분수식의 적분

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

분수식을

세 가지 경우로 나눠 보았습니다.

 

① 분모가 일차식인 경우

② 분모가 이차식인 경우 (인수분해 되는)

③ 분모가 이차식인 경우 (인수분해 안 되는)

 

중간중간에 식의 변형이 잘 안 되면

'분수식의 변형 (1), (2), (3)'을 참고해 주세요~

 

 

 

① 분모가 일차식인 경우

 

$ \begin{aligned} \int \frac{1}{x+2} d x=\ln |x+2|+C \end{aligned} $

 

$\begin{aligned} \int \frac{x+5}{x+2} d x & =\int \frac{(x+2)+3}{x+2} d x \\ & =\int\left(1+\frac{3}{x+2}\right) d x \\ & =x+3 \ln |x+2|+C\end{aligned}$

 

$\begin{aligned} \int \frac{x^2+5 x+1}{x+2} d x & =\int \frac{x(x+2)+3(x+2)-5}{x+2} d x \\ & =\int\left(x+3-\frac{5}{x+2}\right) d x \\ & =\frac{1}{2} x^2+3 x-5 \ln |x+2|+C\end{aligned}$

 

 

 

② 분모가 인수분해 되는 이차식인 경우

 

$\begin{aligned} \int \frac{1}{x^2+4 x+3} d x & =\int \frac{1}{(x+1)(x+3)} d x \\ & =\frac{1}{2} \int\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3}\right) d x \\ & =\frac{1}{2}(\ln |x+1|-\ln |x+3|)+C \\ & =\frac{1}{2} \ln \left|\frac{x+1}{x+3}\right|+C\end{aligned}$

 

$\begin{aligned} \int \frac{1}{x^2-4} d x & =\int \frac{1}{(x+2)(x-2)} d x \\ & =\frac{1}{4} \int\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right) d x \\ & =\frac{1}{4}(\ln |x-2|-\ln |x+2|)+C \\ & =\frac{1}{4} \ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C\end{aligned}$

 

여기까지야 뭐... 그럭저럭 ;;

 

 

아래와 같이

분자가 일차식인 분수식의 적분은 풀이가 2개 있습니다.

 

$ \begin{aligned} \int \frac{1}{x^2-4} d x \end{aligned} $

 

일단 식부터 변형

 

$ \begin{aligned} \frac{x}{x^2-4}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+2} \end{aligned} $ 로 놓고

 

a, b의 값을 구하면

 

$ \begin{aligned} a=\frac{1}{2}, \;b=\frac{1}{2} \end{aligned} $

 

$\begin{aligned} \int \frac{x}{x^2-4} d x & =\int \frac{x}{(x+2)(x-2)} d x \\ & =\frac{1}{2} \int\left(\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}\right) d x \\ & =\frac{1}{2}(\ln |x-2|+\ln |x+2|)+C \\ & =\frac{1}{2} \ln \left|x^2-4\right|+C\end{aligned}$

 

그런데 이걸 이렇게 힘들게(?) 적분 안 하죠.

분모를 미분해서 분자를 만들 수 있으니까 바로 적분합니다.

 

$\begin{aligned} \int \frac{x}{x^2-4} d x & =\frac{1}{2} \int \frac{2 x}{x^2-4} d x \\ & =\frac{1}{2} \ln \left|x^2-4\right|+C\end{aligned}$

 

 

잠깐 옆으로 샐께요.

 

위에서 바로 적분한다고 표현했지만

사실은 치환적분입니다.

 

$ \begin{aligned} x^2-4=u \;\;\rightarrow\;\; 2 x=\frac{d u}{d x} \;\;\rightarrow\;\; d x=\frac{d u}{2 x} \end{aligned} $ 이므로

 

$\begin{aligned} \int \frac{x}{x^2-4} d x & =\int \frac{x}{u} \cdot \frac{d u}{2 x} \\ & =\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u \\ & =\frac{1}{2} \ln |u|+C \\ & =\frac{1}{2} \ln \left|x^2-4\right|+C\end{aligned}$

 

그런데 우리는

치환 따위(?) 하지 않아도 바로 적분할 수 있으니까

그냥 바로 적분한 것 뿐입니다. ;; 암튼

 

 

다시 돌아와서

 

이렇게 분모를 미분해서 분자를 만들 수 있는 경우에는

분수식을 변형해서 적분하든 바로 적분하든 상관없지만 (물론 바로 적분하겠죠..?!)

 

아래 문제와 같이

 

분모를 미분해서 분자를 만들 수 없는 경우에는

분수식을 변형해서 적분하는 수 밖에 없습니다.

