이차함수 (2)

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

y=(x-3)²+2   (1≤x≤2)	y=(x-3)²+2   (1≤x≤4)	y=(x-3)²+2   (2≤x≤5)	y=(x-3)²+2   (4≤x≤5)
x=1일 때,  최댓값 6   x=2일 때,  최솟값 3	x=1일 때,  최댓값 6   x=3일 때,  최솟값 2	x=5일 때,  최댓값 6   x=3일 때,  최솟값 2	x=5일 때,  최댓값 6   x=4일 때,  최솟값 3

 

 

 

y=-(x-3)²+6   (1≤x≤2)	y=-(x-3)²+6   (1≤x≤4)	y=-(x-3)²+6   (2≤x≤5)	y=-(x-3)²+6   (4≤x≤5)
x=2일 때,  최댓값 5   x=1일 때,  최솟값 2	x=3일 때,  최댓값 6   x=1일 때,  최솟값 2	x=3일 때,  최댓값 6   x=5일 때,  최솟값 2	x=4일 때,  최댓값 5   x=5일 때,  최솟값 2

 

 

 

문제1)

y=(x²+2x)²-2(x²+2x+1)-1 (-3≤x≤0)의

최댓값과 최솟값은?

 

풀이1)

x²+2x=t로 치환하면

 

t=x²+2x

  =(x+1)²-1 (-3≤x≤0)이므로

t의 범위는 -1≤t≤3

 

이제

y의 최댓값과 최솟값을 구하면

 

y=t²-2(t+1)-1

  =t²-2t-3

  =(t-1)²-4 (-1≤t≤3)

 

t=-1 또는 t=3일 때, (x=-1 또는 x=-3일 때)  최댓값 0

t=1일 때, (x=-1-√2일 때)  최솟값 -4

 

풀이2)

x²+2x+1=t로 치환하면

 

t=x²+2x+1

  =(x+1)² (-3≤x≤0)이므로

t의 범위는 0≤t≤4

 

이제

y의 최댓값과 최솟값을 구하면

 

y=(t-1)²-2t-1

  =t²-4t

  =(t-2)²-4 (0≤t≤4)

 

t=0 또는 t=4일 때, (x=-1 또는 x=-3일 때)  최댓값 0

t=2일 때, (x=-1-√2일 때)  최솟값 -4

 

 

 

문제2)

$y=4^x-2^{x+2}+3\;\;(0 \leq x \leq 2)$ 의

최댓값과 최솟값은?

 

우선 식부터 살짝 정리해 놓고

 

$y=4^x-4 \cdot 2^x+3\;\;(0 \leq x \leq 2)$

 

$2^x=t$ 로 치환하면

 

$\begin{aligned} y & =t^2-4 t+3 \\ & =(t-2)^2-1 \;\;(1 \leq t \leq 4)\end{aligned}$

 

t=4일 때, (x=2일 때)  최댓값 3

t=2일 때, (x=1일 때)  최솟값 -1

 

 

 

문제3)

$y=4^{-x}-2^{-x+2}+3 \;\;(0 \leq x \leq 2)$ 의

최댓값과 최솟값은?

 

우선 식부터 살짝 정리해 놓고

 

$y=\left(\frac{1}{2}\right)^{2 x}-4 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^x+3\;\;(0 \leq x \leq 2)$

 

$\left(\frac{1}{2}\right)^x=t$ 로 치환하면

 

$\begin{aligned} y & =t^2-4 t+3 \\ & =(t-2)^2-1 \;\;\left(\frac{1}{4} \leq t \leq 1\right)\end{aligned}$

 

이제부터 그래프는 생략임다.

여러분이 직접 그려보세요~ ;;

 

t=$\frac{1}{4}$일 때, (x=2일 때)  최댓값 $\frac{33}{16}$

t=1일 때, (x=0일 때)  최솟값 0

 

 

 

문제4)

$3^{-x^2+2 x+3}\;\;(-1 \leq x \leq 2)$ 의

최댓값과 최솟값은?

 

$\begin{aligned}-x^2+2 x+3 & =-\left(x^2-2 x+1-1\right)+3 \\ & =-(x-1)^2+4\end{aligned}$

x=1일 때,  최댓값 4

x=-1일 때,  최솟값 0

 

밑이 1보다 크므로 (3>1)

x=1일 때,  $3^{-x^2+2 x+3}$ 의  최댓값 $3^4=81$

x=-1일 때,  $3^{-x^2+2 x+3}$ 의  최솟값 $3^0=1$

 

 

 

문제5)

$\left(\frac{1}{3}\right)^{-x^2+2 x+3} \;\;(-1 \leq x \leq 2)$ 의

최댓값과 최솟값은?

 

$\begin{aligned}-x^2+2 x+3 & =-\left(x^2-2 x+1-1\right)+3 \\ & =-(x-1)^2+4\end{aligned}$

x=1일 때,  최댓값 4

x=-1일 때,  최솟값 0

 

밑이 1보다 작으므로 (0<$\frac{1}{3}$<1)

x=-1일 때,  $ (\frac{1}{3})^{-x^2+2 x+3} $ 의  최댓값 $\left(\frac{1}{3}\right)^0=1$

x=1일 때,  $ (\frac{1}{3})^{-x^2+2 x+3} $ 의  최솟값 $\left(\frac{1}{3}\right)^4=\frac{1}{81}$

 

 

 

문제6)

$y=\left(\log _2 x\right)^2-4 \log _2 2 x+5\;\;(2 \leq x \leq 16)$ 의

최댓값과 최솟값은?

