직선의 기울기 (2)

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

① 두 점 (a, f(a)), (b, f(b))를 지나는 직선의 기울기는

 

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$  또는  $\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$

 

② 점 (a, f(a))에서의 접선의 기울기는 f'(a)

③ 점 (b, f(b))에서의 접선의 기울기는 f'(b)

 

위에서 언급한 기울기 3개의 크기를 비교해 보겠습니다.

 

 

 

그래프가 위로 볼록이면

 

$f^{\prime}(b)<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<f^{\prime}(a)$

 

그래프가 아래로 볼록이면

 

$f^{\prime}(a)<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<f^{\prime}(b)$

 

 

 

기울기와는 관련이 없지만

위로 볼록, 아래로 볼록일 때, 한 번씩 등장하는 식이 있습니다.

 

$f\left(\frac{a+b}{2}\right)$  와  $\frac{f(a)+f(b)}{2}$

 

그래프가 직선(일차함수)이면

 

$f\left(\frac{a+b}{2}\right)=\frac{f(a)+f(b)}{2}$

 

그래프가 위로 볼록이면

 

$f\left(\frac{a+b}{2}\right)>\frac{f(a)+f(b)}{2}$

 

그래프가 아래로 볼록이면

 

$f\left(\frac{a+b}{2}\right)<\frac{f(a)+f(b)}{2}$

 

 

 

마지막으로

원점 (0, 0)과 (a, f(a))를 지나는 직선의 기울기는

 

$\frac{f(a)-0}{a-0}=\frac{f(a)}{a}$

 

원점 (0, 0)과 (b, f(b))를 지나는 직선의 기울기는

 

$\frac{f(b)-0}{b-0}=\frac{f(b)}{b}$

 

 

 

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