 

$\begin{aligned} \int \frac{x+1}{x^2-4} d x & =\int \frac{x+1}{(x+2)(x-2)} d x \\ & =\frac{1}{4} \int\left(\frac{3}{x-2}+\frac{1}{x+2}\right) d x \\ & =\frac{1}{4}(3 \ln |x-2|+\ln |x+2|)+C\end{aligned}$

 

(처음에 말했듯이

분수식의 변형은 '분수식의 변형 (1), (2), (3)'을 참고해 주세요~)

 

잔머리 굴려서

이렇게 푸는 학생들도 있는데

 

$\begin{aligned} \int \frac{x+1}{x^2-4} d x & =\int\left(\frac{x}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-4}\right) d x \\ & =\int \frac{x}{x^2-4} d x+\int \frac{1}{x^2-4} d x \\ & =\frac{1}{2} \int \frac{2 x}{x^2-4} d x+\frac{1}{4} \int\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right) d x \\ & =\frac{1}{2} \ln \left|x^2-4\right|+\frac{1}{4}(\ln |x-2|-\ln |x+2|)+C \\ & =\frac{1}{2}(\ln |x-2|+\ln |x+2|)+\frac{1}{4}(\ln |x-2|-\ln |x+2|)+C \\ & =\frac{1}{4}(3 \ln |x-2|+\ln |x+2|)+C\end{aligned}$

 

연습하려고 일부러 이렇게 어렵게 푸는 게 아니라면

제발 이러지 마세요~ ;;

 

 

하나 더 해볼께요.

 

$ \begin{aligned} \int \frac{x+1}{x^2+2 x-3} d x \end{aligned} $

 

이 문제는

분모를 미분해서 분자를 만들 수 있으므로

위에서 말한 풀이가 모두 가능합니다.

 

분수식을 변형해서 적분

 

$\begin{aligned} \int \frac{x+1}{x^2+2 x-3} d x & =\int \frac{x+1}{(x-1)(x+3)} d x \\ & =\frac{1}{2} \int\left(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+3}\right) d x \\ & =\frac{1}{2}(\ln |x-1|+\ln |x+3|)+C \\ & =\frac{1}{2} \ln \left|x^2+2 x-3\right|+C\end{aligned}$

 

바로 적분

 

$\begin{aligned} \int \frac{x+1}{x^2+2 x-3} d x & =\frac{1}{2} \int \frac{2 x+2}{x^2+2 x-3} d x \\ & =\frac{1}{2} \ln \left|x^2+2 x-3\right|+C\end{aligned}$

 

치환해서 적분

 

$ \begin{aligned} x^2+2 x-3=u \;\;\rightarrow\;\; 2 x+2=\frac{d u}{d x} \;\;\rightarrow\;\; d x=\frac{d u}{2 x+2} \end{aligned} $ 이므로

 

$\begin{aligned} \int \frac{x+1}{x^2+2 x-3} d x & =\int \frac{x+1}{u} \cdot \frac{d u}{2 x+2} \\ & =\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u \\ & =\frac{1}{2} \ln |u|+C \\ & =\frac{1}{2} \ln \left|x^2+2 x-3\right|+C\end{aligned}$

 

하지만

상수항만 살짝 바뀐 이 분수식은

 

$ \begin{aligned} \int \frac{x+2}{x^2+2 x-3} d x \end{aligned} $

 

분모를 미분해서 분자를 만들 수 없으므로

분수식을 변형해서 적분하는 수 밖에 없습니다.

 

$\begin{aligned} \int \frac{x+2}{x^2+2 x-3} d x & =\int \frac{x+2}{(x-1)(x+3)} d x \\ & =\frac{1}{4} \int\left(\frac{3}{x-1}+\frac{1}{x+3}\right) d x \\ & =\frac{1}{4}(3 \ln |x-1|+\ln |x+3|)+C\end{aligned}$

 

 

 

③ 분모가 인수분해 안 되는 이차식인 경우

 

분모가 인수분해 되지 않더라도

분모를 미분해서 분자를 만들 수 있으면

위에서 푼 것과 똑같이 풀면 됩니다.

