행렬 (1)

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

행렬은 교환번칙이 성립하지 않으므로

인수분해할 때 주의..!!해야 합니다.

 

$\begin{aligned} & A B+A C=A(B+C) \\ & B A+C A=(B+C) A\end{aligned}$

 

$\begin{aligned} & A B C+A B D=A B(C+D) \\ & A C D+B C D=(A+B) C D\end{aligned}$

 

$\begin{aligned} & (A+B) C+(A+B) D=(A+B)(C+D) \\ & (A+B) C-(A+B) D=(A+B)(C-D)\end{aligned}$

 

$\begin{aligned} & A(C+D)+B(C+D)=(A+B)(C+D) \\ & A(C+D)-B(C+D)=(A-B)(C+D)\end{aligned}$

 

 

 

행렬에 등장하는 기본적인(?) 4개의 식이 있습니다.

 

$\begin{aligned} & (A+B)^2 \\ & (A-B)^2 \\ & (A+B)(A-B) \\ & (A-B)(A+B)\end{aligned}$

 

각각 전개해보면

$\begin{aligned} & (A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+A B+B A+B^2 \\ & (A-B)^2=(A-B)(A-B)=A^2-A B-B A+B^2 \\ & (A+B)(A-B)=A^2-A B+B A-B^2 \\ & (A-B)(A+B)=A^2+A B-B A-B^2\end{aligned}$

 

여기까지는 문제가 없는데

그럼, 아래 4개의 식을 보고

 

$\begin{aligned} & A^2+A B+B A+B^2 \\ & A^2-A B-B A+B^2 \\ & A^2-A B+B A-B^2 \\ & A^2+A B-B A-B^2\end{aligned}$

 

거꾸로

바로 인수분해가 가능한가요..?!

 

$\begin{aligned} & A^2+A B+B A+B^2=(A+B)^2 \\ & A^2-A B-B A+B^2=(A-B)^2 \\ & A^2-A B+B A-B^2=(A+B)(A-B) \\ & A^2+A B-B A-B^2=(A-B)(A+B)\end{aligned}$

 

이케 바로 인수분해가 보이면 젤로 좋고

아니면 뭐 유도해야죠. ;;

 

$\begin{aligned} A^2+A B+B A+B^2 & =A(A+B)+B(A+B) \\ & =(A+B)(A+B) \\ & =(A+B)^2\end{aligned}$

 

$\begin{aligned} A^2-A B-B A+B^2 & =A(A-B)-B(A-B) \\ & =(A-B)(A-B) \\ & =(A-B)^2\end{aligned}$

 

$\begin{aligned} A^2-A B+B A-B^2 & =A(A-B)+B(A-B) \\ & =(A+B)(A-B)\end{aligned}$

 

$\begin{aligned} A^2+A B-B A-B^2 & =A(A+B)-B(A+B) \\ & =(A-B)(A+B)\end{aligned}$

 

만일에 교환법칙이 성립하면 (즉 AB=BA이면)

일반식의 전개와 같아집니다.

 

$\begin{aligned}(A+B)^2 & =(A+B)(A+B) \\ & =A^2+A B+B A+B^2 \\ & =A^2+2 A B+B^2\end{aligned}$

 

$\begin{aligned}(A-B)^2 & =(A-B)(A-B) \\ & =A^2-A B-B A+B^2 \\ & =A^2-2 A B+B^2\end{aligned}$

 

$\begin{aligned}(A+B)(A-B) & =A^2-A B+B A-B^2 \\ & =A^2-B^2\end{aligned}$

 

$\begin{aligned}(A-B)(A+B) & =A^2+A B-B A-B^2 \\ & =A^2-B^2\end{aligned}$

 

거꾸로 얘기해서

이것이 성립한다는 의미는

 

$\begin{aligned} & (A+B)^2=A^2+2 A B+B^2 \\ & (A-B)^2=A^2-2 A B+B^2 \\ & (A+B)(A-B)=A^2-B^2 \\ & (A-B)(A+B)=A^2-B^2\end{aligned}$

 

교환법칙이 성립한다는

즉 AB=BA라는 의미입니다.

 

 

 

다른 경우들도 마찬가지입니다.

 

일반적으로는 성립하지 않지만

 

$\begin{aligned} & A^3+B^3 \neq(A+B)\left(A^2-A B+B^2\right) \\ & A^3-B^3 \neq(A-B)\left(A^2+A B+B^2\right) \\ & A^4+A^2 B^2+B^4 \neq\left(A^2-A B+B^2\right)\left(A^2+A B+B^2\right)\end{aligned}$

 

만일에 교환법칙이 성립하면 (즉 AB=BA이면)

 

$\begin{aligned} & A^3+B^3=(A+B)\left(A^2-A B+B^2\right) \\ & A^3-B^3=(A-B)\left(A^2+A B+B^2\right) \\ & A^4+A^2 B^2+B^4=\left(A^2-A B+B^2\right)\left(A^2+A B+B^2\right)\end{aligned}$

 

그리고 단위행렬이 끼여들어도

교환법칙이 성립하니까 (즉 AE=EA)

 

$\begin{aligned} & A^3+E^3=(A+E)\left(A^2-A E+E^2\right) \\ & A^3+E=(A+E)\left(A^2-A+E\right)\end{aligned}$

 

$\begin{aligned} & A^3-E^3=(A-E)\left(A^2+A E+E^2\right) \\ & A^3-E=(A-E)\left(A^2+A+E\right)\end{aligned}$

 

$\begin{aligned} & A^4+A^2 E^2+E^4=\left(A^2-A E+E^2\right)\left(A^2+A E+E^2\right) \\ & A^4+A^2+E=\left(A^2-A+E\right)\left(A^2+A+E\right)\end{aligned}$

 

 

 

추가해서

 

$\left\{\begin{array}{l}A^3 B^3=A A A B B B \\ (A B)^3=A B A B A B\end{array} \;\;\rightarrow\;\; A^3 B^3 \neq(A B)^3\right.$

 

만일에 교환법칙이 성립하면 (즉 AB=BA이면)

 

$\begin{aligned} A^3 B^3 & =A A A B B B \\ & =A A \underline{A B} B B \\ & =A A \underline{B A} B B \\ & =A A B A B B \\ & =A \underline{A B}\, \underline{A B} B \\ & =A \underline{B A}\, \underline{B A} B \\ & =A B A B A B \\ & =(A B)^3\end{aligned}$

 

 

 

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