자취의 방정식 (2)

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

이차함수(곡선)를 점에 대칭시키면

곡선이 나오겠죠..?!

 

그림은 엉성하지만

대충 이런 모양이 나올 듯요.

 

 

 

 

문제)

곡선 $y=x^2-4 x+5$ 를

점 (3, 2)에 대칭시킨 자취의 방정식은? 

 

앞에서 (자취의 방정식 (1))

자취의 방정식은 어떻게 구한다고 했죠?

 

많이도 필요없고

아무점이나 딱 한 점만 대칭시킵니다.

 

그리고

곡선 위의 점을 (a, b)

이 점을 대칭시킨 점을 (x, y)로 놓고

x와 y의 관계식을 구합니다.

 

구해보면

 

점 (3, 2)는

두 점 (a, b), (x, y)의 중점이므로

 

$\frac{a+x}{2}=3$
$\frac{b+y}{2}=2$

 

a와 b에 대한 식으로 각각 정리하면

 

$a=6-x$

$b=4-y$

 

그리고... 점 (a, b)는

곡선 $y=x^2-4 x+5$ 위의 점이므로

 

$b=a^2-4 a+5$

 

이 식에

위에서 구한 a, b를 대입하고

 

$4-y=(6-x)^2-4(6-x)+5$

 

정리하면

 

$y=-x^2+8 x-13$

 

이 놈이 바로

우리가 구하려는 자취의 방정식입니다.

 

 

 

그런데

이차함수의 특성상(?) 다르게 구하기도 하죠.

 

주어진 이차함수의 꼭지점 (2, 1)을

 

$\begin{aligned} y & =x^2-4 x+5 \\ & =(x-2)^2+1\end{aligned}$

 

(3, 2)에 대칭시키면 (4, 3)이 나옵니다.

('자취의 방정식 (1)'을 참고해 주세요~)

 

이 점 (4, 3)이

자취의 방정식의 꼭지점이 되고

 

곡선 $y=x^2-4 x+5$ 의

이차항의 계수가 1이므로

 

자취의 방정식의

이차항의 계수는 부호만 바꿔서 -1

 

정리하면

 

우리가 구하려는 자취의 방정식은

꼭지점의 좌표는 (4, 3)이고

이차항의 계수가 -1인 이차함수..!!

 

$\begin{aligned} y & =-(x-4)^2+3 \\ & =-x^2+8 x-13\end{aligned}$

 

처음에 식으로 구한 것과 결과가 같습니다.

당연히..!! ^-^//

 

 

 

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