 

다만 분모가 인수분해 되지 않으니까

분수식을 변형하는 건 안 되고

 

바로 적분하거나

 

$\begin{aligned} \int \frac{x}{x^2+2} d x & =\frac{1}{2} \int \frac{2 x}{x^2+2} d x \\ & =\frac{1}{2} \ln \left|x^2+2\right|+C\end{aligned}$

 

치환해서 적분하거나

 

$ \begin{aligned} x^2+2=u \;\;\rightarrow\;\; 2 x=\frac{d u}{d x} \;\;\rightarrow\;\; d x=\frac{d u}{2 x} \end{aligned} $ 이므로

 

$\begin{aligned} \int \frac{x}{x^2+2} d x & =\int \frac{x}{u} \cdot \frac{d u}{2 x} \\ & =\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u \\ & =\frac{1}{2} \ln |u|+C \\ & =\frac{1}{2} \ln \left|x^2+2\right|+C\end{aligned}$

 

 

문제는

분모가 인수분해도 되지 않으면서

분모를 미분해서 분자를 만들 수도 없는 경우입니다.

 

이런 경우는 적분이 어렵기 때문에

문제로 나오는 유형은 딱 한가지입니다.

 

$ \begin{aligned} \int \frac{1}{x^2+1} d x \end{aligned} $

 

이런 적분은 치환으로 문제를 풉니다.

그것도 아주 이상한(?) 치환..!!

 

$ \begin{aligned} x=\tan \theta\left(-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}\right) \;\;\rightarrow\;\; \frac{d x}{d \theta}=\sec ^2 \theta \;\;\rightarrow\;\; d x=\sec ^2 \theta d \theta \end{aligned} $ 이므로

 

$\begin{aligned} \int \frac{1}{x^2+1} d x & =\int \frac{1}{\tan ^2 \theta+1} \cdot \sec ^2 \theta d \theta \\ & =\int \frac{1}{\sec ^2 \theta} \cdot \sec ^2 \theta d \theta \\ & =\int 1 d \theta \\ & =\theta+C \\ & =\tan ^{-1} x+C\end{aligned}$

 

참고로

 

$ \begin{aligned} \left(\tan ^{-1} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x^2+1} \end{aligned} $

 

그냥 그렇다구요. 신경쓰지 마세요~ ;;

 

 

다행히도(?) 탄젠트의 역함수는 고교과정에 나오지 않기 때문에

이런 문제는 정적분으로만 출제됩니다.

 

$ \begin{aligned} \int_0^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2+1} d x \end{aligned} $

 

$ \begin{aligned} x=\tan \theta\left(-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}\right) \;\;\rightarrow\;\; \frac{d x}{d \theta}=\sec ^2 \theta \;\;\rightarrow\;\; d x=\sec ^2 \theta d \theta \end{aligned} $ 이므로

 

$\begin{aligned}& x=0 \quad\;\,\rightarrow\;\;\theta=0 \\& x=\sqrt{3}\;\;\rightarrow\;\;\theta=\frac{\pi}{3}\end{aligned}$

 

$\begin{aligned} \int_0^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2+1} d x & =\int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\tan ^2 \theta+1} \cdot \sec ^2 \theta d \theta \\ & =\int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sec ^2 \theta} \cdot \sec ^2 \theta d \theta \\ & =\int_0^{\frac{\pi}{3}} 1 d \theta \\ & =[\theta]_0^{\frac{\pi}{3}} \\ & =\frac{\pi}{3}\end{aligned}$

 

 

 

PS.

이건 어느 경우에 속하는 것 같나요..?!

 

$ \begin{aligned} \int \frac{x+1}{x^2+1} d x \end{aligned} $

 

일단 분모가 인수분해 되지 않으니까

③번째 경우이긴 한데

 

지금 이 문제는

바로 적분도 안 되고 (분모를 미분해서 분자를 만들 수도 없고)

 

치환으로도

적분이 안 됩니다. ㅠ

 

이 때는

식을 따로 분리해서 각각 적분해야 합니다.

 

$\begin{aligned} \int \frac{x+1}{x^2+1} d x & =\int\left(\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}\right) d x \\ & =\frac{1}{2} \int \frac{2 x}{x^2+1} d x+\int \frac{1}{x^2+1} d x \\ & =\frac{1}{2} \ln \left|x^2+1\right|+\tan ^{-1} x+C\end{aligned}$

 

어..?!

위에서는 이러지 말라고 했다구요..?!

 

위에서는

분모가 인수분해 되는데 (②번째 경우)

굳이 힘들게 식을 따로 분리해서 풀지 말라고 한 거구요,

 

지금은

분모가 인수분해 되지 않는 경우예요~ (③번째 경우)

 

 

 

AI '클로드'가

추가하라고 해서 추가하긴 했는데

 

그래도 다행인 건

이딴(?) 문제가 셤에 나오는 건 본 적이 없으니까

넘 신경쓰지 마세요~ ^-^// ;;

 

 

 

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