이차식의 최대최소 (4)

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

문제1)

실수 x, y에 대하여 -1≤x≤2이고 2x+y=1일 때,

2x²+y²-8x+1의 최댓값과 최솟값은?

 

풀이)

$y=-2x+1$ 이므로

 

$\begin{aligned} 2 x^2+y^2-8 x+1 & =2 x^2+(-2 x+1)^2-8 x+1 \\ & =6 x^2-12 x+2 \\ & =6\left(x^2-2 x+1-1\right)+2 \\ & =6(x-1)^2-4 \quad(-1 \leq x \leq 2)\end{aligned}$

 

$x=-1$ 일 때,  최댓값 $20$

$x=1$ 일 때,  최솟값 $-4$

 

('이차함수 (2)'를 참고해 주세요~)

 

 

 

문제2)

점 P(x, y)가 직선 y=-2x+1 위를 움직일 때

2x²+y²-8x+1 의 최댓값과 최솟값은? (-1≤x≤2)

 

문제1과 100% 같은 문제인 것이 보이죠..?! ;;

 

 

 

문제3)

점 P(x, y)가 두 점 A(-1, 3), B(2, -3)을 이은 선분 AB 위를 움직일 때

2x²+y²-8x+1 의 최댓값과 최솟값은?

 

풀이)

선분 AB의 방정식은

 

$\begin{aligned} & y-3=\frac{3-(-3)}{-1-2}(x+1) \\ & y-3=-2(x+1) \\ & y=-2 x+1 \quad(-1 \leq x \leq 2)\end{aligned}$

 

앗..!! 문제2와 똑같은 문제임다..!!

 

 

 

결론:

문제1, 2, 3이 모두 같은 문제입니다..!!

 

문제1은 아무렇지도 않게 풀면서

문제2, 문제3과 같이 직선, 선분이 등장하면 손을 못 대는 학생들이 있는 것 같아

한번 정리해 보았슴다~

 

 

 

PS.

위에서 문제를 풀 때는

x에 대한 식으로 바꿔서 풀었는데

y에 대한 식으로 바꿔서 풀어도 됩니다.

 

$2 x=-y+1 \;\;\rightarrow\;\; x=-\frac{1}{2} y+\frac{1}{2}$ 이므로

 

$\begin{aligned} 2 x^2+y^2-8 x+1 & =2\left(-\frac{1}{2} y+\frac{1}{2}\right)^2+y^2-8\left(-\frac{1}{2} y+\frac{1}{2}\right)+1 \\ & =2\left(\frac{1}{4} y^2-\frac{1}{2} y+\frac{1}{4}\right)+y^2+4 y-4+1 \\ & =\frac{3}{2} y^2+3 y-\frac{5}{2} \\ & =\frac{3}{2}\left(y^2+2 y+1-1\right)-\frac{5}{2} \\ & =\frac{3}{2}(y+1)^2-4\end{aligned}$

 

이 때 주의할 점은

x의 값의 범위를 y의 값의 범위로 바꿔줘야 한다는 거..!!

 

$\begin{aligned} & -1 \leq x \leq 2 \\ & -1 \leq-\frac{1}{2} y+\frac{1}{2} \leq 2 \\ & -\frac{3}{2} \leq-\frac{1}{2} y \leq \frac{3}{2} \\ & -3 \leq y \leq 3\end{aligned}$

 

이제 최댓값과 최솟값을 구해보면

 

$y=3$ 일 때,  최댓값 $20$

$y=-1$ 일 때,  최솟값 $-4$

 

답이 똑같이 나옵니다.

 

지금 이 문제같은 경우야

당연히 x에 대한 식으로 바꿔서 풀겠지만

 

문제에 따라서는

y에 대한 식으로 바꿔서 푸는 것이 편한 경우도 있습니다.

 

결론:

문제를 잘 보시고

그 때 그 때 잘 판단해서 푸세요~

 

뭐... 이런 결론이... ㅎ ;;

 

 

 

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