직선의 기울기 (1)

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각이 θ일 때

그 직선의 기울기는 tanθ

 

아래 각각의 직선의 기울기는

$\tan 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\tan 45^{\circ}=1$	$\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$
$\tan 120^{\circ}=-\sqrt{3}$	$\tan 135^{\circ}=-1$	$\tan 150^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

 

 

 

사실 뭐... 따지고 보면

직선의 기울기의 정의와 탄젠트의 정의가 같습니다. ('삼각비 (1)' 참고요~)

 

$\begin{aligned} & \text {기울기 }=\frac{y \text {의 변화량 }}{x \text {의 변화량 }}=\frac{b}{a} \\ & \tan \theta=\frac{\text { 높이 }}{\text { 밑변 }}=\frac{b}{a}\end{aligned}$

 

 

 

문제1)

두 직선 y=x와 y=3x가 이루는 예각의 크기를 θ라 할 때

tanθ의 값은?

 

위 그림에서

 

$\begin{aligned} & \tan \theta_1=(\text {직선 } y=x \text {의 기울기})=1 \\ & \tan \theta_2=(\text {직선 } y=3 x \text {의 기울기})=3\end{aligned}$

 

두 직선이 이루는 예각의 크기

 

$\theta=\theta_2-\theta_1$

 

$\begin{aligned} \tan \theta & =\tan \left(\theta_2-\theta_1\right) \\ & =\frac{\tan \theta_2-\tan \theta_1}{1+\tan \theta_2 \tan \theta_1} \\ & =\frac{3-1}{1+3 \cdot 1} \\ & =\frac{1}{2}\end{aligned}$

 

탄젠트 공식은

'삼각함수 공식모음'을 참고해 주세요~

 

 

 

문제2)

두 직선 y=3x-1과 y=-2x+5가 이루는 예각의 크기를 θ라 할 때

tanθ의 값은?

 

위 그림에서

 

$\begin{aligned} & \tan \theta_1=(\text {직선 } y=3 x-1 \text {의 기물기})=3 \\ & \tan \theta_2=(\text {직선 } y=-2 x+5 \text {의 기울기})=-2\end{aligned}$

 

두 직선이 이루는 예각의 크기

 

$\theta=\theta_2-\theta_1$

 

$\begin{aligned} \tan \theta & =\tan \left(\theta_2-\theta_1\right) \\ & =\frac{\tan \theta_2-\tan \theta_1}{1+\tan \theta_2 \tan \theta_1} \\ & =\frac{(-2)-3}{1+(-2) \cdot 3} \\ & =1\end{aligned}$

 

 

 

위의 두 문제를 푼 것처럼

그래프를 그려보면

 

$\theta=\theta_2-\theta_1$ 인지

$\theta=\theta_1-\theta_2$ 인지 알 수가 있지만

 

셤 볼 때는 이렇게 일일이

그림을 그려가며 풀 시간적 여유가 없다는 것이 문제라면 문제랄까요.

 

 

 

탄젠트 공식의 특성상

 

$\theta_1$과 $\theta_2$가 바뀌면

값은 똑같고 부호만 바뀝니다..!!

 

$\begin{aligned} & \tan \left(\theta_2-\theta_1\right)=\frac{\tan \theta_2-\tan \theta_1}{1+\tan \theta_2 \tan \theta_1} \\ & \tan \left(\theta_1-\theta_2\right)=\frac{\tan \theta_1-\tan \theta_2}{1+\tan \theta_1 \tan \theta_2}=\frac{-\left(\tan \theta_2-\tan \theta_1\right)}{1+\tan \theta_2 \tan \theta_1}=-\tan \left(\theta_2-\theta_1\right)\end{aligned}$

 

탄젠트가 기함수인 걸 이용해도

바로 확인할 수 있습니다. ('함수 (6)' 참고요~)

 

$\tan \left(\theta_1-\theta_2\right)=\tan \left\{-\left(\theta_2-\theta_1\right)\right\}=-\tan \left(\theta_2-\theta_1\right)$

 

 

 

상황이 이렇게 때문에

 

$\theta=\theta_1-\theta_2$ 인지

$\theta=\theta_2-\theta_1$ 인지 고민할 필요없이

 

다시 말해

 

$\tan \left(\theta_1-\theta_2\right)$ 이든

$\tan \left(\theta_2-\theta_1\right)$ 이든 아무거나 구한 다음

 

양수가 나오면 탱큐고

음수가 나오면 그냥 마이너스만 없애주면 됩니다.

 

 

 

그래서 많이 보던(?) 이런 공식이 등장하죠.

 

두 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각이 각각 α, β일 때,

두 직선이 이루는 예각의 크기를 θ라 하면

 

$\tan \theta=|\tan (\alpha-\beta)|=\left|\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}\right|$

 

절댓값만 씌워주면 상황 끝입니다..!!

 

 

 

뭐... 이정도 했으면

앞으로는 간단한 문제는 암산으로 10초 만에... ^-^// ;;

 

 

 

PS.

기울기와 같은 개념이

탄젠트 말고 하나 더 나오죠..?!

 

평균변화율

 

함수 $y=f(x)$ 에서

 

x의 값이 a에서 b까지 변할 때의 평균변화율은

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$  또는  $\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$  이고

 

$y=f(x)$ 의 그래프 위의 두 점

$(a, f(a)),\;(b, f(b))$ 를 지나는 직선의 기울기와 같다.

 

 

 

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