\end{aligned}$

 

대체 이게 뭔 세트냐구요..?!

글쎄요... ^-^// ;;

 

 

 

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