 

우선 식부터 살짝 정리해 놓고

 

$\begin{aligned} y & =\left(\log _2 x\right)^2-4\left(1+\log _2 x\right)+5 \\ & =\left(\log _2 x\right)^2-4 \log _2 x+1 \;\;(2 \leq x \leq 16)\end{aligned}$

 

$\log _2 x=t$ 로 치환하면

 

$\begin{aligned} y & =t^2-4 t+1 \\ & =(t-2)^2-3 \;\;(1 \leq t \leq 4)\end{aligned}$

 

t=4일 때, (x=16일 때)  최댓값 1

t=2일 때, (x=4일 때)  최솟값 -3

 

 

 

문제7)

$y=\left(\log _{\frac{1}{2}} x\right)^2+4 \log _{\frac{1}{2}} 2 x+5 \;\;(2 \leq x \leq 16)$ 의

최댓값과 최솟값은?

 

우선 식부터 살짝 정리해 놓고

 

$\begin{aligned} y & =\left(\log _{\frac{1}{2}} x\right)^2+4\left(-1+\log _{\frac{1}{2}} x\right)+5 \\ & =\left(\log _{\frac{1}{2}} x\right)^2+4 \log _{\frac{1}{2}} x+1 \;\;(2 \leq x \leq 16)\end{aligned}$

 

$\log _{\frac{1}{2}} x=t$ 로 치환하면

 

$\begin{aligned} y & =t^2+4 t+1 \\ & =(t+2)^2-3 \;\;(-4 \leq t \leq-1)\end{aligned}$

 

t=-4일 때, (x=16일 때)  최댓값 1

t=-2일 때, (x=4일 때)  최솟값 -3

 

 

 

문제8)

$\log _3\left(-x^2+2 x+8\right) \;\;(-1 \leq x \leq 2)$ 의

최댓값과 최솟값은?

 

$\begin{aligned}-x^2+2 x+8 & =-\left(x^2-2 x+1-1\right)+8 \\ & =-(x-1)^2+9\end{aligned}$

x=1일 때,  최댓값 9

x=-1일 때,  최솟값 5

 

밑이 1보다 크므로 (3>1)

x=1일 때,  $\log _3\left(-x^2+2 x+8\right)$ 의  최댓값 $\log _3 9=2$

x=-1일 때,  $\log _3\left(-x^2+2 x+8\right)$ 의  최솟값 $\log _3 5$

 

 

 

문제9)

$\log _{\frac{1}{3}}\left(-x^2+2 x+8\right) \;\;(-1 \leq x \leq 2)$ 의

최댓값과 최솟값은?

 

$\begin{aligned}-x^2+2 x+8 & =-\left(x^2-2 x+1-1\right)+8 \\ & =-(x-1)^2+9\end{aligned}$

x=1일 때,  최댓값 9

x=-1일 때,  최솟값 5

 

밑이 1보다 작으므로 (0<$\frac{1}{3}$<1)

x=-1일 때,  $\log _{\frac{1}{3}}\left(-x^2+2 x+8\right)$ 의  최댓값 $\log _{\frac{1}{3}} 5=-\log _3 5$

x=1일 때,  $\log _{\frac{1}{3}}\left(-x^2+2 x+8\right)$ 의  최솟값 $\log _{\frac{1}{3}} 9=-2$

 

 

 

문제10)

$y=2 \cdot x^{\log _2 x-4}\;\;(2 \leq x \leq 16)$ 의

최댓값과 최솟값은?

 

양변에 밑이 2인 로그를 취하면

$\begin{aligned} \log _2 y & =1+\left(\log _2 x-4\right) \cdot \log _2 x \\ & =\left(\log _2 x\right)^2-4 \log _2 x+1\end{aligned}$

 

$\log _2 x=t$ 로 치환하면

 

$\begin{aligned} \log _2 y & =t^2-4 t+1 \\ & =(t-2)^2-3 \;\;(1 \leq t \leq 4)\end{aligned}$

 

t=4일 때, (x=16일 때)  $\log _2 y$ 의  최댓값 1  →  y의  최댓값 2

t=2일 때, (x=4일 때)  $\log _2 y$ 의  최솟값 -3  →  y의  최솟값 $\frac{1}{8}$

 

 

 

문제11)

$y=\sin ^2 x-4 \sin x+3 \quad(0 \leq x \leq \pi)$ 의

최댓값과 최솟값은?

 

$\sin x=t$ 로 치환하면

 

$\begin{aligned} y & =t^2-4 t+3 \\ & =(t-2)^2-1 \;\;(0 \leq t \leq 1)\end{aligned}$

 

t=0일 때, (x=0 또는 x=π일 때)  최댓값 3

t=1일 때, (x=$\frac{\pi}{2}$일 때)  최솟값 0

 

 

 

문제12)

$y=\sin ^2 x-4 \cos x-2\;\;\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right)$ 의

최댓값과 최솟값은?

 

우선 식부터 살짝 정리해 놓고

 

$\begin{aligned} y & =\left(1-\cos ^2 x\right)-4 \cos x-2 \\ & =-\cos ^2 x-4 \cos x-1 \;\;\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right)\end{aligned}$

 

$\cos x=t$ 로 치환하면

 

$\begin{aligned} y & =-t^2-4 t-1 \\ & =-(t+2)^2+3 \;\;(0 \leq t \leq 1)\end{aligned}$

 

t=0일 때, (x= $\frac{\pi}{2}$일 때)  최댓값 -1

t=1일 때, (x=0일 때)  최솟값 -6

 

 

 

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