분수식의 적분

 

 

 

분수식을

세 가지 경우로 나눠 보았습니다.

 

① 분모가 일차식인 경우

② 분모가 이차식인 경우 (인수분해 되는)

③ 분모가 이차식인 경우 (인수분해 안 되는)

 

중간중간에 식의 변형이 잘 안 되면

'분수식의 변형 (1), (2), (3)'을 참고하세요~

 

 

 

① 분모가 일차식인 경우

 

 

 

② 분모가 인수분해 되는 이차식인 겨우

 

여기까지야 뭐... 그럭저럭... ;;;;;

 

 

아래 문제와 같이

분자가 일차식인 분수식의 적분은 풀이가 2개 있습니다.

 

일단, 식부터 변형

 

로 놓고

a, b값을 구하면

 

그런데, 이걸 이렇게 힘들게(?) 적분 안 하죠

분모를 미분해서 분자를 만들 수 있으니까 바로 적분합니다.

 

 

잠깐 옆으로 샐께요

 

위에서 바로 적분한다고 표현했지만

사실은 치환적분입니다.

 

그런데, 우리는

치환따위(?) 하지 않아도 바로 적분할 수 있으니까

그냥 바로 적분한 것 뿐입니다. ;;;;;

 

 

암튼, 다시 돌아와서

 

이렇게 분모를 미분해서 분자를 만들 수 있는 경우에는

분수식을 변형해서 적분하든, 바로 적분하든 상관없지만 (물론, 바로 적분하겠죠..?!)

 

아래 문제와 같이

 

분모를 미분해서 분자를 만들 수 없는 경우에는

분수식을 변형해서 적분하는 수 밖에 없습니다.

 

(처음에 말했듯이

분수식의 변형은 '분수식의 변형 (1), (2), (3)'을 참고하세요~)

 

잔머리 굴려서

이렇게 푸는 학생들도 있는데

 

연습하려고 일부러 이렇게 어렵게 푸는 게 아니라면

제발 이러지 마세요~ ;;;;;

 

 

하나 더 해볼께요

 

이 문제는

분모를 미분해서 분자를 만들 수 있으므로

 

위에서 말한 풀이가 모두 가능합니다.

 

분수식을 변형해서 적분

 

바로 적분

 

치환해서 적분

 

 

하지만

상수항만 살짝 바뀐 이 분수식은

 

분모를 미분해서 분자를 만들 수 없으므로

분수식을 변형해서 적분하는 수 밖에 없습니다.

 

 

 

③ 분모가 인수분해 안 되는 이차식인 경우

 

분모가 인수분해 되지 않더라도

분모를 미분해서 분자를 만들 수 있으면

위에서 푼 것과 똑같이 풀면 됩니다.

 

다만, 분모가 인수분해 되지 않으니까

분수식을 변형하는 건 안 되고

 

바로 적분하거나

 

치환해서 적분하거나

 

 

문제는

분모가 인수분해도 되지 않으면서

분모를 미분해서 분자를 만들 수도 없는 경우입니다.

 

이런 경우는 적분이 어렵기 때문에

문제로 나오는 유형은 딱 한가지입니다.

 

이런 적분은 치환으로 문제를 풉니다.

그것도 아주 이상한(?) 치환..!!

 

참고로

 

그냥 그렇다구요... 신경쓰지 마세요~ ;;;;;

 

다행히도(?) 탄젠트의 역함수는 고교과정에 나오지 않기 때문에

이런 문제는 정적분으로만 출제됩니다.

 

 

 

나름 분수식의 적분을 분류해 봤는데

빠진 유형이 있는지 모를겠네요... 없기를... ^-^//

 

 

 

요기로 가면 → www.gajok.co.kr/math.html

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